3.1.2　第3课时　分段函数.pptx

1、第3课时分段函数 第三章3.1.2函数的表示法 1.会用解析法及图象法表示分段函数. 2.给出分段函数，能研究有关性质. 3.能用分段函数解决生活中的一些简单问题. 学 习 目 标 大家知道国家电网依据什么来收取电费吗？其实他们是按不同的时间 段来收取费用，一般来说，白天稍贵一些，晚上稍便宜一些，反映到 我们数学上，这就需要我们分两段来研究用电的费用，生活中诸如此 类的问题很多，比如用水收费问题、出租车计费问题、个人所得税纳 税等.这些都属于我们今天要研究的分段函数的范畴. 导 语 随堂演练课时对点练 一、分段函数求值(范围)问题 二、分段函数的图象及应用 三、分段函数在实际问题中的应用 内容

2、索引 一、分段函数求值(范围)问题 提示是一个函数，只不过x的取值范围不同，解析式不同. 知识梳理 分段函数 (2)本质：函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系. 注意点：注意点：分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的 并集. 知f(5)514， (2)若f(a22)a4，求实数a的取值范围. 解因为a222， 所以f(a22)2(a22)12a23， 所以不等式f(a22)a4化为2a2a10， 延伸探究 1.本例条件不变，若f(a)3，求实数a的值. 解当a2时，f(a)a13， 即a22，不符合题意，舍去； 当2a2x，求x的取值范围. 解当x2时，f(x)2x可化为

3、x12x， 即x1，所以x2； 当2x2x可化为3x52x， 即x5，所以2x2x可化为2x12x，则x. 综上可得，x的取值范围是(，2). 反思感悟(1)分段函数求值的方法 先确定要求值的自变量属于哪一段区间. 然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0)的形式 时，应从内到外依次求值. (2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析 式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判 断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解. 跟踪训练1(1)已知f(x) 使f(x)1成立的x的取值 范围是 A.4,2) B.4,2C.(0,2 D.(4,

4、2 当x0时，f(x)1即(x1)21， 解得x0,2， 综上，x4,2. (2)函数f(x) 若f(x0)8，则x0_. 二、分段函数的图象及应用 例2已知函数f(x)x22，g(x)x，令(x)minf(x)，g(x)(即f(x) 和g(x)中的较小者). (1)分别用图象法和解析式表示(x)； 解在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图. 由图中函数取值的情况，结合函数(x)的定义， 可得函数(x)的图象如图. 令x22x，得x2或x1. 结合图，得出(x)的解析式为(x) (2)求函数(x)的定义域，值域. 解由图知，(x)的定义域为R，(1)1， (x)的值域为(，1.

5、反思感悟分段函数图象的画法 (1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去 掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象. (2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时， 先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可， 作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏. 跟踪训练2函数f(x)的图象如图所示，求函数f(x)的值. 解当x1时，设f(x)axb， 所以f(x)x2； 当1x2时，设f(x)kx2， 由4k22得k1，所以f(x)x2； 三、分段函数在实际问题中的应用 例3国家规定个人稿费纳税办法：不超过800元的不纳税；

6、超过800元 而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部 稿酬的11.2%纳税.已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得 稿费(扣税前)为 A.2 800元 B.3 000元 C.3 800元 D.3 750元 解析由题意知，纳税额y(单位：元)与稿费(扣税前)x(单位：元)之间的 函数关系式为 当8004 000时，令0.112x420， 解得x3 750(舍). 反思感悟分段函数的实际应用 (1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数 模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画. (2)分段函数模型应用的关键是确

7、定分段的各分界点，即明确自变量的 取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式. 跟踪训练3某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5 km以内(含5 km)，票价2元； (2)5 km以上，每增加5 km，票价增加1元(不足5 km的按5 km计算). 如果某条线路的总里程为20 km，请根据题意，写出票价与里程之间的 函数解析式，并画出函数的图象. 解设票价为y元，里程为x公里. 由题意可知，自变量x的取值范围是(0,20. 由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得到以下函数解析式： 函数图象如图. 1.知识清单： (1)分段函数的概念及求值. (2)分段函

8、数的图象及应用. 2.方法归纳：分类讨论、数形结合法. 3.常见误区： (1)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实. (2)求分段函数的函数值时要依据自变量的取值范围确定对应的解析式. 课堂小结 随堂演练 1234 解析D(x)0,1， D(x)为有理数， D(D(x)1. 1234 2.一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过 了一段时间，火车到达下站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶， 一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速 度变化情况的是 1234 1234 解析当x1时，x23，得x1，舍去； 课时对点练 基础巩固 12345678910 11

9、12 13 14 15 16 2.下列图象是函数yx|x|的图象的是 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.(多选)设函数f(x) 若f(a)4，则实数a等于 A.4 B.2 C.4 D.2 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.设xR，定义符号函数sgn x 则函数f(x)|x|sgn x的图象 大致是 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由题意知f(x) 则f(x)的图象为C中图象所示. 12345678910 11 12 13 14 15 5.某单位

10、为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量 不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超 过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个 月实际用水量为 A.13立方米 B.14立方米 C.18立方米 D.26立方米 16 12345678910 11 12 13 14 15 由y16m，可知x10. 令2mx10m16m，解得x13. 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知函数f(x)的图象由如图所示的两条线段组成，则 A.f(f(1)3 B.f(2)f(0) C.f(x)x12|x1|，x0,

11、4 D.a0，不等式f(x)a的解集为 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析因为f(1)0，f(0)3，所以f(f(1)3，A正确； f(0)3,0f(2)3，所以f(2)f(0)，B错误； 由题图得，当x0,1时，设解析式为yk1xb1(k10)， x1,4时，设解析式为yk2xb2(k20)，图象经过(1,0)，(4,3)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以解析式为yx1；即f(x)x12|x1|， x0,4，C正确； 所以不存在大于零的a， 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.某商品的单价为5 000

12、元，若一次性购买超过5件，但不超过10件时， 每件优惠500元；若一次性购买超过10件，则每件优惠1 000元.某单位 购买x件(xN*，x15)，设总购买费用是f(x)元，则f(x)的解析式是 _. 解析当x5，xN*时，f(x)5 000 x； 当5x10，xN*时，f(x)(5 000500)x4 500 x； 当10 x15，xN*时，f(x)(5 0001 000)x4 000 x. 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由题图可知，图象

13、是由两段组成， 当1x0时，设f(x)axb， 将(1,0)，(0,1)代入解析式， 当0 x1时，设f(x)kx， 将(1，1)代入，则k1. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (1)用分段函数的形式表示函数f(x)； 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)画出函数f(x)的图象； 解函数f(x)的图象如图所示. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (3)写出函数f(x)的值域. 解由(2)知，f(x)在(2,2上的值域为1,3). 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.中华人民共和国个

14、人所得税法规定，公民全月工资、薪金所得 不超过5 000元的部分不必纳税，超过5 000元的部分为全月应纳税所得 额，此项税款按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额税率 不超过3 000元的部分3% 超过3 000元至12 000元的部分10% 超过12 000元至25 000元的部分20% 某职工每月收入为x元，应交纳的税额为y元. (1)请写出y关于x的函数关系式； 12345678910 11 12 13 14 15 16 解由题意， 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)有一职工八月份交纳了54元的税款，请问该职工八月份的工资是多少？ 全月应纳税所得额税率

15、不超过3 000元的部分3% 超过3 000元至12 000元的部分10% 超过12 000元至25 000元的部分20% 解该职工八月份交纳了54元的税款， 5 0001时，f(x)x2x2， 当x1时，f(x)1x2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12.设函数f(x) 若f(a)a，则实数a的值为 A.1 B.1 C.2或1 D.1或2 解析由题意知，f(a)a， 所以实数a的值是1. 13.AQI表示空气质量指数，AQI的数值越小，表明空气质量越好，当 AQI的数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地3月1日到12 日AQI的数值的统计数据，图中

16、点A表示3月1日的AQI的数值为201.则下 列叙述不正确的是 12345678910 11 12 13 14 15 16 A.这12天中有6天空气质量为“优良” B.这12天中空气质量最好的是3月9日 C.从3月9日到12日，空气质量越来越好 D.从3月4日到9日，空气质量越来越好 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 15.设xR，则函数y2|x1|3|x|的值域为_. y|y2 12345678910 11 12 13 14 15 16

17、解析当x1时，y2(x1)3xx2； 当0 x1时，y2(x1)3x5x2； 当x0时，y2(x1)3xx2. 根据函数解析式作出函数图象，如图所示. 由图象可以看出，函数的值域为y|y2. 16.如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系.骑车者9 时离开家，15时回家.根据这个曲线图，请你回答下列问题： 12345678910 11 12 13 14 15 16 (1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ 解最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米. (2)何时开始第一次休息？休息多长时间？ 12345678910 11 12 13 14 15 16 解10：30开始第一次休息，休息了半小时. (3)第一次休息时，离家多远？ 解第一次休息时，离家17千米. (4)11：00到12：00他骑了多少千米？ 解11：00至12：00他骑了13千米. (5)他在9：0010：00和10：0010：30的 平均速度分别是多少？ 12345678910 11 12 13 14 15 16 解9：0010：00的平均速度是10千米/时； 10：0010：30的平均速度是14 千米/时. (6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？ 解从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形. 本课结束 更多精彩内容请登录：