习题课　函数的零点与方程的解.docx

1、习题课习题课函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解 学习目标1.进一步应用函数零点存在定理，已知零点(方程的解)的情况求参数范围.2.掌握 一元二次方程的根的分布情况 一、根据零点情况求参数范围 例 1已知函数 f(x) x24a3x3a，x0 且 a1)在 R 上单调递减，且关于 x 的方程|f(x)|2x 3恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是( ) A. 0，2 3B. 2 3， 3 4 C. 1 3， 2 3D. 1 3， 2 3 答案D 解析f(x)在 R 上单调递减， yx2(4a3)x3a 在(，0)上单调递减，yloga(x1)1 在(0，)上单调递减， 且 f(x)

2、在(，0)上的最小值大于或等于 f(0) 34a 2 0， 0a1， 3a1. 解得1 3a 3 4， 作出函数 y|f(x)|和 y2x 3的草图如图所示 |f(x)|2x 3恰有两个不相等的实数解， 3a2，即 a2 3，故 1 3a 2 3. 反思感悟已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函 数的图象，利用数形结合的方法求解 跟踪训练 1若方程 xlg(

3、x2)1 的实根在区间(k，k1)(kZ)上，则 k 等于() A2B1 C2 或 1D0 答案C 解析由题意知，x0，则原方程即为 lg(x2)1 x，在同一平面直角坐标系中作出函数 y lg(x2)与 y1 x的图象，如图所示， 由 图象 可知 ，原 方 程有 两个 根， 一 个在 区间 ( 2 ， 1)上 ，一 个在 区间 (1,2)上 由 lg 3lg 101 2可得， 所以 k2 或 k1. 二、一元二次方程的根的分布问题 例 2已知关于 x 的方程 x22(m1)x2m60. (1)若方程有两个实根，且一个比 2 大，一个比 2 小，求实数 m 的取值范围； (2)若方程有两个实根

4、，且满足 014，求实数 m 的取值范围； (3)若方程至少有一个正根，求实数 m 的取值范围 解设 f(x)x22(m1)x2m6， (1)f(x)的大致图象如图所示， f(2)0，即 44(m1)2m60，得 m0， f14m50， 解得7 5m0， 2m1 2 0， 即 m1 或 m5， m3， m1， 3m1. 有一个正根，一个负根，此时如图 2，可得 f(0)0，得 m0， m3. 综上所述，当方程至少有一个正根时，实数 m 的取值范围为(，1 反思感悟一元二次方程根的分布问题转化为二次函数的图象与 x 轴交点的情况，先将函数 草图上下平移，确定根的个数，用判别式限制，再左右平移，确

5、定对称轴有无超过区间，或 是根据根的正负问题，用根与系数的关系进行限制 跟踪训练 2已知函数 f(x)(log2x)24log2xm，x 1 8，4，m 为常数 (1)若函数 f(x)存在大于 1 的零点，求实数 m 的取值范围； (2)设函数 f(x)有两个互异的零点，求实数 m 的取值范围，并求的值 解(1)令 log2xt，x 1 8，4， 则 g(t)t24tm(t3,2) 由于函数 f(x)存在大于 1 的零点， 所以关于 t 的方程 t24tm0 在 t(0,2内存在实数根 由 t24tm0，得 mt24t，t(0,2， 所以 m12,0)， 所以实数 m 的取值范围是12,0)

6、(2)函数 f(x)有两个互异的零点， 则函数 g(t)在3,2内有两个互异的零点 t1，t2， 其中 t1log2，t2log2， 所以 164m0， g30， g20， 解得 3m0， f10， a10， 解得 0a1. 则 a 的取值范围为(0,1) 2已知函数 f(x)mx1 的零点在区间(1,2)内，则 m 的取值范围是() A. ，1 2B. 1，1 2 C. 1 2，D(，1) 1 2， 答案B 解析因为函数 f(x)mx1 的零点在区间(1,2)内，且此函数是连续函数， 所以 f(1)f(2)0，即(m1)(2m1)0， 解得1m1 2. 3函数 f(x)3x4 xa 的一个零

7、点在区间(1,2)内，则实数 a 的取值范围是( ) A(2,7)B(1,6) C(1,7)D(2,6) 答案C 解析由题意可得 f(1)f(2)(34a)(92a)0， 即(a1)(a7)0， 解得1a0， f00， f10， 即 22a0， a0， 2a0， 解得12a0， 故 a 的取值范围为(12,0) 课时对点练课时对点练 1当|x|1 时，函数 f(x)ax2a1 的值有正也有负，则实数 a 的取值范围是() A. 1 3，B(，1 C. 1，1 3D. 1，1 3 答案C 解析|x|11x1. 当 a0 时，y1，函数值恒为正，不符合题意； 当 a0 时，要想函数 f(x)ax2

8、a1 的值有正也有负， 只需 f(1)f(1)0，即(a2a1)(a2a1)(3a1)(a1)01a1 3. 综上所述1a6B4k7 C6k6 或 k0， x1x2k4， x12x220， 解得 6k7. 3若函数 f(x) ax，2a (其中 a0，a1)存在零点，则实数 a 的取值范围是() A. 1 2，1(1,3)B(1,3 C(2,3)D(2,3 答案C 解析由函数的解析式可知 a2， 因为指数函数 yax单调递增，在区间(2，a上无零点， 所以函数 yloga(x2)在区间(a，)上存在零点， 由于 yloga(x2)单调递增， 故当 xa 时，有 loga(a2)0loga1，

9、从而 a21a3， 所以实数 a 的取值范围是(2,3) 4方程 xlog3x3 的解为 x0，若 x0(n，n1)，nN，则 n 等于() A0B1C2D3 答案C 解析设 f(x)xlog3x3， 则 f(1)1log31320， f(2)2log323log3210， 又易知 f(x)为增函数， 所以方程 xlog3x3 的解在(2,3)内，因此 n2. 5若方程x2ax40 的两实根中一个小于1，另一个大于 2，则 a 的取值范围是() A(0,3)B0,3 C(3,0)D(，1)(3，) 答案A 解析因为方程x2ax40 有两根，一个大于 2，另一个小于1， 所以函数 f(x)x2a

10、x4 有两个零点，一个大于 2，另一个小于1，由二次函数的图象 可知， f20， f10， 即 22a240， 12a140， 解得 0a2，即 0a 1 2，选项 B，C，D 符合题意 7 已知函数 f(x) |ln x|，0e， 若正实数 a， b， c 互不相等， 且 f(a)f(b)f(c)， 则 abc 的取值范围为_ 答案(e，e2) 解析画出 f(x)的图象如图所示， 正实数 a，b，c 互不相等，且 f(a)f(b)f(c)， 不妨设 abc，则由图象可得 0a1bece2， 且ln aln b，则可得 ab1， abcc(e，e2) 8已知函数 f(x) |x2|1，x0，

11、x1，x0. 若函数 g(x)f(x)k 有三个零点，则 k 的取值范围是 _ 答案(1,1) 解析令 g(x)f(x)k0，可得 f(x)k， 作出 yf(x)的图象，如图， 由图可知，当 yk 与 yf(x)的图象有三个不同的交点时，1k1， 所以 k 的取值范围是(1,1) 9函数 f(x)x22|x|a1 有四个不同的零点，求实数 a 的取值范围 解由 f(x)0 得 a12|x|x2， 因为函数 f(x)x22|x|a1 有四个不同的零点， 所以函数 ya1 与 y2|x|x2的图象有四个交点， 画出函数 y2|x|x2的图象，如图所示， 观察图象可知，0a11，即 1a2， 所以实

12、数 a 的取值范围是 1a0，则 yt22tm. 函数 f(x)有两个零点，且 t2x为单调函数， 方程 t22tm0 在(0，)上有两解， m0， 44m0， 2 2 0， 解得1m0. m 的取值范围是(1,0) 11设 x1，x2，x3均为实数，且 1 1 3 x log2(x11)， 2 1 3 x log3x2， 3 1 3 x log2x3，则() Ax1x3x2Bx3x2x1 Cx3x1x2Dx3x1x2 答案A 解析如图所示，由图象可知，x1x3b，cd，若 f(x)2 021(xa)(xb)的零点为 c，d，则 下列不等式正确的是() AacbdBabcd CcdabDcab

13、d 答案D 解析由题意设 g(x)(xa)(xb)，则 f(x)2 021g(x)，所以 g(x)0 的两个根是 a，b.由 题意知 f(x)0 的两根是 c，d，也就是 g(x)2 021 的两根，画出 g(x)(开口向上)以及 y2 021 的大致图象(图略)，则与 g(x)的图象交点的横坐标就是 c，d，g(x)的图象与 x 轴的交点就是 a， b.又 ab，cd，则 c，d 在 a，b 外，由图得 cabd. 13对实数 a，b，定义运算“*”：a*b a，ab1， b，ab1. 设函数 f(x)(x21)*(x2)，若 函数 yf(x)c 有两个零点，则实数 c 的取值范围是() A

14、(2,4)(5，)B(1,2(4,5 C(，1)(4,5D1,2 答案B 解析由题意知， 当(x21)(x2)1，即1x2 时，f(x)x21； 当(x21)(x2)1，即 x2 或 x2 或 xa， 若存在两个不相等的实数 x1，x2，使得 f(x1)f(x2)，则 实数 a 的取值范围是_ 答案(0,1) 解析因为存在两个不相等的实数 x1，x2，使得 f(x1)f(x2)，故函数不是单调函数， 又 yx1 与 y2x交于(0,1)和(1,2)点，画出图象如图所示， 由图可知，当 0a0， 若函数 g(x)f2(x)3f(x)m(mR)有三个零点， 则 m 的取值范围为() Am9 4 B

15、m28 C28m28 答案B 解析画出函数 f(x)的大致图象如图所示 设 tf(x)，则由图象知， 当 t4 时，tf(x)有两个根， 当 t4 时，tf(x)只有一个根 函数 g(x)f2(x)3f(x)m(mR)有三个零点， 等价为函数 g(x)h(t)t23tm 有两个零点， 其中 t10， h41612m0， 解得 m0，即 412(1m)0，解得 m4 3. 由0，解得 m4 3；由 4 3. 故当 m4 3时，函数无零点 (2)由题意知 0 是方程3x22xm10 的根， 故有 1m0，解得 m1. (3)由题意可得 f(2)0，即7m0，则 m7. 故实数 m 的取值范围为(，7)