椭圆的简单几何性质.doc

1、椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质 （4545 分钟分钟100100 分）分） 一、选择题一、选择题( (每小题每小题 6 6 分分, ,共共 3030 分分) ) 1.(2013安阳高二检测)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数 列,则该椭圆的离心率是() A.B.C.D. 2.(2013汝阳高二检测)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 18, 一个焦点的坐标是(3,0),则椭圆的标准方程为() A. + =1B. + =1 C. + =1D. + =1 3.若焦点在 x 轴上的椭圆 + =1 的离心率为 ,则 m 等于() A.B.C.D. 4. (2013 新课标全

2、国卷)设椭圆 C: + =1(ab0)的左、 右焦点分别为 F1,F2,P 是 C 上的点,PF2F1F2,PF1F2=30,则 C 的离心率为() A.B.C.D. 5.设椭圆 + =1(ab0)的离心率e= ,右焦点F(c,0),方程ax 2+bx-c=0的两个根 分别为 x1,x2,则点 P(x1,x2)在() A.圆 x 2+y2=2 上 B.圆 x 2+y2=2 内 C.圆 x 2+y2=2 外 D.以上三种情况都有可能 二、填空题二、填空题( (每小题每小题 8 8 分分, ,共共 2424 分分) ) 6.椭圆 x 2+my2=1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m

3、 的值为 . 7.(2013沧州高二检测)椭圆的焦点在 y 轴上,一个焦点到长轴的两端点的距离 之比是 14,短轴长为 8,则椭圆的标准方程为. 8.若点 O 和点 F 分别为椭圆 +=1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点, 则的最大值为. 三、解答题三、解答题(9(9 题题,10,10 题题 1414 分分,11,11 题题 1818 分分) ) 9.已知椭圆 x 2+(m+3)y2=m(m0)的离心率 e= ,求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的 长、焦点坐标、顶点坐标. 10.已知椭圆 +=1(ab0),若椭圆的离心率 e 满足e,且 +=2,求椭 圆长轴长的取值范围. 11.(能

4、力挑战题)已知 F1,F2是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,F1PF2=60. (1)求椭圆离心率的范围. (2)求证:F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关. 答案解析答案解析 1.【解析】选 B.由条件知 2a+2c=22b, a+c=2b,从而(a+c) 2=4b2=4(a2-c2), 解得 e= = . 2. 【解析】 选 B.由条件知,椭圆的焦点在 x 轴上,且解得 a=5,b=4, 方程为+ =1. 【变式备选】 (2013 北京高二检测)离心率为,且过点(4,0)的椭圆的标准方程 是() A. + =1B. + =1 或 + =1 C.x 2+4y2=1 D. + =1 或 +

5、=1 【解析】选 D.由条件知,(4,0)为椭圆的一个顶点. 若 a=4 且 =,则 b 2=4,方程为 + =1. 若 b=4 且 =,则 a 2=64,方程为 + =1. 3.【解析】选 B.椭圆的焦点在 x 轴上,且 e= , = ,解得 m= . 【举一反三】若把题中“焦点在 x 轴上”去掉,结果会怎样? 【解析】当椭圆焦点在 x 轴上时,由= 得 m= . 当椭圆焦点在 y 轴上时,由= 得 m= . m 的值是 或 . 4.【解题指南】利用已知条件解直角三角形,将 PF1,PF2用半焦距 c 表示出来,然 后借助椭圆的定义,可得 a,c 的关系,从而得离心率. 【解析】选 D.因为

6、 PF2F1F2,PF1F2=30, 所以 PF2=2ctan 30=c,PF1=c. 又 PF1+PF2=2c=2a,所以 c a = = , 即椭圆的离心率为 . 5.【解题指南】判断点 P(x1,x2)与圆的位置关系,就是判断点 P 与圆心(0,0)的距 离与半径的大小关系,利用根与系数的关系表示成关于离心率的关系式,再判断 位置关系. 【解析】选 B.由题意 e= = , +=(x1+x2) 2-2x 1x2= + =+1=2- = 0,方程可化为 x 2+ =1. 椭圆的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍, 2=221, 解得 m= . 答案: 7.【解析】由条件知,= 且 2b

7、=8, 解得 a 2=25,b2=16. 又椭圆的焦点在 y 轴上, 所求的椭圆的标准方程为 + =1. 答案: + =1 8.【解题指南】设 P(x0,y0),利用数量积的坐标运算,结合椭圆的范围解出. 【解析】由题意,F(-1,0),设点 P(x0,y0),则有+=1,解得=3(1-),因为 =(x0+1,y0),=(x0,y0), 所以=x0(x0+1)+=x0(x0+1)+3(1- )= +x0+3,此二次函数对应的抛物线的 对称轴为 x0=-2,因为-2x02,所以当 x0=2 时,取得最大值 +2+3=6. 答案:6 【误区警示】解题中容易不考虑 x0的取值范围,而直接求出二次函数

8、的最值,而 导致错误. 9.【解题指南】解决本题的关键是确定 m 的值,应先将椭圆方程化为标准形式, 根据分母的大小确定焦点的位置.用 m 表示 a,b,c,再由 e=求出 m 的值. 【解析】椭圆方程可化为 +=1, m-=0, m,即 a 2=m,b2= ,c=. 由 e=得=,m=1. 椭圆的标准方程为 x 2+ =1. a=1,b= ,c=. 椭圆的长轴长为 2,短轴长为 1;两焦点坐标分别为(-,0),(,0); 四个顶点坐标分别为(-1,0),(1,0),(0,- ), (0, ). 10.【解题指南】由 +=2 把 b 2 用 a 2 表示,代入关于离心率的不等式组中,求出 2a

9、 的范围. 【解析】由 + =2 得 b 2= , e 2= = =1- , 又e, 1- , 结合b 2= 可得 , a 2 , a,即2a, 故长轴长的取值范围是,. 11.【解析】(1)设椭圆方程为 + =1(ab0), |PF1|=m,|PF2|=n,则 m+n=2a. 在PF1F2中,由余弦定理可知, 4c 2=m2+n2-2mncos60=(m+n)2-3mn =4a 2-3mn4a2-3( ) 2 =4a 2-3a2=a2(当且仅当 m=n 时取等号). ,即 e . 又 0e1,e 的取值范围是 ,1). (2)由(1)知 mn= b 2, = mnsin60=b 2, 即PF1F2的面积只与短轴长有关. 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块文档返回原板块