习题课　反比例函数、对勾函数.docx

1、习题课习题课反比例函数、对勾函数反比例函数、对勾函数 学习目标1.掌握反比例函数和对勾函数的图象和性质.2.能通过构造函数解决实际问题 一、反比例函数的图象和性质 问题 1反比例函数的一般形式是什么？ 提示yk x，其中 x 为自变量且 x0，k 为常数 问题 2反比例函数的图象会过坐标原点吗？ 提示不会，因为 x0. 例 1画出反比例函数 yk x的图象 (1)求函数的定义域和值域； (2)判断函数的单调性和奇偶性 解 (1)函数的定义域为x|x0，函数的值域为y|y0 (2)令 yf(x)，当 k0 时，f(x)的单调递减区间为(，0)和(0，)，没有单调递增区间， 证明如下： 当 x0

2、时，x1，x2(0，)且 x10，x10，x20，x10，即 f(x1)f(x2)， f(x)在(0，)上单调递减， 同理当 x0 时，f(x)在(，0)上单调递减 当 k0 时，f(x)的单调递增区间为(，0)和(0，)，没有单调递减区间(证明略) f(x)为奇函数 反思感悟研究反比例函数的几个方面 (1)函数的定义域和值域可以由图象直接得到 (2)由图象或者单调性的定义可以判断函数的单调性，但一定要注意两个单调递增(减)区间的 连接方法 (3)由图象或者奇偶性的定义可以判断函数的奇偶性 (4)函数图象关于(0,0)中心对称 跟踪训练 1作出 y2 x(2x1 且 x0)的图象，并指出其值域

3、和单调区间 解由题意知函数 y2 x(2x1 且 x0)的图象为反比例函数图象的一部分， 当 x2 时，y 2 21；当 x1 时，y 2 12； 所以该函数图象如图： 由图象可知，函数 y2 x(2x0)的性质， 并画出它的简图(单调性需证明， 其余性质列出即可) 解(1)定义域：x|x0； (2)值域：(，2 a2 a，)； (3)奇偶性：奇函数； (4)单调性：函数 f(x)xa x(a0)在(， a)和( a，)上单调递增，在 a，0)和(0， a上单调递减，证明如下： 任取 x1，x2(0， a，且 x1x2， 则 f(x1)f(x2)x1a x1x 2 a x2(x 1x2) 1

4、a x1x2. 因为 0 x1x2 a， 所以 x1x20,0 x1x21， 所以 1 a x1x20， 即 f(x1)f(x2) 所以 f(x)在(0， a上单调递减 任取 x1，x2( a，)，且 x1x2， 则 f(x1)f(x2)(x1x2) 1 a x1x2. 因为 x1x2a， 所以 a x1x20， 所以 f(x1)f(x2)0， 所以 f(x1)f(x2) 所以 f(x)在( a，)上单调递增 同理，f(x)在(， a)上单调递增，在( a，0)上单调递减 其图象如图所示 延伸探究当 a0 时，探究该函数的性质，并画出函数的简图(单调性需证明，其余性质列出 即可) 解(1)定义

5、域：x|x0； (2)值域：R； (3)奇偶性：奇函数； (4)函数 f(x)在区间(，0)，(0，)上单调递增，证明如下： 任取 x1，x2(0，)，且 x1x2， 则 f(x1)f(x2)x1a x1 x2a x2 (x1x2) 1 a x1x2， 因为 0 x1x2， 所以 x1x20， 又 a0， 所以 f(x1)f(x2)0， 即 f(x1)f(x2)， 所以函数 f(x)在区间(0，)上单调递增； 同理可知，函数 f(x)在区间(，0)上单调递增 其简图如图所示 跟踪训练 2函数 f(x)x1 x. (1)x1,3，f(x)的最小值是_； (2)x 1 2，3，f(x)的值域为_；

6、 (3)x 1 2，0(0,3，f(x)的值域为_ 答案(1)2(2) 2，10 3(3) ，5 2 2，) 解析(1)f(x)在1,3上单调递增，f(x)的最小值为 f(1)2. (2)f(x)在 1 2，1上单调递减，在1,3上单调递增， 最小值为 f(1)2， f 1 2 5 20 时，求函数 f(x)在2，)上的最小值 解(1)当 a4 时，f(x)x 22x4 x x4 x2， 当 x(0，)时，f(x)x4 x22 x4 x22， 当且仅当 x4 x，即 x2 时等号成立， f(x)的最小值为 2. (2)f(x)xa x2，设 0 x 1x2 a， f(x1)f(x2)x1x2a

7、 x1 a x2 (x1x2) 1 a x1x2 x1x2x1x2a x1x2 ， 0 x1x2 a，x1x20，即 f(x1)f(x2)， f(x)在(0， a)上单调递减，同理可证 f(x)在( a，)上单调递增， 当 0a4 时，04 时， a2，函数 f(x)在2， a)上单调递减， 在( a，)上单调递增， f(x)minf( a)2 a2. 设 f(x)的最小值为 g(a)， g(a) a 2，04. 反思感悟求对勾函数的最值问题，可以利用函数的单调性研究，也可以利用基本不等式 跟踪训练 3求函数 f(x)1 x x317x x21 (x1)的最值 解f(x)1 x x317x x

8、21 1 xx 16x x21， x1， f(x)x1 x 16 x1 x . 令 tx1 x，x1，则 t2， f(x)g(t)t16 t 8，在 t4 时取得最小值，没有最大值， f(x)1 x x317x x21 在(1，)上只有最小值 8，没有最大值 1知识清单： (1)反比例函数的图象和性质； (2)对勾函数的图象和性质 2方法归纳：分类讨论、数形结合 3常见误区：研究函数的性质一定先确定函数的定义域 1函数 ym3 x ，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，那么 m 取值范围是() Am3 Cm3 答案A 解析在反比例函数 yk x中，若 k0，在 x0 时，y 随 x 的增大

9、而减小，若 k0 时， y 随 x 的增大而增大，所以由题意得 m30，m0 时，y 随 x 的增大而减小 D当 x1 时，y3 答案ABC 解析反比例函数 y3 x，当 x3 时，y1，故 A 正确； 因为 y3 x分子大于 0，所以图象在第一、三象限，故 B 正确； 反比例函数在第一、三象限上都单调递减，所以 C 正确； 因为在(0，) 上，y3 x单调递减，所以当 x1 时，0y0)在(，a)和(a，)上单调递增，在(a,0)和(0，a)上 单调递减若对勾函数 f(x)xt x(t0)在整数集合 Z 内单调递增，则实数 t 的取值范围为 _ 答案(0,2) 解析根据题意得 f(x)在(，

10、 t)，( t，)上单调递增，要使 f(x)在整数集合 Z 内单 调递增，则 t0， t2， f1f2， 即 0t4， 1t2t 2， 解得 0t0，xR，x0)的奇偶性为( ) A奇函数B偶函数 C非奇非偶函数D无法判断 答案A 5函数 g(x)x4 x的单调递减区间为( ) A(2,0)(0,2)B(2,2) C(2,0)和(0,2)D(，2)和(2，) 答案C 6(多选)下列函数中，满足对任意 x1，x2(1，)，有fx1fx2 x1x2 0 的是() Af(x)x1 x Bf(x) 3 1x Cf(x)11 x Df(x)x1 x 答案CD 解析对任意 x1，x2(1，)，有fx1fx

11、2 x1x2 0， 则函数在区间(1，)上单调递减 对于 A，f(x)x1 x，由对勾函数的图象与性质可知不满足题意，故 A 不可选； 对于 B，f(x) 3 1x，根据复合函数的单调性知，函数在区间(1，)上单调递增，故 B 不 可选； 对于 C，f(x)11 x，函数在区间(1，)上单调递减，故 C 可选； 对于 D，f(x)x1 x ，显然函数在区间(1，)上单调递减，故 D 可选 7函数 yx2 x1的对称中心为_ 答案(1,1) 解析yx2 x1 x13 x1 1 3 x1， 故该函数是由 y3 x先向左平移 1 个单位长度 再向上平移 1 个单位长度得到的， 对称中心为(1,1)

12、8在平面直角坐标系中，直线 yxa 与函数 y1 x的图象有两个公共点，则实数 a 的取 值范围是_ 答案a2 解析联立 yxa， y1 x， 整理得 x2ax10， 直线 yxa 与反比例函数 y1 x的图象有两个公共点， 则方程组有两个解，即方程有两个不同的解， a240，a2. 9作出函数 yx1 x2的图象，并写出函数的单调区间和值域 解yx1 x21 1 x2，图象如图所示 函数在(，2)和(2，)上单调递减 因为 1 x20，所以 1 1 x21. 故单调递减区间为(，2)和(2，)，无单调递增区间值域为(，1)(1，) 10济南是新旧动能转换先行区，承载着济南从“大明湖时代”迈向

13、“黄河时代”的梦想， 肩负着山东省新旧动能转换先行先试的重任， 是全国新旧动能转换的先行区 先行区将以“结 构优化、质量提升”为目标，通过开放平台汇聚创新要素，坚持绿色循环保障持续发展，建 设现代绿色智慧新城.2020 年某智能机器人制造企业有意落户先行区， 对市场进行了可行性分 析， 如果全年固定成本共需 2 000(万元)， 每年生产机器人 x(百个)， 需另投人成本 C(x)(万元)， 且 C(x) 10 x2200 x，0 x40， 601x10 000 x 4 500，x40， 由市场调研知， 每个机器人售价 6 万元， 且全年 生产的机器人当年能全部销售完 (1)求年利润 L(x)

14、(万元)关于年产量 x(百个)的函数关系式；(利润销售额成本) (2)该企业决定：当企业年最大利润超过 2 000(万元)时，才选择落户新旧动能转换先行区请 问该企业能否落户先行区，并说明理由 解(1)当 0 x40 时，L(x)6100 x10 x2200 x2 00010 x2400 x2 000； 当 x40 时，L(x)6100 x601x10 000 x 4 5002 0002 500 x10 000 x， 所以 L(x) 10 x2400 x2 000，0 x40， 2 500 x10 000 x，x40. (2)当 0 x2 000. 故该企业能落户新旧动能转换先行区 11函数

15、f(x) 1 1x2(xR)的值域是( ) A(0,1)B(0,1 C0,1)D0,1 答案B 解析令 t1x2， 则 t1， )， 又 y1 t 在 t1， )上单调递减， 所以 f(x) 1 1x2(xR) 的值域为(0,1 12函数 f(x)x 2x21 3x212的最大值为( ) A.1 9 B.1 8 C.1 6 D.1 4 答案B 解析设 t3x21，则 t1，且 x2t1 3 ， 则函数 f(x)g(t) t1 3 t1 3 1 t2 t22t1 9 t1 3 t2 t 22t13t3 9t2 t 2t2 9t2 1 9 11 t 2 t2 1 9 2 1 t 1 4 29 82

16、 9 1 t 1 4 21 8， t1，01 t 1， 则当1 t 1 4时，函数取得最大值为 1 8. 此时 t4，即当 3x214，x1 时，取等号 13 一批救灾物资随 26 辆汽车从某市以 v km/h 的速度送达灾区， 已知运送的路线长 400 km， 为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于 v 20 2 km，那么这批物资全部到达灾区最少需要 () A5 hB10 hC15 hD20 h 答案B 解析由已知得这批物资全部到达灾区的路程是第一辆车出发，到最后一辆车到灾区，总路 程为 40025 v 20 2400v 2 16， 设这批物资全部到达灾区的时间为 t h， t 400v 2

17、 16 v 400 v v 162 400 v v 1610. 当且仅当400 v v 16，即 v80 时，等号成立 故这批物资全部到达灾区最少需要 10 h. 14函数 f(x)x1 x的单调递增区间为_ 答案(，0)和(0，) 解析画出函数图象如图，可知函数 f(x)的单调递增区间为(，0)和(0，) 15已知函数 f(x) x4 x，0 x4， x210 x20，x4， 若存在 0 x1x2x3x4，使得 f(x1)f(x2)f(x3) f(x4)，则 x1x2x3x4的取值范围是_ 答案(96,100) 解析f(x) x4 x，0 x4， x210 x20，x4， 可得函数图象如图所

18、示 由图可知，当 y(4,5)时，存在 0 x1x2x30，那么该函数在(0， t上单调递减，在 t， )上单调递增 (1)已知 f(x)2x1 4 2x18，x0,1，利用上述性质，求函数 f(x)的单调区间和值域； (2)对于(1)中的函数 f(x)和函数 g(x)x2a， 若对任意 x10,1， 总存在 x20,1， 使得 g(x2) f(x1)成立，求实数 a 的值 解(1)设 t2x1，则 f(x)u(t)t4 t8， 因为 x0,1，则 t2x11,3 由已知性质可知 u(t)在1,2上单调递减，在2,3上单调递增 所以 f(x)的单调递减区间为 0，1 2 ，单调递增区间为 1 2，1. 当 2x12，即 x1 2时，f(x) minf 1 2 4， 又 f(0)3，f(1)11 3 ， 所以 f(x)max3，所以值域为4，3 (2)因为 g(x)x2a 为减函数，所以当 x0,1时，g(x)12a，2a 因为对任意 x10,1，总存在 x20,1，使得 g(x2)f(x1)成立， 所以 f(x)的值域是 g(x)值域的子集， 即4，312a，2a，则 12a4， 2a3， 解得 a3 2且 a 3 2，即 a 3 2.