双曲线方程及性质的应用.doc

1、双曲线方程及性质的应用双曲线方程及性质的应用 （4545 分钟分钟100100 分）分） 一、选择题一、选择题( (每小题每小题 6 6 分分, ,共共 3030 分分) ) 1.(2012湖南高考)已知双曲线 C: - =1 的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐近线 上,则 C 的方程为() A. - =1B. - =1 C. - =1D. - =1 2.(2013昆明高二检测)过双曲线 x 2- =1 的右焦点作直线与双曲线交于 A,B 两 点,若|AB|=16,这样的直线有() A.一条B.两条C.三条D.四条 3.(2013大理高二检测)若点 O 和点 F1(-2,0)分别是双

2、曲线 -y 2=1(a0)的中心 和左焦点,点 P 为双曲线右支上的一点,并且 P 点与右焦点 F2的连线垂直 x 轴,则 线段 OP 的长为() A.B.C.D. 4.(2013聊城高二检测)双曲线 - =1(a0,b0)的左、右焦点分别是 F1,F2,过 F1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于 M 点,若MF2垂直于 x 轴,则双曲线的离 心率为() A.B.C.D. 5.已知点M(1,4),双曲线 -y 2=1的左顶点为A,若双曲线一条渐近线与直线AM平 行,则实数 a 等于() A.B.C.D. 二、填空题二、填空题( (每小题每小题 8 8 分分, ,共共 2424 分分) ) 6.

3、已知双曲线 an-1y 2-a nx 2=a n-1an的焦点在 y 轴上,一条渐近线方程为 y= x,其中 an是以 4 为首项的正项数列,则数列an的通项公式是. 7.双曲线- =1 上一点 P 到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中 项,则 P 点到左焦点的距离为. 8.(2013吉林高二检测)已知双曲线 - =1(a0,b0)的两条渐近线方程为 y=x,若顶点到渐近线的距离为 1,则双曲线方程为. 三、解答题三、解答题(9(9 题题,10,10 题题 1414 分分,11,11 题题 1818 分分) ) 9.(2013洛阳高二检测)直线 l:y=kx+1 与双曲线 C:2x

4、2-y2=1 的右支交于不同的 两点 A,B,求实数 k 的取值范围. 10.已知双曲线 C1:x 2- =1. (1)求与双曲线 C1有相同的焦点,且过点 P(4,)的双曲线 C2的标准方程. (2)直线 l:y=x+m 分别交双曲线 C1的两条渐近线于 A,B 两点.当=3 时,求 实数 m 的值. 11.(能力挑战题)已知双曲线 C: - =1(a0,b0)的渐近线方程为 y=x,O 为 坐标原点,点 M(,)在双曲线上. (1)求双曲线 C 的方程. (2)若直线 l 与双曲线交于 P,Q 两点,且=0,求|OP| 2+|OQ|2 的最小值. 答案解析答案解析 1.【解题指南】根据双曲

5、线的性质,由焦距为 10 可以求出 c=5,再将 P(2,1)代入 渐近线求出方程中的参数. 【解析】选 A.由焦距为 10,知 2c=10,c=5.将 P(2,1)代入 y= x 得 a=2b.a 2+b2=c2, 5b 2=25,b2=5,a2=4b2=20,所以方程为 - =1. 2.【解析】选 C.过右焦点且垂直于实轴的弦长为=2 =16,|AB|=16,当 l 与双曲线的两交点都在右支上时只有一条.又实轴长为 2,162,当 l 与双曲 线的两交点在左、右两支上时应该有两条,共三条. 3. 【解析】 选 B.由条件知 a 2+1=4,a0,a= ,又 PF2x 轴,把 x=2 代入

6、-y 2=1 得 y 2= . |OP|=. 【举一反三】 若本题条件不变时,点 P 是右支上任意一点,求的取值范围. 【解析】设 P(x0,y0),由题目可知 -=1, 且 x0,又 F1(-2,0),=(x0,y0)(x0+2,y0) =+2x0+=+2x0+ -1=+2x0-1 = (x0+ ) 2- . x0,x0=时,最小,其值为 3+2. 即3+2,+). 4.【解析】选 B.由题意可知MF1F2为直角三角形且MF1F2=30, tan30=,整理得e 2-2e- =0,解得 e=. 5. 【解析】 选 A.双曲线 -y 2=1 的左顶点 A 为(- ,0),得直线 AM 的斜率为

7、 k=, 渐近线方程为 y=x,所以有=a= . 6.【解析】双曲线方程可转化为-=1, an是以 4 为首项的正项数列,一条渐近线方程为 y=x, =,=2, 数列an是以 4 为首项,以 2 为公比的等比数列, an=42 n-1=2n+1. 答案:an=2 n+1 7.【解析】由 a=4,b=3,得 c=5,设左焦点为 F1,右焦点为 F2, 则|PF2|= (a+c+c-a)=c=5, 由双曲线的定义得|PF1|=2a+|PF2|=8+5=13. 答案:13 8. 【解析】 由条件可知 =即 b=a,由顶点(a,0)到 y=x 的距离等于 1 得 1=, 解得 a=2,b=,即 a 2

8、=4,b2= ,双曲线方程为 - =1. 答案: -=1 9.【解析】将直线 l 的方程 y=kx+1 代入双曲线 C 的方程 2x 2-y2=1 后,整理得 (k 2-2)x2+2kx+2=0. 依题意,直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同的两点, 故 解得 k 的取值范围是k|-2k0,b0), 则解得 双曲线 C2的标准方程为 -y 2=1. (2)双曲线 C1的渐近线方程为 y=2x,y=-2x. 设 A(x1,2x1),B(x2,-2x2). 由消去 y 化简得 3x 2-2mx-m2=0, 由=(-2m) 2-43(-m2)=16m20,得 m0. x1x2=-, =x1x2+(

9、2x1)(-2x2)=-3x1x2, m 2=3,即 m= . 【拓展提升】平面几何与平面向量的结合 平面解析几何与平面向量在高考中是重要的交汇点,当这种题目出现时,要注意 以下几点: (1)合理使用平面向量的坐标表示和坐标运算. (2)合理使用平面几何中的结论、关系等. (3)把几何运算转化为代数运算,利用代数运算的结果解释平面几何问题. 11.【解析】(1)双曲线 C 的渐近线方程为 y=x, b 2=3a2,双曲线的方程可设为 3x2-y2=3a2. 点 M(,)在双曲线上,可解得 a 2=4, 双曲线 C 的方程为 - =1. (2)设直线 PQ 的方程为 y=kx+m,点 P(x1,

10、y1),Q(x2,y2), 将直线 PQ 的方程代入双曲线 C 的方程,可化为(3-k 2)x2-2kmx-m2-12=0, x1+x2=,x1x2=. 由=0 x1x2+y1y2=0 即(1+k 2)x 1x2+km(x1+x2)+m 2=0, (1+k 2) +km+m 2=0 化简得 m2=6k2+6, |OP| 2+|OQ|2=|PQ|2=(1+k2)(x 1+x2) 2-4x 1x2=24+ . 当 k=0 时,|PQ| 2=24+ 24 成立,且满足, 又因为当直线 PQ 垂直 x 轴时,|PQ| 224, 所以|OP| 2+|OQ|2 的最小值是 24. 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块文档返回原板块