课时作业(四十二)　空间几何体的表面积与体积.DOC

1、课时作业(四十二)空间几何体的表面积与体积 基础过关组 一、单项选择题 1已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积的比是() A65B54C43D32 解析设球的半径为 R，则圆柱的底面半径为 R，高为 2R，设圆柱的表面积和球的表面积分别为 S1，S2， 则 S12R22R2R6R2，S24R2，所以S1 S2 3 2。故选 D。 答案D 2过半径为 2 的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比值为 () A. 9 32 B. 9 16 C.3 8 D. 3 16 解析由题意知所得截面为圆，设该圆的半径为 r，则 2212r2，

2、所以 r23，所以所得截面的面积与 球的体积的比值为 3 4 32 3 9 32。故选 A。 答案A 3(2020天津高考)若棱长为 23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为() A12B24 C36D144 解析设外接球的半径为 R，易知 2R 32 36，所以 R3，于是该球的表面积 S4R236。故 选 C。 答案C 4(2021昆明调研测试)在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，AA11，则点 B 到平面 D1AC 的距 离为() A. 3 3 B. 6 3 C1D. 2 解析如图，连接 BD1，易知 D1D 就是三棱锥 D1ABC 的高，AD1CD1 5，取 A

3、C 的中点 O，连接 D1O，则 D1OAC，所以 D1O AD21AO2 3。设点 B 到平面 D1AC 的距离为 h，则由 VBD1ACVD1ABC， 即 1 3S D1ACh1 3S ABCD1D，又 SD1AC 1 2D 1OAC1 2 32 2 6，S ABC1 2ABBC 1 2222，所以 h 6 3 。故选 B。 答案B 5设三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，ABAC2，BAC90，AA13 2，且三棱柱的所有顶 点都在同一球面上，则该球的表面积是() A24B18 C26D16 解析依题意得三棱柱 ABCA1B1C1的外接球即底面为正方形(边长为 2)、高为 32的

4、长方体的外接球， 故该球的直径为长方体的体对角线，设该球的半径为 R，则有(2R)22222(3 2)226，故该球的表面积为 4R226。故选 C。 答案C 6某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为 2，高为 3 的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱 体的一个底面落在圆锥体的底面内。若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积为() A.16 9 B.8 9 C.16 27 D.8 27 解析解法一：如图，OC2，OA3，由AEDAOC，可得ED OC AE AO。设圆柱体的底面半径 rED 2x(0 x1)，可得 AE3x，则圆柱体的高 hOE33x，圆柱体的体积 V(2x)2(33x)12

5、(x2x3)，令 V(x)12(x2x3)，则 V(x)12(2x3x2)，令 V(x)0，解得 x2 3或 x0(舍去)，可得 V(x)在 0，2 3 上单 调递增，在 2 3，1上单调递减，故当 x2 3时，V(x)取得最大值，V(x) max16 9 ，即圆柱体的最大体积为16 9 。 解法二：同解法一，则圆柱体的体积 V12x2(1x)6xx(22x)6 xx22x 3 316 9 ，当且仅 当 x22x，即 x2 3时等号成立，故圆柱体的最大体积是 16 9 。 答案A 7.我国古代九章算术里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈， 袤四丈，高三丈。问积几何

6、？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，下底宽 2 丈，长 3 丈， 上底宽 3 丈，长 4 丈，高 3 丈。问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的 2 倍与下底长的和与上底 宽相乘，同样下底长的 2 倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以 6。则 这个问题中的刍童的体积为() A13.25 立方丈B26.5 立方丈 C53 立方丈D106 立方丈 解析由题意知，刍童的体积为(423)3(324)23626.5(立方丈)。故选 B。 答案B 8(2021贵阳市适应性考试)已知 A，B，C，D 四点在球 O 的表面上，且 ABBC2，AC2 2，若

7、四 面体 ABCD 的体积的最大值为4 3，则球 O 的表面积为( ) A7B9 C10D12 解析根据题意有 AB2BC2AC2，所以ABC 在以 AC 为直径的截面圆内，如图，SABC1 2222。 当平面 DAC平面 ABC 时，所得四面体的体积最大，此时，设高为 h，则 VDABC1 3S ABCh1 32h 4 3，解 得 h2， 设 O1为 AC 的中点， 则 OO1平面 ABC， 在 RtOO1C 中， 根据 OO21O1C2OC2， 得(2R)2( 2)2 R2(R 为球 O 的半径)，解得 R3 2，所以球的表面积 S4R 29。 答案B 二、多项选择题 9已知等腰直角三角形

8、的直角边长为 1，现将该三角形绕其某一边所在直线旋转一周，则所形成的几何 体的表面积可以为() A. 2B(1 2) C2 2D(2 2) 解析若以直角边所在直线为旋转轴，得到一个底面半径为 1、高为 1 的圆锥，其表面积为12 1 2(1 2)； 若以斜边所在直线为旋转轴， 得到两个底面半径为 2 2 、 高为 2 2 的圆锥所形成的组合体， 其表面积为 2 2 2 1 2。故选 AB。 答案AB 10(2020山东济南二模)已知圆锥的顶点为 P，母线长为 2，底面半径为 3，A，B 为底面圆周上两个动 点(A 与 B 不重合)，则下列说法正确的是() A圆锥的体积为 BPAB 为等腰三角形

9、 CPAB 面积的最大值为 3 D直线 PA 与圆锥底面所成角的大小为 6 解析如图所示，点 O 为点 P 在圆锥底面上的射影，连接 OA，OB。PO 22 321，圆锥的体积 V 1 3( 3) 21，A 正确；PAPB2，B 正确；易知直线 PA 与圆锥底面所成的角为PAO 6，D 正 确；取 AB 的中点 C，连接 PC，设PAC，则 6， 2 ，SPAB2sin 2cos 2sin 2，当 4时，PAB 面积取得最大值 2，C 错误。故选 ABD。 答案ABD 三、填空题 11.(2020江苏高考)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的。已知螺帽的底面正六 边形边长为

10、2 cm，高为 2 cm，内孔半径为 0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是_cm3。 解析正六棱柱的体积为 6 3 4 22212 3(cm3)，圆柱的体积为0.522 2(cm) 3，则该六角螺帽 毛坯的体积为 12 3 2 cm3。 答案12 3 2 12(2020浙江高考)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为 2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的 底面半径(单位：cm)是_。 解析解法一： 设该圆锥的母线长为 l， 因为圆锥的侧面展开图是一个半圆， 其面积为 2， 所以1 2l 22， 解得 l2，所以该半圆的弧长为 2。设该圆锥的底面半径为 R，则 2R2，解得 R1。 解法二

11、：设该圆锥的底面半径为 R，则该圆锥侧面展开图中的圆弧的弧长为 2R。因为侧面展开图是一 个半圆，设该半圆的半径为 r，则r2R，即 r2R，所以侧面展开图的面积为1 22R2R2R 22，解得 R 1。 答案1 13(2020全国卷)已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_。 解析易知半径最大的球即为该圆锥的内切球。圆锥 PE 及其内切球 O 如图所示，设内切球的半径为 R， 则 sinBPE R OP BE PB 1 3，所以 OP3R，所以 PE4R PB 2BE2 32122 2，所以 R 2 2 ，所以内 切球的体积 V4 3R 3 2 3 ，即该圆锥

12、内半径最大的球的体积为 2 3 。 答案 2 3 14.14 题图如图所示，在三棱锥 PABC 中，AP底面 ABC，ACB90，ACBC1，AP 3，则该 三棱锥外接球的体积为_。 解析解法一：因为 AP底面 ABC，所以 APBC。因为ACB90，所以 ACBC，所以 BC平面 PAC。 由直角三角形的性质可得 PB 的中点到三棱锥四个顶点的距离相等， 所以 PB 是三棱锥 PABC 的外接球 的直径。因为在 RtPBA 中，AB 2，AP 3，所以 PB 5，所以该三棱锥外接球的半径 R 5 2 ，所以 该三棱锥外接球的体积 V4 3R 35 5 6 。 解法二：如图所示，根据题意可将三

13、棱锥补形为一个长、宽、高分别为 1,1， 3的长方体，则三棱锥的 外接球与长方体的外接球相同。设外接球半径为 R，则(2R)21212( 3)25，所以该三棱锥外接球的体积 V4 3R 35 5 6 。 答案 5 5 6 素养提升组 15已知三棱锥 SABC 的底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N 分别是棱 SC，BC 的中点，且 MNAM，若侧棱 SA2 3，则三棱锥 SABC 的外接球的表面积是() A12B32C36D48 解析因为 M，N 分别为棱 SC，BC 的中点，所以 MNSB。由题意可知三棱锥 SABC 为正三棱锥，易 证 SBAC，所以 MNAC。又因为 M

14、NAM，AMACA，所以 MN平面 SAC，所以 SB平面 SAC，所 以ASBBSC90。易得ASC90。可将此三棱锥补成棱长为 23的正方体，则正方体的外接 球即为三棱锥的外接球，正方体的体对角线就是球的直径。设球的半径为 R，则 2R 3SA6，所以 R 3，所以三棱锥 SABC 的外接球的表面积 S4R236。故选 C。 答案C 16.如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE底面 ABCD。 (1)证明：平面 AEC平面 BED； (2)若ABC120，AEEC，三棱锥 EACD 的体积为 6 3 ，求该三棱锥的侧面积。 解(1)证明：因为四边形 ABCD

15、为菱形， 所以 ACBD。 因为 BE底面 ABCD，AC底面 ABCD， 所以 BEAC。 而 BDBEB，BE平面 BED，BD平面 BED， 所以 AC平面 BED。 又 AC平面 AEC， 所以平面 AEC平面 BED。 (2)设 ABx，在菱形 ABCD 中，由ABC120， 可得 AGGC 3 2 x，GBGDx 2。 因为 AEEC， 所以在 RtAEC 中，可得 EG 3 2 x。 由 BE底面 ABCD，知EBG 为直角三角形， 可得 BE 2 2 x。 由已知得，三棱锥 EACD 的体积 VEACD1 3 1 2ACGDBE 6 24x 3 6 3 ，故 x2。 从而可得 AEECED 6。 所以EAC 的面积为 3，EAD 的面积与ECD 的面积均为 5。 故三棱锥 EACD 的侧面积为32 5。