课时作业(三十一)　平面向量的综合应用.DOC

1、课时作业(三十一)平面向量的综合应用 基础过关组 一、单项选择题 1已知向量 a cos 6，sin 6 ，b cos 5 6 ，sin 5 6 ，则|ab|() A1B 6 2 C 3D 10 2 解析因为 ab cos 6cos 5 6 ，sin 6sin 5 6 ( 3，0)，所以|ab| 3。故选 C。 答案C 2已知向量 a(1，sin )，b(1，cos )，则|ab|的最大值为() A1B 2 C 3D2 解析因为 a(1，sin )，b(1，cos )，所以 ab(0，sin cos )。所以|ab| 02sin cos 2 1sin 2。所以|ab|的最大值为 2。故选 B。

2、 答案B 3已知 A，B 是圆心为 C，半径为 5的圆上的两点，且|AB | 5，则AC CB () A5 2 B5 2 C0D5 3 2 解析由于弦长|AB| 5与半径相等，则ACB60，AC CB CA CB |CA |CB |cosACB 5 5cos 605 2。 答案A 4在ABC 中，AC4，AB2，若 G 为ABC 的重心，则AG BC () A8B6 C4D2 解析因为AG 1 3(AC AB )，BC AC AB ，所以AG BC 1 3(AC AB )(AC AB )1 3(AC 2AB 2)4。故选 C。 答案C 5已知向量AB 与AC 的夹角为 120，且|AB |2，

3、|AC |4，若AP AB AC ，且AP BC ，则实数的值为 () A4 5 B4 5 C2 5 D2 5 解析因为AB AC 24cos 1204，所以AP BC (AB AC )(AC AB )416440，解 得2 5。故选 C。 答案C 6已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则PA (PB PC )的最小值是() A2B3 2 C4 3 D1 解析如图，以等边三角形 ABC 的底边 BC 所在直线为 x 轴，以 BC 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角 坐标系，则 A(0， 3)，B(1,0)，C(1,0)，设 P(x，y)，则PA (x， 3y)，

4、PB (1x，y)，PC (1x， y)，所以PA (PB PC )(x， 3y)(2x，2y)2x22 y 3 2 23 2，当 x0，y 3 2 时，PA (PB PC ) 取得最小值，为3 2。 答案B 二、多项选择题 7(2020山东模拟)设向量 a(2,0)，b(1,1)，则() A|a|b|B(ab)b C(ab)bDa 与 b 的夹角为 4 解析因为|a|2，|b| 2，所以 A 错误；ab(1，1)，所以(ab)b110，所以(ab)b，所 以 B 错误，C 正确；因为 cosa，b ab |a|b| 2 2 2 2 2 ，且 0a，b，所以 a，b 的夹角为 4，所以 D 正

5、确。故选 CD。 答案CD 8(2020泰安模拟)已知向量 a(2,1)，b(1，1)，c(m2，n)，其中 m，n 均为正数，且(ab) c，下列说法正确的是() Aa 与 b 的夹角为钝角 B向量 a 在 b 方向上的投影为 5 5 C2mn4 Dmn 的最大值为 2 解析对于 A，向量 a(2,1)，b(1，1)，则 ab2110，则 a 与 b 的夹角为锐角，A 错误； ，对 于 B，向量 a(2,1)，b(1，1)，则向量 a 在 b 方向上的投影为ab |b| 2 2 ，B 错误；对于 C，向量 a(2,1)， b(1，1)，则 ab(1,2)，若(ab)c，则(n)2(m2)，变

6、形可得 2mn4，C 正确；对于 D，由 C 的结论，2mn4，而 m，n 均为正数，则有 mn1 2(2mn) 1 2 2mn 2 22，当且仅当 2mn 取等号，即 mn 的最大值为 2，D 正确。故选 CD。 答案CD 三、填空题 9设 e1，e2，e3为单位向量，且 e31 2e 1ke2(k0)，若以向量 e1，e2为邻边的三角形的面积为1 2，则 k _。 解析设 e1，e2的夹角为，则由以向量 e1，e2为邻边的三角形的面积为1 2，得 1 211sin 1 2，得 sin 1， 所以90， 所以 e1e20， 从而对 e31 2e 1ke2两边同时平方得 11 4k 2， 解得

7、 k 3 2 或 k 3 2 (舍去)， 所以 k 3 2 。 答案 3 2 10在ABC 中，若AB AC AB CB 2，则边 AB 的长等于_。 解析由题意知AB AC AB CB 4，即AB (AC CB )4，即AB AB 4，所以|AB |2。 答案2 11设向量OA (1，2)，OB (a，1)，OC (b,0)，其中 O 为坐标原点，a0，b0，若 A，B，C 三点共线，则1 a 2 b的最小值为_。 解析因为OA (1，2)，OB (a，1)，OC (b,0)，所以AB OB OA (a1,1)，AC OC OA (b1,2)，因为 A，B，C 三点共线，所以AB AC ，即

8、(a1,1)(b1,2)，所以 a1b1， 12， 可 得 2ab1，因为 a0，b0，所以1 a 2 b 1 a 2 b (2ab)22b a 4a b 42 b a 4a b 8，当且仅当b a 4a b ， 即 a1 4，b 1 2时取等号，故 1 a 2 b的最小值为 8。 答案8 四、解答题 12在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m 2 2 ， 2 2 ，n(sin x，cos x)，x 0， 2 。 (1)若 mn，求 tan x 的值； (2)若 m 与 n 的夹角为 3，求 x 的值。 解析(1)因为 m 2 2 ， 2 2 ，n(sin x，cos x)，mn，所以 m

9、n 2 2 sin x 2 2 cos x0， 即 sin xcos x，所以 tan xsin x cos x1。 (2)由题意知，|m| 2 2 2 2 2 21， |n| sin2xcos2x1， mn 2 2 sin x 2 2 cos xsin x 4 。 而 mn|m|n|cosm，ncos 3 1 2， 所以 sin x 4 1 2。 又因为 x 0， 2 ，x 4 4， 4 ， 所以 x 4 6，所以 x 5 12。 13在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，C2A，cos A3 4。 (1)求 cos C，cos B 的值； (2)若BA BC 27 2 ，

10、求边 AC 的长。 解(1)cos Ccos 2A2cos2A12 3 4 211 8， 所以 sin C3 7 8 ，sin A 7 4 。 所以 cos Bcos(AC)sin Asin Ccos Acos C 7 4 3 7 8 3 4 1 8 9 16。 (2)因为BA BC 27 2 ，所以 accos B27 2 ， 即 ac24。又 a sin A c sin C，C2A， 所以 c2acos A3 2a 。 由解得 a4，c6。 所以 b2a2c22accos B1636246 9 1625。 所以 b5，即边 AC 的长为 5。 素养提升组 14(多选)已知点 P 为ABC

11、所在平面内一点，且PA 2PB 3PC 0，若 E 为 AC 的中点，F 为 BC 的中 点，则下列结论正确的是() A向量PA 与PC 可能平行 B向量PA 与PC 可能垂直 C点 P 在线段 EF 上 DPEPF12 解析E 为 AC 的中点， F 为 BC 的中点， 结合平面向量的线性运算可知PE 1 2(PA PC )， PF 1 2(PB PC )， 由PA 2PB 3PC 0，得1 2PA PB 3 2PC 0，所以1 2PA 1 2PC 2 1 2PB 1 2PC 0，PE 2PF ，则点 P 在线段 EF 上，且 PEPF21，故 C 正确，D 错误；由平面向量线性运算可知，向

12、量PA 与PC 不可能平行，但可能 垂直，故 A 错误，B 正确。故选 BC。 答案BC 15 (2021江西省八校联考)在ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 若 cos A(b2c)a(2cos C 3sin B)，c2b，且|AB 2AC |6，则边长 a 的值为_。 解析由 cos A(b2c)a(2cos C 3sin B)，可得 cos A(sin B2sin C)sin A(2cos C 3sin B)，sin Bcos A2(sin Acos Csin Ccos A) 3sin Asin B，sin Bcos A2sin(AC) 3sin Asi

13、n B，sin Bcos A2sin B 3sin Asin B，因为 sin B0，所以3sin Acos A2，所以 sin A 6 1，又0A，所以 6A 6 7 6 ，所以 A 6 2，所以 A 3。因为|AB 2AC |2c24bccos A4b236，c2b，所以 b 3，c2 3。所以 a2b2c2 2bccos A31269，故 a3。 答案3 16已知向量 a，b 满足|a|1，且对任意实数 x，y，|axb|的最小值为 3 2 ，|bya|的最小值为 3，则|a b|_。 解析不妨设向量 a(1,0)，b(m，n)，则 axb(1xm，xn)，bya(my，n)。因为|axb|2(1 xm)2(xn)2(m2n2)x22mx1，又对任意实数 x 有|axb|的最小值为 3 2 ，所以可得4m 2n22m2 4m2n2 3 4，整理得 n 23m2。因为|bya|2(my)2n2，又对任意实数 y 有|bya|的最小值为 3，所以可得 n23。 于是，3m23，即 m1。从而，由 ab(1m，n)，可得|ab|2(1m)2n2m2n22m1，所以|a b|27 或|ab|23，故|ab| 7或|ab| 3。 答案3或 7