解答题必刷卷(二)　三角函数、解三角形.DOC

1、解答题必刷卷(二)三角函数、解三角形 1(2019北京高考)在ABC 中，其中 a3，bc2，cos B1 2。 (1)求 b，c 的值； (2)求 sin(BC)的值。 解(1)由余弦定理 b2a2c22accos B， 得 b232c223c 1 2 。 因为 bc2， 所以(c2)232c223c 1 2 ，解得 c5。所以 b7。 (2)由 cos B1 2得 sin B 3 2 。 由正弦定理得 sin Cc bsin B 5 3 14 。 在ABC 中，B 是钝角，所以C 为锐角。 所以 cos C 1sin2C11 14。 所以 sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin

2、 C4 3 7 。 2(2021北京西城区统一测试)已知ABC 满足_，且 b 6，A2 3 ，求 sin C 的值及ABC 的 面积。 从B 4，a 3，a3 2sin B 这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答。 解当选择条件时， 因为 B 4，A 2 3 ， 所以 sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B 3 2 2 2 1 2 2 2 6 2 4 。 由正弦定理 a sin A b sin B， 得 a 3 2 6 2 2 ，解得 a3， 所以 SABC1 2absin C 93 3 4 。 当选择条件时， 因为 ab，所以 AB，又 A 为钝角，所以

3、无解。 当选择条件时， 由题意得 B 为锐角。 由正弦定理 a sin A b sin B， 得 3 2sin B 3 2 6 sin B，得 sin B 2 2 ，所以 a3， sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B 3 2 2 2 1 2 2 2 6 2 4 。 所以 SABC1 2absin C 93 3 4 。 3(2021贵阳市监测考试)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 sin Asin Bsin2C sin2Asin2B。 (1)求角 C 的大小； (2)若 c2，求ABC 面积的最大值。 解(1)在ABC 中， sin A

4、sin Bsin2Csin2Asin2B， 由正弦定理得 a2b2c2ab， 两边都除以 2ab，得 cos Ca 2b2c2 2ab 1 2， 又 0C0， 所以 cos C0，所以 cos C 5 5 。 (2)解法一：在ABC 中，由正弦定理得 sin Acos Bsin Bsin Asin C， 因为 sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B， 所以 sin Acos Bsin Bsin Asin Acos Bcos Asin B， 即 sin Bsin Acos Asin B， 又 A，B(0，)， 所以 sin B0，sin Acos A，得

5、A 4。 因为 sin Bsin(AC)sin(AC)， 所以 sin Bsin Acos Ccos Asin C 2 2 5 5 2 2 2 5 5 3 10 10 。 在ABC 中，由正弦定理得 basin B sin A 53 10 10 2 2 3。 解法二：因为 acos Bbsin Ac， acos Bbcos Ac， 所以 acos Bbsin Aacos Bbcos A， 即 sin Acos A，又 A(0，)，所以 A 4。 在ABC 中，由正弦定理得 casin C sin A 52 5 5 2 2 2 2。 因为 bccos Aacos C， 所以 b2 2 2 2 5

6、 5 5 3。 5已知在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a2，b 2，同时还可能满足以下某些条件： A 4；BA；sin Bb 2，所以 AB，所以 B 6。 解法一：sin Csin(AB)sin 7 12 6 2 4 ， 由 a sin A c sin C得 c asin C sin A 2 6 2 4 2 2 31。 解法二：由 a2b2c22bccos A 得 22( 2)2c22 2c 2 2 ， 解得 c 31 或 c 31(舍)。 6(2021山东淄博模拟)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c。下面给出有关ABC 的四 个论断： SABC

7、 3 2 ；b2aca2c2； a c2 或 a c 1 2；b 3。 以其中三个论断作为条件， 余下的一个论断作为结论， 写出一个正确的命题： 若_， 则_(用 序号表示)并给出证明过程。 解解法一：若，则。由得 b2a2c2ac，则由余弦定理得 cos B1 2，即 B60。 由 SABC 3 2 ，得 1 2acsin B 3 2 ，又 B60，所以 ac2。 因为a c2 或 a c 1 2，所以不妨取 a c2，联立 ac2，解得 a2，c1， 故由余弦定理可得 b2a2c2ac4123，解得 b 3。 综上，当ABC 满足条件时，成立。 解法二：若，则。 推导同解法一，可得 b2a

8、2c2ac，ac2。 由 b 3，且 b2a2c2ac，得 a2c2ac3， 整理得(ac)2369ac3，(ac)2321ac1，解得 a2， c1 或 a1， c2， 即a c2 或 a c 1 2，所以当ABC 满足条件时，成立。 解法三：若，则。 由 SABC 3 2 ，得 1 2acsin B 3 2 。 因为a c2 或 a c 1 2， 所以不妨取a c2，代入上式得 c 2sin B 3 2 ， 即 sin B 3 2c2。 由 b 3，且 b2a2c22accos B，a c2， 得 5c24c2cos B3，即 cos B5c 23 4c2 。 由 sin2Bcos2B1，

9、得 3c410c270， 解得 c21 或 c27 3，即 c1 或 c 7 3。 当 c1 时，得 a2，此时 cos B1 2，则由余弦定理得 b 2a2c22accos B3，显然 b2aca2c2成 立，即成立； 当 c 7 3时，得 a2 7 3，此时 cos B 13 14，则由余弦定理得 b 2a2c22accos B3， 所以 b2a2c2ac 不成立， 所以当ABC 满足条件时，不能推出成立。 解法四：若，则。 由得 b2a2c2ac，则由余弦定理可得 cos B1 2，即 B60。由 b 3， 且 b2a2c2ac，得 a2c2ac3。 因为a c2 或 a c 1 2，所以不妨取 a c2， 代入 a2c2ac3 得 3c23， 解得 c1，所以 a2。 故ABC 的面积 SABC1 2acsin B 3 2 ， 所以当ABC 满足条件时，成立。