课时作业(二十七)　解三角形的综合应用.DOC

1、课时作业(二十七)解三角形的综合应用 基础过关组 一、单项选择题 1由下列条件解ABC，其中有两解的是() Ab20，A45，C80 Ba30，c28，B60 Ca14，c16，A45 Da12，c15，A120 解析对于 A，由 A45，C80得 B55，由正弦定理 a sin A b sin B c sin C，得 a bsin A sin B 10 2 sin 55，c 20sin 80 sin 55 ，此时ABC 仅有一解，A 不符合条件；对于 B，a30，c28，B60，由余弦定理 b2a2c2 2accos B，得 b2844，可得 b2 211，此时ABC 仅有一解，B 不符合条

2、件；对于 D，由 a12，c15， 知 ac，则 A 2 2 ， 又 ca， 故 C45， 由正弦函数的图象和性质知， 此时ABC 有两解。故选 C。 答案C 2ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 B120，sin C 21 7 ，c2，则ABC 的 面积等于() A 3 2 B2 3 C 3 4 D 3 解析解法一：由正弦定理 b sin B c sin C，得 b csin B sin C 2 3 2 21 7 7。由余弦定理 b2a2c22accos B， 得 7a242a，解得 a1 或 a3(舍去)，所以 SABC1 2acsin B 1 212 3 2

3、3 2 。故选 A。 解法二：由正弦定理 b sin B c sin C，得 b csin B sin C 2 3 2 21 7 7。因为 sin C 21 7 ，0Cbc，则 sin Asin Bsin C B若 ABC，则 sin Asin Bsin C Cacos Bbcos Ac D若 a2b2c2，则ABC 是锐角三角形 解析对于 A，由于 abc，由正弦定理 a sin A b sin B c sin C，可得 sin Asin Bsin C，故 A 正确；对于 B， ABC，由大边对大角可知，abc，由正弦定理 a sin A b sin B c sin C，可得 sin Asi

4、n Bsin C，故 B 正确；对 于 C，根据正弦定理可得 acos Bbcos A2R(sin Acos Bsin Bcos A)2Rsin(BA)2Rsin(C)2Rsin C c(其中 R 为ABC 的外接圆半径)，故 C 正确；对于 D，a2b2c2，由余弦定理可得 cos Ca 2b2c2 2ab 0，由 C(0，)，可得 C 是锐角，但 A 或 B 可能为钝角，故 D 错误。 答案ABC 8在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且(ab)(ac)(bc)91011，则下列 结论正确的是() Asin Asin Bsin C456 BABC 是钝角三角形 CAB

5、C 的最大内角是最小内角的 2 倍 D若 c6，则ABC 外接圆的半径为8 7 7 解析因为(ab)(ac)(bc)91011，所以可设 ab9x， ac10 x， bc11x (其中 x0)，解得 a4x，b 5x，c6x，所以 sin Asin Bsin Cabc456，所以 A 正确；因为 c 最大，所以角 C 最大，又 cos Ca 2b2c2 2ab 4x 25x26x2 24x5x 1 80，所以角 C 为锐角，所以 B 错误；因为 a 最小，所以角 A 最小，又 cos Ac 2b2a2 2cb 6x 25x24x2 26x5x 3 4，所以 cos 2A2cos 2A11 8，

6、所以 cos 2Acos C，由角 C 最大且 角 C 为锐角可得 C 0， 2 ，2A(0，)，所以 2AC，所以 C 正确；设ABC 外接圆的半径为 R，则由正弦 定理得 2R c sin C，又 sin C 1cos 2C3 7 8 ，所以 2R 6 3 7 8 ，解得 R8 7 7 ，所以 D 正确。故选 ACD。 答案ACD 三、填空题 9设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 acos C 3 2 cb，则 A_。 解析由余弦定理得 cos Ca 2b2c2 2ab ，将其代入 acos C 3 2 cb 中得，aa 2b2c2 2ab 3 2 cb，化简 整理

7、得 b2c2a2 3bc，于是 cos Ab 2c2a2 2bc 3 2 ，所以 A 6。 答案 6 10在ABC 中，D 为 AC 的中点，若 AB4 6 3 ，BC2，BD 5，则 cos ABC_，sin C _。 解析解法一：依题意得，cos ADBcos BDC，所以BD 2AD2AB2 2BDAD BD 2DC2BC2 2BDDC ，又 ADDC1 2AC，所以 BD 2AD2AB2(BD2DC2BC2)，所以 2BD 2AB2BC2AC2，即 2 5 2 4 6 3 222 AC2，解得 AC2 21 3 。由余弦定理得 cos ABCAB 2BC2AC2 2ABBC 6 6 ，

8、所以 sin ABC 30 6 ，由正弦定理 AB sin C AC sin ABC，得 sin C ABsin ABC AC 2 105 21 。 解法二：依题意得BD 1 2(BA BC )，所以 BD 21 4(BA BC )2，即 BA 2BC 22BA BC 4BD 2， 4 6 3 222 24 6 3 2cos ABC4( 5)2， 解得 cos ABC 6 6 ， 所以 sin ABC 30 6 。 因为(BA BC )2(BA BC )2 2(BA 2BC 2)，所以 4( 5)2|CA |22 4 6 3 222 ，解得|CA |2 21 3 。由正弦定理 AB sin C

9、 AC sin ABC，得 sin CABsin ABC AC 2 105 21 。 答案 6 6 2 105 21 11 (2021广东大联考)设 a， b， c 分别为ABC 内角 A， B， C 的对边。 已知2a 3b cos B 3c cos C， 则 C_， a2c2b2 ac 的取值范围为_。 解析因为2a 3b cos B 3c cos C， 所以(2a 3b)cos C 3ccos B(cos Bcos C0)， 所以(2sin A 3sin B)cos C 3sin Ccos B，即 2sin Acos C 3sin(CB) 3sin A。又 sin A0，所以 cos C

10、 3 2 。而 C(0，)，则 C 6。因为 cos B0，所以 B 0， 2 2， 5 6 。而a 2c2b2 ac 2cos B，故a 2c2b2 ac ( 3，0)(0,2)。 答案 6(或 30) ( 3，0)(0,2) 四、解答题 12(2020山东日照二模)在b2aca2c2； 3acos Bbsin A； 3sin Bcos B2，这三个条件中 任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题。 已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，_，A 4，b 2。 (1)求角 B； (2)求ABC 的面积。 解若选择b2aca2c2。 (1)由余弦定理得 cos Ba 2c2

11、b2 2ac b 2acb2 2ac 1 2， 因为 B(0，)，所以 B 3。 (2)由正弦定理 a sin A b sin B， 得 absin A sin B 2sin 4 3 2 2 3 3 ， 因为 A 4，B 3，所以 C 4 3 5 12， 所以 sin Csin5 12sin 4 6 sin 4cos 6cos 4sin 6 6 2 4 ， 所以 SABC1 2absin C 1 2 2 3 3 2 6 2 4 3 3 6 。 若选择 3acos Bbsin A。 (1)由正弦定理得3sin Acos Bsin Bsin A， 因为 sin A0，所以3cos Bsin B，

12、即 tan B 3， 又 B(0，)，所以 B 3。 (2)同上。 若选择 3sin Bcos B2。 (1)由和角公式得 2sin B 6 2， 所以 sin B 6 1。 因为 B(0，)，所以 B 6 6， 7 6 ， 所以 B 6 2，所以 B 3。 (2)同上。 13已知锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 c2 3，2sin 2C 3 3。 (1)若 a2 2，求角 A； (2)求ABC 面积的最大值。 解(1)因为 2sin 2C 3 3， 所以 sin 2C 3 3 2 ， 又 C 0， 2 ，所以 2C 3 3， 2 3 ， 所以 2C 3

13、3，即 C 3， 所以 2 2 sin A 2 3 sin 3 sin A 2 2 ， 又 ac，所以 0AC 3，因此 A 4。 (2)在ABC 中，由 c2a2b22abcos C， 得 12a2b2abab， 所以 SABC1 2absin C3 3， 当且仅当 ab，即ABC 为等边三角形时，上式等号成立， 所以ABC 面积的最大值是 3 3。 14(2021“四省八校”联考)在锐角三角形 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b cos Asin C c sin C a cos A。 (1)求角 C 的大小； (2)若 b1，求 c 的取值范围。 解(1)因为

14、b cos Asin C c sin C a cos A ccos Aasin C sin Ccos A ， 所以 bccos Aasin C， 由正弦定理得，sin Bsin Ccos Asin Asin C， 又 sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C， 所以 sin Asin Csin Acos C， 又 0A 2，所以 sin A0， 所以 tan C1，C 4。 (2)由(1)可知，AB3 4 ， 又ABC 是锐角三角形， 所以 0B 2， 03 4 B 2， 得 4B 2， 所以 2 2 sin B1。 由正弦定理 b sin B c sin C， 得 c

15、 b sin Bsin C 2 2sin B， 所以 c 2 2 ，1 。 素养提升组 15(数学文化)上世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(图)，充分展示了我国古代高超 的音律艺术及先进的数学水平， 也印证了我国古代音律与历法的密切联系。 图为骨笛测量“春(秋)分”“夏 (冬)至”的示意图，图是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计)，夏(冬)至日光(当日正午太阳光线) 与春(秋)分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角。 由历法理论知，黄赤交角近 1 万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交 角 23412357241324282444 正切值0.4390.4

16、440.4500.4550.461 年代 公元 元年 公元前 2000 年 公元前 4000 年 公元前 6000 年 公元前 8000 年 根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是() A公元前 2000 年到公元元年 B公元前 4000 年到公元前 2000 年 C公元前 6000 年到公元前 4000 年 D早于公元前 6000 年 解析只要能从题目中获取有效信息、合理运用图形，计算出夏(冬)至日光(当日正午太阳光线)与春(秋) 分日光(当日正午太阳光线)的夹角的正切值，再根据题中表格确定相应的年代范围，便可解决问题。由题意可 画出示意图，如图，其中 AOBO(BO 代表

17、骨笛)，AO10.00，BC9.40，BO16.00，故 OC6.60。设黄赤 交角为，由题意得BACCAD，故BAOCAO。tanBAO16 101.6，tanCAO 6.6 10 0.66， 所以 tan tan(BAOCAO) tanBAOtanCAO 1tanBAOtanCAO 1.60.66 11.60.66 0.94 2.0560.457，对照题中表格，由 0.4550.4570.461，得该骨笛的大致年代早于公元前 6000 年。故选 D。 答案D 16(2020浙江高考)在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c。已知 2bsin A 3a0。 (1)求角 B

18、 的大小； (2)求 cos Acos Bcos C 的取值范围。 解(1)由正弦定理得 2sin Bsin A 3sin A， 因为 A 0， 2 ，所以 sin A0， 故 sin B 3 2 ，因为 B 0， 2 ， 所以 B 3。 (2)由 ABC得 C2 3 A， 由ABC 是锐角三角形得 A 6， 2 。 由 cos Ccos 2 3 A 1 2cos A 3 2 sin A 得， cos Acos Bcos C 3 2 sin A1 2cos A 1 2sin A 6 1 2。 因为 A 6 3， 2 3 ， 所以 sin A 6 3 2 ，1 ， 则 cos Acos Bcos C 31 2 ，3 2 ， 故 cos Acos Bcos C 的取值范围是 31 2 ，3 2 。