邯郸市2022届高三上学期开学摸底数学试卷及答案.pdf

1、 -1 - 邯郸市2 0 2 2届高三年级摸底考试试卷 数学 全解全析 【 命题双向细目表】 题型题号分值 试题难度 易中难 考查的主要知识预期得分率 选择题 15 复数的概念、 计算 0 . 9 选择题 25 集合交集的定义 0 . 8 选择题 35 三角函数二倍角计算 0 . 8 选择题 45 柱体体积问题 0 . 7 选择题 55 排列组合的应用 0 . 7 选择题 65 平面向量的运算 0 . 6 5 选择题 75 双曲线的实轴, 涉及双曲线的渐近线以及离心率 0 . 6 5 选择题 85 直线与平面所成角的计算 0 . 6 5 选择题 95 正弦函数图象的对称性, 单调性 0 . 6

2、 选择题 1 05 二项式展开式中的系数 0 . 6 选择题 1 15 求直线被圆截得的弦长、 圆上的点到直线距离的 最值 0 . 5 5 选择题 1 25 抛物线定义的应用以及抛物线与直线的相关问题 0 . 4 5 填空题 1 35 导数几何意义的应用 0 . 8 填空题 1 45 函数的周期性, 对数和指数的运算 0 . 7 填空题 1 55 数列的递推公式及周期数列 0 . 6 5 填空题 1 65 圆柱体积公式和不规则几何体体积 0 . 5 解答题 1 71 0 等差等比数列的定义、 通项公式、 求和 0 . 7 5 解答题 1 81 2 求概率分布列, 求数学期望 0 . 7 5 解

3、答题 1 91 2 正弦定理、 余弦定理应用 0 . 6 5 解答题 2 01 2 椭圆定义轨迹的方程; 直线与曲线的方程联立, 根 与系数的关系的应用 0 . 6 解答题 2 11 2 线面垂直, 已知几何体体积求二面角的平面角 0 . 5 5 解答题 2 21 2 函数的导数, 判断其符号可得函数的单调区间; 构 建新函数, 利用导数求最值 0 . 5 5 1 .【 分析】 利用复数的运算法则、 纯虚数的定义即可得出. A 由z=a 2+ i - 1 - ai ()=a 2- 1 ()+ 1 +a()i为纯虚数, 得到a 2- 1 = 0, 1 +a 0, 解得a= 1 . 【 命题意图】

4、 本题考查复数的运算和纯虚数的概念. -2 - 2 .【 分析】 根据交集和补集定义, 即可求得答案. D 因为M=x 1 x- 1 0 =x x 1 , 所以 RM= -,1 (, 因 为N= x x+ 3 0 ,所 以 N=x x- 3 =- 3,+ (),所 以 (RM)N= -,1 ( - 3,+ ()= - 3, 1 (. 【 命题意图】 本题主要考查了集合运算, 解题关键是掌握集合基础知识, 考查了分析能力和计算能力, 属于基础题. 3 . B 由s i n 2- 2 ()=-4 5, 得c o s 2 =-4 5, 则c o s 4 = 2 c o s 2 2- 1 = 2 -4

5、 5 () 2 - 1 =7 2 5. 4 . A 由题意得池底面积S= 43 7 5 3 . 5 = 12 5 0m 2, 则蓄水量至少为12 5 0 1 . 8 = 22 5 0( m 3) . 【 命题意图】 本题主要考查柱体体积公式. 5 . B 把2,3,4捆绑在一起, 作为一个元素排列, 当1排在第一位时, 有A 3 3A 3 3= 3 6种排法; 当1排在第二位时,2,3,4 作为一个元素只能排在第三、 四、 五位或第四、 五、 六位, 故共有A 3 3C 1 2A 2 2=2 4种排法. 由分类加法计数原理得, 共有6 0种排法. 【 命题意图】 本题考查排列组合的应用.排列组

6、合中如果有元素相邻, 则可用捆绑法, 即相邻的元素捆绑在一起作为 一个元素进行排列, 当然它们之间也要全排列, 特殊元素可优先考虑.注意分类与分步结合, 不重不漏. 6 .【 分析】 根据题意, 对|a+ 2b| = 2a- 2b平方, 结合|a| = 3 |b|, 求出向量a,b的夹角的余弦值. B 因为|a+ 2b| = 2a- 2b, 所以a 2+ 4 ab+ 4b 2= 4a2- 4 ab+ 4b 2 (), 即2 0ab= 3a 2+ 1 2 b 2, 所以c o s= 3a 2+ 1 2 b 2 2 0 |a| |b| , 因为|a| = 3 |b|, 所以c o s= 3 9b

7、2 2 0 3 |b| |b| =1 3 2 0 , 所以a与b的夹角的余弦值为1 3 2 0. 【 命题意图】 本题考查了利用平面向量的数量积求向量的夹角问题, 是中档题. 7 .【 分析】 利用点到直线的距离公式计算出|F P| =b, 从而得到|O P| =a, 再根据周长为1 2, 得到a+b+c=1 2, 最后结 合离心率求得a= 4, 即可得出结果. A 因为双曲线x 2 a 2- y 2 b 2= 1a 0, b 0 ()的渐近线方程为y=b ax, 右焦点为F c , 0 (), 不妨令点P位于第一象限, 则P F的长度为点F c, 0 ()到直线y=b ax 的距离, 即P

8、F= b c- 0 a 2+ b 2= b, 所以O P=O F 2- P F 2= a, 又O P F的周长为1 2, 所以得到a+b+c= 1 2, 因为该双曲线的离心率为5 4, 即 c a =5 4, 得 9 4 a+b= 1 2, 又c 2= a 2+ b 2, 即b2=9 1 6 a 2, 解得a= 4, 即双曲线的实轴长为8 . 【 命题意图】 本题主要考查求双曲线的实轴, 涉及双曲线的渐近线以及离心率, 熟记双曲线的简单性质即可, 属于中 档题. 8 . B 设正方体的棱长为a, 如图, 取A D的中点G, 连接E G, 过G作GHD D1, 与A1D1交于点 H, 则点FGH

9、, 当E F长度最大时, 点F与点H重合,E G= 2 2 a,EH=a 2+1 2 a 2=6 2 a, 得c o sHE G= 2 2 a 6 2 a = 3 3. 9 .【 分析】 先利用图象变换规律求出函数f x (), 再结合正弦函数的图象和性质进行分析, 得出结论. B D 将函数y= 3 s i nx- 2图象上的各点的横坐标缩短到原来的1 2, 纵坐标不变, 可得到函数y=3 s i n2 x-2的图 象, 再向左平移 8个单位, 可得到函数f ( x)= 3 s i n2x+ 4 ()- 2的图象, 对于选项A, 令x= 4, 求得f ( x)= 3 2 2 - 2, 故A不

10、正确; 对于选项B, f(x)= 3 s i n2x+ 4 ()- 2 = 3 c o s2 x+ 4- 2 ()- 2 = 3 c o s2 x- 4 ()- 2 =g( x) , 即函数f(x) 的图象与 -3 - 函数g( x) 的图象相同, 故B正确; 对于选项C, 若x 0, 8 (), 则2 x+ 4 4, 2 (), 故f( x)= 3 s i n2x+ 4 ()- 2在0 , 8 ()上单调递增, 故C不正确; 对于选项D, 当x= 8时, f(x)= 3 s i n2 8+ 4 ()- 2 = 1, 取得最大值, 故直线x= 8是函数f ( x) 图象的一条对称 轴, 故D正

11、确. 【 命题意图】 本题主要考查函数y=As i n( x+)+b的图象变换规律, 考查正弦函数的图象和性质的应用, 属于基础题. 1 0 .【 分析】 先根据二项式系数之和求出n的值, 再令x= 1可求系数和, 根据展开式的总项数可得二项式系数最大项, 利用展开式的通项公式求第5项. A B D 由 5x- 3 x () n 的二项式系数之和为2 n= 6 4, 得n= 6, 得2, 6,1 0成等差数列,A正确; 令x= 1,5x- 3 x () 6 = 2 6= 6 4, 则 5 x- 3 x () 6 的各项系数之和为6 4,B正确; 5x- 3 x () 6 的展开式共有7项, 则

12、二项式系数最大的项是第4项,C不正确; 5x- 3 x () 6 的展开式中的第5项为C 4 6(5x) 2 - 3 x () 4 = 1 5 2 5 8 1为常数项,D正确. 【 命题意图】 本题主要考查二项式定理的应用、 二项展开式的通项公式、 二项式系数的性质, 属于中档题. 1 1 . B D 将直线l的方程整理为m(2x+y- 3)+(-x-y+ 1)= 0, 由 -x-y+ 1 = 0, 2x+y- 3 = 0, 解得 x= 2, y=- 1 . 则无论m为何值, 直线l恒过定点( 2,- 1) , 故A不正确; 令x= 0, 则( y- 1) 2= 1 5, 解得y= 1 1 5

13、, 故圆C被y轴截得的弦长为2 1 5, 故B正确; 无论m为何值, 直线l不过圆心( 1,1) , 即直线l被圆C截得的弦长不存在最大值, 故C错误; 当截得的弦长最短时, 此时直线l垂直于圆心与定点的连线, 则直线l的斜率为1 2, 此时直线l的方程为y+ 1 = 1 2( x- 2) , 即x- 2y- 4 = 0, 故D正确. 1 2 . A B C 设A x1,y1 (),B x 2,y2 (), 联立直线与抛物线 y=k(x- 1) y 2= 4 x , 得k 2 x 2- 2k 2+ 4 ()x+k 2=0, 所以x 1+x2=2 k 2+ 4 k 2 , x1x2=1, 所以

14、1 F A + 1 F B = 1 x1+ 1 + 1 x2+ 1 = x1+x2+ 2 x1x2+x1+x2 ()+ 1= 1 , 故A B=F A F B,A正确; 若k= 2 2, 则x 1+x2= 1 0,A B=x1+x2+2=1 2, 故F A F B=A B= 1 2,B正确; 由题 意 及 抛 物 线 定 义 得 A A1=A F ,B B1 =B F , 因 为 A A1 B B1= 1 2, 所以F A F B =1 2, 则A B=x1+x2+2=1 2, 得x1+x2= 2k 2+ 4 k 2 = 1 0, 则k= 2 2, 由k 0, 得k= 2 2, C正确; 因为

15、B B1F=B1F B,A A1F=A1F A, 所以B1F B+A1F A=1 8 0 -B 1B F 2 +1 8 0 - A1A F 2 =9 0 , 所以 A1F B1= 9 0 , 故D不正确. 1 3 .【 分析】 先对y=x 2+ al nx求导, 然后求出曲线y=x 2+ al nx在点1,1 ()处切线的斜率k= y x= 1, 再根据条件得到 关于a的方程, 进一步求出a的值. 【 解析】 由y=x 2+ al nx, 得 y = 2x+a x , 则曲线y=x 2+ al nx在点1,1 ()处切线的斜率k= y x= 1= 2 +a, 因为曲 线在点1, 1 ()处的切

16、线与直线x- 2 y+ 2 = 0平行, 所以1 2= 2 + a, 所以a=-3 2. 答案:-3 2 【 命题意图】 本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程和直线的位置关系, 考查了方程思想, 属于基础题. -4 - 1 4 .【 分析】 根据函数f(x) 满足:f(x+ 2)=- 1 f(x) , 求出函数的周期, 利用x(0,2 时, f(x)= 2 x即可得到结果. 【 解析】 函数f(x) 满足: f(x+2)=- 1 f(x) , 可得: f(x+4)=- 1 f x+ 2 () =f x (), 所以函数的周期T=4, 所以 f0 ( )=- 1 f2 ( )=- 1 4,

17、fl o g4 3 6 4 ()=f( l o g43 - 3)=f( l o g43 + 1)= 2 l o g 43 + 1= 2 2 1 2l o g2 3= 2 2 l o g 23 1 2 = 2 3. 答案:-1 4 2 3 【 命题意图】 本题考查了函数周期性的应用, 对数和指数的运算, 属于中档题. 1 5 .【 分析】 根据递推公式求出数列前6项, 观察可得数列an 是以3为周期的数列, 则S 20 2 2= 6 7 4a1+a2+a3 (), 代入 相应值计算即可. 【 解析】 根据题意, 2an+ 1= 4 +anan+ 1,a3= 1, 得2a3= 4 +a2a3, 即

18、2 = 4 +a2, 得a2=- 2, 又2a2= 4 +a1a2, 得a1= 4, 类似地, 可得a 4= 4,a5=- 2,a6= 1, , 可知数列an 是以3为周期的数列, 所以S 20 2 2=a1+a2+a3 ()+( a4+a5 +a6)+(a20 2 0+a20 2 1+a20 2 2)= 6 7 4a1+a2+a3 ()= 3 6 7 4 = 20 2 2 . 答案: 20 2 2 【 命题意图】 本题考查数列的递推公式、 数列的周期性的应用, 属于中档题. 1 6 .【 分析】 过最短母线的端点向最长母线作垂线A B, 利用勾股定理计算最长母线的长度, 将两个相同的该几何体

19、拼成 一个圆柱体计算体积. 【 解析】 若截面椭圆的长轴长为1 0c m, 离心率为3 5, 得焦距为2 c=1 03 5=6 ( c m) , 短轴长2b= 2 1 0 2 () 2 - 6 2 () 2 = 8(c m) , 即原圆柱的直径为8 c m, 过最短母线的端点向最长母线作垂线A B, 设最长母线的顶端为C, 连接A C, 则A B= 8c m,A C= 1 0c m, 所以B C= A C 2-A B2= 1 0 2- 82 = 6(c m) , 故两个相同的该几何体可以拼接成一个底面直径为8c m, 高为1 4c m的圆柱.所以所求 几何体的体积V=1 2 4 2 1 4 =

20、 1 1 2 ( c m 3) . 答案: 1 1 2 【 命题意图】 本题考查圆柱体积公式和不规则几何体体积的求解, 把所求的不规则几何体通过拼接方式转化为半个 新圆柱的体积是求解本题的关键, 属于难题. 1 7 .【 分析】 (1) 由递推公式及等差数列定义求解即可; ( 2) 由(1) 求出an 的通项公式, 代入b n= 2an+ 2 - 2n (), 即可求出b n 的通项公式及前n项和Sn. 【 解析】 ( 1)an+ 1- 2 n+ 1 ()-a n- 2 n ()=a n+ 1-an- 2 n= 2( 与n无关) , 3分 故数列a n- 2 n 为等差数列, 且公差d= 2

21、.可知, an- 2 n= a1- 2 ()+n- 1()d= 2n- 2; 5分 ( 2) 由(1) 得an= 2 n+ 2 n- 2,7分 所以b n= 2an+ 2 - 2n ()= 2 n+ 1, 8分 所以 bn 为首项是4, 公比q= 2的等比数列, 则Sn= b11 -q n () 1 -q = 4 1 - 2 n () 1 - 2 = 2 n+ 2- 4 . 1 0分 【 命题意图】 本题考查递推公式求通项, 以及等差数列的证明, 属于基础题. 1 8 .【 分析】 (1) 根据题意, 结合已知数据, 即可补充列联表; 再计算K 2的观测值k, 结合参考数据即可判断; ( 2)

22、 利用分层抽样等比例抽取的性质, 求得抽取的9人中男生和女生的人数, 再求分布列和数学期望即可. 【 解析】 ( 1) 体育不合格体育合格合计 男 1 0 06 01 6 0 女 1 1 03 01 4 0 合计 2 1 09 03 0 0 2分 K 2的观测值k=3 0 0 (1 0 0 3 0 - 1 1 0 6 0) 2 2 1 0 9 0 1 4 0 1 6 0 9 . 2 1 0 . 8 2 8, 所以不能在犯错误的概率不超过0 . 0 0 1的前提下认为“ 体育合格” 与性别有关; 4分 -5 - ( 2) 易知, 所抽取的9名学生中, 男生为9 6 0 9 0= 6名, 女生为3

23、名. X可取0,1,2,3, 且P(X= 0)=C 3 3 C 3 9= 1 8 4 , P(X= 1)=C 1 6C 2 3 C 3 9 =3 1 4 , 6分 P(X= 2)=C 2 6C 1 3 C 3 9 =1 5 2 8 , P(X= 3)=C 3 6 C 3 9= 5 2 1. 8分 所以X的分布列为: X0123 P 1 8 4 3 1 4 1 5 2 8 5 2 1 1 0分 所以E(X)= 0 1 8 4+ 1 3 1 4+ 2 1 5 2 8+ 3 5 2 1= 2 . 1 2分 【 命题意图】 本题考查列联表的补全、 K 2的计算、 离散型随机变量的分布列和数学期望, 属

24、于中档题. 1 9 .【 分析】 (1) 由条件结合余弦定理, 利用基本不等式可得a c的最大值, 从而得出A B C的面积的最大值. ( 2) 由正弦定理将条件转化为s i nCs i n - A 2 = 2 s i nA 2 s i nC, 再化简可得2 s i n - A 2 =s i nA, 由二倍角公式可得 2 c o sA 2= 2 s i n A 2 c o sA 2, 从而得出角A, 进一步求出边a , c, 得出答案. 【 解析】 ( 1) 因为B= 6 0 , 所以c o sB=1 2, s i nB= 3 2, 由余弦定理知: b 2= a 2+ c 2- 2 a cc

25、o sB, 即1 0 0 =a 2+ c 2- a c 2a c-a c, 即a c 1 0 0,3分 当且仅当a=c时取等号.所以A B C的面积S=1 2 a cs i nB1 21 0 0 3 2=2 5 3 , 所以A B C的面积的最大值 为2 5 3; 5分 ( 2) 由正弦定理得s i nCs i n - A 2 = 2 2s i nA s i nC, 因为s i nC 0, 所以2 s i n -A 2 = s i nA.即2 c o sA 2= 2 s i n A 2 c o sA 2, 7分 因为c o sA 2 0 , 故s i nA 2= 2 2, 由于0 A 0, 得

26、m2 1 + 4 k 2. 设A( x1,y1) ,B(x2,y2) , 则x1+x2=- 8k m 1 + 4k 2, 设A B的中点M 为x 0,y0 (), 得x 0=- 4k m 1 + 4k 2=1 2, 即1 + 4 k 2=- 8 k m, 所以y0=k x0+m=1 2 k- 1 + 4k 2 8k =-1 8k. 8分 -6 - 所以A B的中垂线方程为y+1 8k=- 1 k x-1 2 (), 即y=-1 k x-3 8 (), 故A B的中垂线恒过点N 3 8, 0 (). 1 2分 【 命题意图】 本题主要考查了椭圆方程的求法、 直线与圆锥曲线相交、 根与系数关系的应

27、用以及直线过定点问题, 属 于中档题. 2 1 .【 分析】 (1) 由三棱锥P - A B E的体积, 得B C=1,A E=B E= 2, 可得A EB E, 利用平面P E B平面A B E D, 可得 A E平面P E B, 则A EP B, 由折叠知P BP E, 进而得证; ( 2) 以B E的中点O为坐标原点, 以O P的方向为z轴正方向, 过点O分别作A B和A D的平行线, 分别为x轴和y 轴, 建立空间直角坐标系, 分别求得平面A D P的法向量和平面A B P的法向量, 进而利用数量积求解即可. 【 解析】 ( 1) 由C B=C E, 设B E的中点为O, 连接P O,

28、 则P OB E, 又二面角P - E B - C为 直二面角, 故P O平面A B C D, 设B C=a, 则P O= 2 2 a, 又A B= 2, 得三棱锥P - A B E的 体积V=1 3P O 1 2A B B C= 2 6, 即 1 3 2 2 a1 2 2 a= 2 6, 得B C= a= 1, 3分 于是由A E=B E= 2, 所以A B 2=A E2+B E2, 所以A EB E, 又平面P E B平面A B E D, 得A E平面P E B, 则A E P B, 又P BP E, 且A EP E=E, 所以P B平面P E A, 由P B平面P A B, 故平面P A

29、 B平面P A E;5分 ( 2) 以B E的中点O为坐标原点, 以O P的方向为z轴正方向, 过点O分别作A B 和A D的平行线, 分别为x轴和y轴, 建立如图所示空间直角坐标系, 则 A 3 2, 1 2, 0 (), D 3 2, -1 2, 0 (), B-1 2, 1 2, 0 (), P0, 0, 2 2 (), A D =( 0,-1,0) , A P = -3 2, -1 2, 2 2 (), A B =( - 2,0,0) ,7分 设n=x 1,y1,z1 ()为平面A D P的法向量, 则有 nA D = 0 nA P = 0 , 即 -y1= 0, -3 2x 1-1

30、2y 1+ 2 2 z1= 0, 可取n= 2 3, 0,1(), 9分 设m=x 2,y2,z2 ()为平面A B P的法向量, 则有 mA B = 0 mA P = 0 , 即 - 2x2= 0 -3 2x 2-1 2y 2+ 2 2 z2= 0 , 可取m= 0,2,2 (), 1 1分 所以c o s= nm nm = 3 3 1 1 , 由图形知二面角B - P A - D为钝角, 其余弦值为- 3 3 1 1 .1 2分 【 命题意图】 本题考查线面垂直的证明, 考查空间向量法求二面角, 考查运算能力. 2 2 .【 分析】 (1) 求出导函数 f ( x) , 令g(x)= f

31、( x) , 再求导, 求得g(x) 的最小值可证; ( 2) 先证对任意x0,+) ,e x x 2+ 1, 然后利用不等式的性质证明a 1时, 不等式成立. 【 解析】 ( 1) 当a= 2时,f(x)= 2 e x- x 2, f ( x)= 2 e x- 2 x, 设g( x)= f ( x)= 2 e x- 2 x, 则 g ( x)= 2 e x- 2, 令 g ( x)= 0, 得x= 0,2分 所以g( x) 在区间(-,0) 上单调递减, 在区间(0,+) 上单调递增, 所以g( x)m i n=g(0)= 2 - 0 = 2, 即 f ( x) 0对任意xR恒成立, 所以函

32、数f(x) 为增函数;4分 ( 2) 先证对任意x0,+) ,e x x 2+ 1 . 令p( x)= e x- x 2- 1, p ( x)= e x- 2 x=m(x) ,m (x)= e x- 2 . 6分 令m ( x)= 0, 得x= l n2, 所以m(x) 在区间(-,l n2) 上单调递减, 在区间(l n2,+) 上单调递增, 所以m( x)m(l n2) 0,8分 所以 p ( x) 0, 所以p(x) 在0,+) 上单调递增, 所以p(x)p(0)= 0, 所以e x x 2+ 1, x0,+).1 0分 当a 1时, f(x)- c o sx=ae x- x 2- c o s x e x- x 2- c o s xx 2+ 1 - x 2- c o s x= 1 - c o sx 0, 即f( x) c o sx对于任意的x0,+) 恒成立.1 2分