（高中数学优秀教案设计说课稿）四川-点到直线的距离（杜晓雯）.doc

1、20062006 年全国高中青年数学教师优秀课比赛年全国高中青年数学教师优秀课比赛 点到直线的距离教案点到直线的距离教案 四川省成都市第七中学数学组四川省成都市第七中学数学组杜晓雯杜晓雯 【课题课题】点到直线的距离点到直线的距离 【教材教材】全日制普通高级中学教科书全日制普通高级中学教科书（必修必修）第二册第二册 （上）（上） 人民教育出版社人民教育出版社 【授课教师授课教师】杜晓雯】杜晓雯 一一 教学目标教学目标 1 1教材分析教材分析 教学内容教学内容 点到直线的距离 是全日制普通高级中学教科书 （必修 人民教育出版社） 第二册 （上） ， “73 两条直线的位置关系”的第四节课，主要内容

2、是点到直线的距离公式的推导过程和 公式应用 地位与作用地位与作用 本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何 的定量计算，其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关 系等相关知识对“点到直线的距离”的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进 一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用 2 2学情分析学情分析 高二年级学生已掌握了三角函数、平面向量等有关知识，具备了一定的利用代数方法研 究几何问题的能力根据我校学生基础知识较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能力还 有待进一步提高的学习现状和认知特点，本课采用类比发现式教学法 3 3

3、教学目标教学目标 依据上面的教材分析和学情分析，制定如下教学目标 知识技能知识技能 理解点到直线的距离公式的推导过程； 掌握点到直线的距离公式； 掌握点到直线的距离公式的应用 数学思考数学思考 通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，渗透算法的思想； 通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的证明过程，培养学生的数学阅读能力； 通过灵活应用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力 解决问题解决问题 通过问题获得数学知识，经历“发现问题提出问题解决问题”的过程； 由探索点2,0P到直线0 xy的距离，推广到探索点 00 ,P xy到直线 0AxByC 22 AB 0的距离的过程，使学生体会从特

4、殊到一般、由具体到抽象的数 学研究方法 情感态度情感态度 结合现实模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发 学生的学习兴趣 二二 教学重点、难点教学重点、难点 1教学重点教学重点 点到直线的距离公式的推导思路分析； 点到直线的距离公式的应用 2教学难点教学难点 点到直线的距离公式的推导思路和算法分析 三教学过程三教学过程 教教 学学 环环 节节 活活 动动 说说 明明 教教 师师 活活 动动学学 生生 活活 动动 创设情境创设情境： 以学生熟知的生活图片欣赏 和一个具体实例：当火车在高速行驶时， 周 围会产生负压， 如果旅客离铁轨中心的距离 小于 2 米 5 时，

5、就可能被吸入车轮下发生危 险 让学生直观感受几何要素 “点到直 线的距离” ，引发学习好奇心和研究兴趣 现实模型：现实模型： 地质勘探、铁轨宽 度、 人离高压电线的安全距 离 （图片欣赏）（图片欣赏） 生活实例 （flashflash 动画演示）动画演示） 模 型 直 观 回顾旧知回顾旧知：在初中， “点到直线的距离” 的定义是什么？ 1 1 点到直线的距离公式的推点到直线的距离公式的推 导过程导过程 （由特殊推广到一般、 从具体推广到抽 象） 问 题问 题 1 1如 何 求 点(2,0)P到 直 线 0 xy的距离？ 教师：请同学们作出图象后， 思考有哪 些计算方法，结果是什么？ 学生：过点

6、P作l的垂 线PQ，垂足为Q，垂线段 PQ的长度就是点P到直线 l的距离 点P与直线l上所有点 的连线中，垂线段最短 问题问题 1 1 学生作图后，结合图 象，分组讨论怎样计算 PQ 方法方法利用三角函利用三角函 在 复 习 旧 知 的 基 础 上 引 人新 课 由 于 教 材 上 对 于 点 到 直 线 的 距 新课引入新课引入 探探索索思思考考 方法方法利用三角函数利用三角函数 解：过点P作l的垂线PQ，垂足为,Q :0,45 ,2,0 ,l xyQOPP 2,OP 2 sin4522 2 PQOP 教师：由于点和直线的位置比较特殊， 直角三角形较为明显，并且出现了特殊角， 所以可以利用三

7、角函数来解决问题 但如果 直线位置不具特殊性，三角运算将较为繁 杂，故此法具有一定的局限性 方法方法利用定义利用定义 解： 过点P作l的垂线PQ， 设垂足为.Q :0,2,0 ,:2 ,l xyPPQ yx 1 ,2,. 21 yxx xx yxy 22 1,1 ,21012.QPQ 方法方法利用函数的思想利用函数的思想 解：设直线l上的点 00 (,)Q xy，则 数数 学生： 由于点和直线的 位置很特殊， 可以利用三角 函数来解决 方法方法利用定义利用定义 （由于前面复习了点 到直线的距离的定义， 所以 学生容易想到利用定义解 决问题） 学生： 利用定义解决问 题 离 公 式 的 证 明

8、比 较 抽 象 ， 所 以 补 充 了 两 个 由 浅 人 深 的 具 体问 题 ， 为 后 面 推 广 到 一 般 情 况 作 好 铺 垫 x y O :0l xy 2,0P Q min Pl dQP 直线 ， 00 0,0,xyxy 2222 00000 2 0 (2)44 2(1)22. QPxyxxx x 当 0 1x 时，取得等号，即点1,1 .Q 教师： 我们可将求点到直线的距离转化 为两点之间的距离， 再通过二次函数求最小 值的方法解决本题 强调：点 00 (,)Q xy在直线l上，故 00 xy、满足直线方程； 当等号成立时，指明此时点Q的坐 标，并与方法得到的点Q的坐标进行比

9、 较 方法方法利用直角三角形的面积公式利用直角三角形的面积公式 教师： 由于PQl， 所以我们还可以想 到什么方法来计算呢？ 教师：应该如何构造三角形呢？ 如何添作辅助线是学生的一个思维难 点， 教师要强调：由垂直条件可以联想到三 方法方法利用函数的利用函数的 思想思想 （在前面复习中强调 了垂线段最短， 所以可以引 导学生， 利用二次函数求最 小值的方法解决问题 ） 学生： 可以利用二次函 数求最小值的方法解决问 题 学生的解答中， 可能会 补 充 的 问 题 1， 由 于 点 和 直 线 的 位 置 非 常特 殊 ， 所 以 学 生 容 易 回 答 ， 教 师 要 鼓 励 学 生 利 用

10、多 种 方 法 解 决 问 题 1 探探索索思思考考 :0l xy 2,0P Q x y O Q 角形的高或直角三角形等知识， 从而得到辅 助线的添作方式 解：过点P作lx、 轴的垂线PQPR、， 交点为点.QR、 2 0,PyxR， ，2,2 2,2.OPPR ,PROPQPOROPRRt中， 2 222,2.QPQP 问 题问 题 2 2 如 何 求 点(4,2)P到 直 线 220 xy的距离？ （类比问题（类比问题 1 1 的四种解法的四种解法， 让学生独立让学生独立 思考问题思考问题 2 2课堂上课堂上，只要求学生说明解题只要求学生说明解题 思路，而不要求解题过程思路，而不要求解题过

11、程 ） （以下有关例题（以下有关例题 2 2 的解题过程仅供资的解题过程仅供资 料查阅，而不在课堂上讲解料查阅，而不在课堂上讲解 ） 方法方法利用三角函数利用三角函数 2 5 4,tan2,sin. 5 2 58 5 sin4. 55 PSQSPQSP PQSPQSP 忽略取得等号的条件， 教师 要引导学生思考， 取得等号 时点Q的坐标， 并与前面两 种方法所得答案进行对比 方法方法利利 用直角三角形的用直角三角形的 面积公式面积公式 学生：三角形面积公 式 学生： 过点P作lx、 轴 的 垂 线PQPR、， 构 造 Rt OPR 方 法 利 用 了 类 比 化 归 的思 想 ， 为 后 面

12、将 两 平 行 直 线 间 的距 离 ， 转 化 为 点 到 直 线 的 距 离 奠 定 基 础 强 探探索索思思考考 :0l xy 2,0P x y O Q R 方法方法利用函数的思想利用函数的思想 设 点 00 (,)Q xy在 直 线 上 ， 则 00 220.xy 2 2 00 22 000 2 00 2 0 (4)2 8164 5816 4648 5 5. 555 QPxy xxx xx x 当 0 4 5 x 时，取得等号，即点 4 18 55 Q ， 方法方法利用定义利用定义 过点P作l的垂线PQ，设垂足为.Q :220,4,2 , 1 :24 , 2 lxyP PQ yx 4

13、22 1 5 ,224,. 1 1824 2 5 yxx xx yx y 22 4 18 , 55 4188 5 42. 555 Q PQ 方法方法利用直角三角形的面积公式利用直角三角形的面积公式 过点P作lx、 轴、y轴的垂线PQPR、， 对于问题 1 的四种解 法，学生可能回答不完全， 教师要补充完整 问题问题 2 2 方法方法利用三角函数利用三角函数 调 数 形 结 合 的 思想 改 变 问 题 1 中 几 何元 素：点、 直 线 的 位 置 ， 引 出 问 题 2 类 比 问 题 1，让学 O x y 4,2P Q :220lxy S 交点为点QR、. S ,P4，2 :220,lxy

14、 4,10 ,0,2 ,RS 4,8,SPPR ，中，PRSPQPSRSPRRt 8 5 4 54 8,. 5 QPQP 问题问题 3 3如何求点P 00 (,)xy到直线 0AxByC的距离（ 22 0AB）？ 教师： 你能否类比问题 1、 2 解决本问？ 教师：如果通过定义来计算， 你的思路 是什么？ 教师：对于00AB或的特殊情况， 你可以怎样处理？ 方法方法利用定义的算法思路利用定义的算法思路 方法方法利用函数的思想利用函数的思想 方法方法利用定义利用定义 生 独 立 思 考 问 题 2 的 不同 法 课 堂 上 只 要 求 学 生 说 明 解 题 思 路 ， 而 不 要 求 解 题

15、过 程 探探索索思思考考 确定直线l的斜率0k k 求过点P垂直于l的直线 l 的方程 求与l垂直的直线 l 的斜率 1 k k 求l与 l 的交点Q 求点P与点Q的距离 4,2P O x y Q :220lxy Q O x y 4,2P Q :220lxy 方法方法 利用直角三角形的面利用直角三角形的面 积公式的算法思路积公式的算法思路 教师：如果类比问题 1、2，通过面积 构造法来计算， 你应该如何添作辅助线？解 方法方法利用利用 直角三角形的面积直角三角形的面积 公式公式 在 点 到 直 线 的 距 离 公 式 的 推 导 过程 中 ， 渗 透 算 法 的思想 4,2P x y Q :2

16、20lxy O R S 题思路是什么？ 问题问题 3 3 学生讨论： 前面四种证 明方法的都可行， 但利用三 角函数和利用二次函数求 最小值的方法， 相对要复杂 一些 方法方法 利用定义的算利用定义的算 对 于 方 法 ， 教 材 上 只 说 明 了 算 法 步 骤 ， 而 省 略 了 繁 琐 的 证 明 过 程 ， 所 以 只 要 求 学 生 理 清 算 法思 路 、 给 出框 图 ， 不 要 求 证 探探索索思思考考 :0l AxByC y x 00 ,P xy Q O 教师：根据得到的算法思路， 请同学们 自学教材 52 P的证明方法 方法方法 利用平面向量的算法思路利用平面向量的算法思

17、路 教师：直线l的斜率是什么？ 教师： 若向量nl ， 你能表达n 的一个 坐标吗？ 教师：设点,M x y是直线l上任意一 点，则PM 的坐标是多少？ 教师： 设PMn 与的夹角为， 则PM n 为多少？ 教师：结合图象，你能否表示出PQ？ 法法 学生分析解题思路， 整 理出算法框图 学生的回答可能会 忽略 00kA即这个条 件限制， 教师要给予纠正并 强调直线 l 的斜率是否存 在，主要取决于分母k是否 为 0，这也是对前面知识的 巩固 学生：对于 00AB或的特殊情况， 可以结合图象直接得出结 论 方法方法利用利用 直角三角形的面积直角三角形的面积 明过 程 对 于 方 法 ， 引 导

18、学 生 理 清 算 法思 路 ， 再 根 据 算 法框 图 ， 指 导 学 生 自 学 教 材 的 证 明过 程 ， 培 养 学 生 公式的算法公式的算法 学生：先添作辅助线， 过点P作x轴、y轴的垂线 交l于点RS、， 再利用直角 三角形的面积公式进行计 算 方法方法利用利用 平面向量的算法平面向量的算法 的 数 学 阅 读 能 力 和 获 取 信 息 的能 力 补 充 的 方 法 ， 建 立 在 学 生 已 有 的 平 面 向 量 知 识 的 基础 上 课 探探索索思思考考 22 00 22 00 , BA CByAx BA BAyyxx d 得到 2 2点到直线的距离公式点到直线的距离公

19、式 点 00 (,)P xy到直线0AxByC的距 离 22 00 BA CByAx d （其中0AB、 不同时为） 教师： 你能否利用点到直线的距离公式 解决问题 1 和问题 2？并比较计算结果 3点到直线的距离公式的应用点到直线的距离公式的应用 例例 1 1求点 0( 1,2) P 到下列直线的距 离： 学生：0 A kB B 学生容易忽略0B 的限制条件，教师给予纠 正 学生：,nA B 对于法向量n 的理 解是一个难点， 同时学生得 到的答案可能不统一 教师 引导学生从向量共线的角 堂 上 只 要 求 学 生 理 清 算 法 思 路 ， 而 对 于 这 种 方 法 的 具 体 解 决

20、过 程 ， 可 作 为 课 后 思 考 作业 补 充 的 方 法 为 今 后 在 立 体 几 ,M x y :0l AxByC y x 00 ,P xy Q O 问问题题解解决决 2100;xy32;x 37;xy 24 1 . 33 yx 分析：2100;xy 可能会有学生在代人公式计算时， 忘掉 绝对值符号教师要给予纠正， 强调距离是 一个非负数 32;x 教材上的解法是结合图形直接得到点 到直线的距离， 也可能会有学生是直接代人 公式计算， 教师指出对于0A 或0B 的特 殊情况，一般结合图形直接得到结论 37;xy 部分学生可能会对代入公式后计算得 0 这一结果感到困惑，教师要引导学生

21、思考 此时点与直线的位置关系， 指出当点落在直 线上时公式仍然成立 24 1 . 33 yx 在补充的问题中所给出的直线方程 不是一般式，所以在代人公式计算前， 学生 度加以分析， 从而帮助学生 理解 学生： 00 ,PMxxyy 00 00 , cos yyBxxA BAyyxx nPMnPM 学生： 22 00 , cos BA BAyyxx n nPM PMPQ 00 22 00 22 AxByAxBy AB AxByC AB 当00AB或时，以 上公式仍然成立 学生容易忽略距离是 一个非负数， 所以教师要强 调cosPQPM 应该加 上绝对值符号 何 中 ， 利 用 这 种 算 法 思

22、 路 得 到 点 到 平 面 的 距 离 公 式 设 下 伏笔 前 后呼 应 ， 使 学 生 体 会 运 用 公 式 计 知知识识运运用用 必须将直线方程化为一般式， 以便确定系数 AB、， 从而达到强调公式运用前提的目的 教师： 使用点到直线的距离公式的前提 条件是把直线的方程化成一般式方程， 如果 给出的直线方程不是一般式方程， 应先将方 程化成一般式，以便确定系数AB、的值， 这一点对于直线方程中含参数的问题尤为 重要 例例 2 2已 知 点2,3A 到 直 线 1yax的距离为2，求a的值； 已知点2,3A 到直线yxa 的 距离为2，求a的值 教师：如何求实数a的值？ 解： 1,10

23、,yaxaxy 22 23 122 2, 11 aa d aa 2 2222,aa 22 48422,aaa 师生共同总结： 对于点 到直线的距离公式的理解 从运动的观点来看， 点到直线的距离是直线上 的点与直线上一点的连线 的最短距离； 使用点到直线的距 离公式的前提条件， 是把直 线的方程化成一般式方 程 如果给出的直线方程不 是一般式方程， 应先将方程 化成一般式； 若点P在直线上，则 点P到直线的距离为零， 距 离公式仍然成立； 若直线方程中系数 00AB或的特殊情况， 距离公式仍然成立， 但一般 情况下可以结合图形直接 算 的 简 便性 例 1 中、 两 个 问 题 是 知知识识运运

24、用用 2 2820,3232.aaaa 或 ,0,yxaxya 231 2, 22 aa d 12,31.aaa 或 教师： 这两问直线方程中参数a的几何 意义是什么？ 教师：两个小问的几何意义是什么？ （教师利用几何画板进行数学实验） 例例 3 3 求平行线2780 xy和 2760 xy的距离 教师： 这两条平行直线间的距离是否是 固定的？ 教师：如何求这两条平行直线间的距 离？ 教师：可以选择哪个点？ 解：在直线2760 xy上任取一点， 得到距离 师生共同讨论 例例 1 1解：根据点到 直线的距离公式，得 22 2 ( 1)2 10 21 10 2 5. 5 d 解 法 因 直 线 3

25、2x 平行于y轴，所以 25 ( 1). 33 d 解法根据点到直 线的距离公式，得 5 . 3 d :37,lxy 13 27. 0 1,2P点落在直线上, 0.d 另解： 根据点到直线的 距离公式，得0.d 补 充 的 内 容 ， 目 的 是 强 化 点 到 直 线 的 距 离 公 式 的 应 用 前 提条 件 例 1 主 要 是 通 过 直 接 将 已 知 点 的 坐 标 例如(3,0),P则(3,0)P到直线2780 xy 的距离就是两平行线间的距离因此 22 237081414 53 . 5353 2( 7) d 教师：是否可以在直线2760 xy 上取一般的点 00 ,P xy来求

26、距离？ 推广到一般结论：推广到一般结论： 例例求证：两平行直线 11 :0,lAxByC 22 :0,lAxByC 12 ( ,0)A BCC且的 距离为 12 22 . CC d AB 证 明 ： 设 点 00 (,)P xy是 直 线 2 0AxByC上任一点，则点P到直线 1 0AxByC的距离为 001 22 . AxByC d AB 002 0,AxByC 002, AxByC 12 22 . CC d AB 24 :1 , 33 l yx :4320.lxy 根据点到直线的距离 公式， 例例 2 2 由学生分析解题 思路， 并按要求用数学语言 表述过程 学生： 中a表示直线的斜 率

27、； 中a表示直线在y轴 上的截距 学生： 这两个小问的几 何意义分别是 点1,2A 到两条直 线的距离相等， 所以点A在 两条直线所成角的角平分 代 人 公 式计 算 ， 强 调 公 式 的 形 式 记 忆 和 前 提 条 件 在 此 基 础 上 ， 由 浅入 深 ， 补 充 的 例 2 中 直 线 方 程 含 有 参 数 ， 进 一 步 提 高 思 维 知知识识运运用用 2 2 413 22 12 . 5 43 d 两平行直线的距离公式： 11 :0,lAxByC 22 :0,lAxByC 12 ( ,0)A BCC且的 距离为 12 22 . CC d AB 教师：两平行线的距离公式不要求

28、记 忆 在求两条平行线间的距离时， 一般仍利 用化归思想转化为直线上一特殊点到另一 直线的距离来处理 课堂练习课堂练习求下列两条平行线的距 离： 2380,23180;xyxy 3410,340;xyxy 312 ,xy 6420.xy 线上； 所得的两条直线互相 平行且距离为 2 例例 3 3 学生： 两条平行直线间 的距离处处相等； 学生： 将两平行直线之 间的距离转化为一直线上 一点到另一条直线的距离； 学生：选择点(3,0)P 学生： 可以选择一般的 难度 在 例 2 中， 由 于 直 线 方 程 中 的 参 数 都 具 有 明 显 的 几 何 意 义 ， 所 以 在 解 出 参 数a

29、的 值 后 ， 要 引 导 学 生 思 考 其 几 何意 点 解 ： 设 直 线 上 一 点 00 (,),P xy 00 00 2 2 2760, 278 27 6814 53 . 5353 xy xy d 例例4 4师生共同总结： 应用公式的前提是 义 补 充 的 例 题 2 既 考 察 了 学 生 对 公 式 的 掌 握 情 况 ， 又 为 下 节 课 研 究 对 称 问 题 和 直 线 系 问 题 设 下 伏笔 由 应先将两直线方程化为一 般形式，使对应系数AB、 化为相等（两直线平行） ， 再代人公式计算； 两平行线间的距离 可转化为其中一条直线上 的一个特殊点到另一条直 线的距离

30、例 2 的 几 何 意 义 可 以 引 出 教 材 的 例题 3 例 3 采 用 了 类 比 化 归 的 思 想 方 法 ， 同 时 引 出 例 4 例 课堂练习课堂练习 学生独立完成 解：2 13;d 2;d 3210,xy 6420,xy 22 1 12 13; 13 32 d 学生容易解错： 22 123 13. 13 32 d 请其他同学分析错误 原因 4 教 材 中 是 以 习 题 的 形 式 出 现的 （ 教材 5415 P） 补 充 的 课 堂 练 习 的 目 的 是 ， 强 调 运 用 公 式 的 前 提 条件 教师引导学生归纳总结本节课所学习 的主要内容 课后作业课后作业 利

31、用向量的方法证明点到直线 的距离公式； 教材 54 7.3P 习题13、14、16 （通过小结， 使学生将本节课所学的知 识系统化，使学生再次巩固知识，明确方 法 ） 学生归纳总结 本课主要学习了以下内容：本课主要学习了以下内容： 点到直线的距离公式的推导 中不同的算法思路：利用定义的算 法、 利用直角三角形的面积公式的算 法、利用平面向量的算法； 点到直线的距离公式： 点 00 (,)P xy到直线 0AxByC（其中 0AB、 不同时为）的距离 00 22 AxByC d AB 说明：对于00AB或的特殊 情况时公式仍然适用 应用点到直线的距离公式的 课课堂堂小小结结 前提条件 板书设计：

32、板书设计： 课题：课题：点到直线的距离点到直线的距离 1 问题问题 1如何求点(2,0)P到直线0 xy的距离？ 方法方法方法方法 2 问题问题 2如何求点(4,2)P到直线220 xy的距离？ 3问题问题 3如何求点P 00 (,)xy到直线0AxByC 的距离（ 22 0AB）？ 4典型例题 例例 1 例例 2 例例 3 例例 4 设计说明：设计说明： 1对于这一节内容，有两种不同的处理方法：一种是仅让学生理解、记忆公式，直接应 用而不讲公式的探寻过程，这样的教学不利于对学生数学思维的培养；另一种是本课所体现 的方式，通过强调对公式的探索过程，提高学生利用代数方法处理几何问题的能力； 2由

33、于点到直线的距离公式的证明过程含字母运算，比较抽象如果没有整体算法步骤 的分析，学生的思路势必会缺乏连贯性，所以本课重点分析了三种算法思想：利用定义的算 法、利用直角三角形的面积公式的算法、利用平面向量的算法让学生在明晰算法步骤的前 提下，再进行有效的公式证明和自学阅读； 3由于平面向量是一种重要的运算工具，同时根据我校学生能力较强、数学思维较活跃 的学情特点，本课补充了利用向量的数量积证明点到直线的距离公式的方法实际上，在以 后立体几何的学习中，将利用这种算法思路得到点到平面的距离公式但由于这种方法有一 定思维难度，所以可以根据学生的实际情况，提出分层要求：基本要求是理解教材所给出的 证明方法并能够应用公式，较高要求是能够利用向量的方法证明点到直线的距离公式； 4现代数学认为“几何是可视逻辑”，所以应该重视在补充的例题中，突出几何直观和 数形结合的思想方法； 5学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆，所以可将应用公式的前提条件等 学生容易忽略的环节，设置在补充的例题练习中，以便达到强化训练的目的