名师伴你行高考一轮总复习新高考版[数学] 第7章.doc

1、第七章不等式 第一节不等关系与不等式 复习要点1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，理解不等式的实际背景 2理解不等式的性质，能运用不等式的性质，比较两数的大小 知识点一比较两个实数的大小 (1)作差法 ab0aba，bR， ab0aba，bR， ab1a baR，b0， a b1a baR，b0， a b0. 答案：(1)b_ 传递性ab，bc_ 可加性ab_ 可乘性 ab， c0 _ 注意 c 的符号 ab， cb， cd _ 同向同正 可乘性 ab0， cd0 _ 可乘方性ab0_(nN，n1) a，b 同 为正数 可开方性 ab0nanb(nN，n2) 答案：bcacbcacbcac

2、bdacbd0anbn 链/接/教/材 1必修 5P74例 1设 ab0，则下列不等式中不成立的是() Ac a c b B c ab c a C|a|cbcD a c b c 答案：B解析：由题设得 aab0， 所以有 1 ab 1 a c ab0，求证 1x0，x 2 4 0， x 2 4 x1x10， 1x 2 2( 1x)20， 1x0，且 ab，则1 a与 1 b的大小关系是_ (2)1618与 1816的大小关系是_. (1)答案：1 ab，ba0，1 a 1 b ba ab 0，即1 a 1 b. (2)答案：16181816解析：16 18 1816 1616162 1816

3、16 18 16162 8 9 1628 64 81 828 128 81 81，故 16181816. 2不等式性质的两个应用：确定取值范围；求最值. (1)若 2 2，则的取值范围为_ (2)若实数 x，y 满足 3xy28,4x 2 y 9，则x 3 y4的最大值是_ (1)答案：(，0)解析：因为 2 2， 2 2， 所以. 又，所以0， 所以0，y0，且1 8 1 xy2 1 3，16 x4 y281， 可得 2x 3 y427，故 x3 y4的最大值是 27. 题型不等式的性质 角度.不等关系的判断 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 1多选若 a1b0，1cb Cac

4、bc 答案CD解析由于 ab， c0 a c b c，故 A 错误；特殊值法：可选取 a 10 9 ，b7 9，c 8 9，符合大前 提，则 acb2，则() Ab2a2bab2 CababD1 2 2 ab 1 a 1 b 答案BC解析本题考查利用不等式的性质比较大小 A 项，已知 ab2，不妨取 a3，b2，则 b24,3ba3，b20，故 B 成立； C 项，ababa(b1)b(b1) a b b1 (b1) a 1 1 b1 0，故 C 成立； D 项，1 2 2 ab 1 a 1 b a2b2 2ab 0， 故 D 不成立 3设 ab0，m0，n0，则b a， a b， bm am

5、， an bn由小到大的顺序是_ 答案 b a bm am an bn a b 解析b a bm am bamabm aam mba aam0， b a bm am1. an bn a b banabn bbn nba bbn0， 1an bn a b. b a bm am an bnb，ab01 a 1 b； a0b1 ab0,0c b d； 0axb 或 axb01 b 1 xb0，m0，则 真分数的性质：b a bm am(bm0)； 假分数的性质：a b am bm； a b0) 角度.待定系数法求代数式的范围 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 42021 东北三省四市联

6、考已知角，满足 2 2，0，求 3的取值范围 解结合题意可知，32()()， 且 2()(，)，()(0，)， 由不等式的性质可知 3的取值范围是(，2) 5已知函数 f(x)ax2bx，且 1f(1)2,2f(1)4，求 f(2)的取值范围 解由题意知，f(1)ab，f(1)ab，f(2)4a2b. 设 m(ab)n(ab)4a2b， 则 mn4， mn2， 解得 m1， n3. f(2)(ab)3(ab)f(1)3f(1) 1f(1)2,2f(1)4， 5f(2)10. 故 f(2)的取值范围为5,10 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 利用待定系数法求代数式的取值范围 已知 M1

7、f1(a，b)N1，M2f2(a，b)1，b1，则下列两式的大小关系为 ab1_ab. 答案1， b1， 1a0， (1a)(1 b)0，ab1b0，xabeb，ybaea，zbaeb，则() AxzyBzxy CzyxDyz12e2e，即 xzb0 时，eaeb， aeaaebbeb， baeabaebbbeb，yz. zx(ba)(ab)eb(ab)(eb1)0， zx.xz0ab；ab0ab；ab0a0，b0，且 ab，试比较 aabb与 abba的大小 解 aabb abbaa abbba a b ab， 当 ab0 时，a b1，ab0， 则 a b ab1，于是 aabbabba；

8、 当 ba0 时，0a b1，ab1，于是 aabbabba. 故当 a0，b0，且 ab 时，aabbabba. 4已知 a，b，c 都为正实数，试比较 aabbcc与 aab 2 bbc 2 c ca 2 的大小 解不妨设： abc，则 aabbcc aab 2 bbc 2 cca 2 aab 2 bbc 2 cca 2 aab 2 bbc 2 ccb 2 ba 2 a c ab 2 b c bc 2 ， 由 abc 知， a c， b c都不小于 1， ab 2 0，bc 2 0，故上式1，从而 aabbccaab 2 bbc 2 cca 2 . 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)

9、 商值比较法 1原理 设 a0，b0，则a b1ab； a b1ab； a b1ab，则() Aln(ab)0B3a0D|a|b| 答案C解析解法一：不妨设 a1，b2，则 ab，可验证 A，B，D 错误，只有 C 正确 解法二：由 ab，得 ab0，但 ab1 不一定成立，则 ln(ab)0 不一定成立，故 A 不一定成立 因为 y3x在 R 上是增函数，当 ab 时，3a3b，故 B 不成立 因为 yx3在 R 上是增函数，当 ab 时，a3b3，即 a3b30，故 C 成立 因为当 a3，b6 时，ab，但|a|bm2，则 ab B若 ab，则 a|a|b|b| C若 ab0 且|ln

10、a|ln b|，则 2ab(2，) D若 ba0，m0，则am bm a b 答案ABD解析本题考查根据不等式性质判断大小、利用作差法比较大小对实数 a，b，m. am2bm2，m20， ab，A 正确 ab，分三种情况， 当 a0b 时，a|a|0b|b|； 当 0ab 时，a|a|a2b2b|b|； 当 ab0 时，a|a|a2b2b|b|， a|a|b|b|成立，B 正确 若 ab0 且|ln a|ln b|， 1 ba，且 a1. 2ab2a1 a. 设 f(a)2a1 a(a1)， f(a)2 1 a20， f(a)在区间(1，)上单调递增， f(a)3，即 2ab(3，)，C 错误

11、 ba0，m0， am bm a b ambabm bbm abbmabam bbm bam bbm0，D 正确 解/题/感/悟(小提示，大智慧) 1利用函数性质比较数式的大小，得到函数的单调区间是问题求解的关键，解题时，指数、对数、三角函数 单调性的运用是解题的主要形式 2通过对称性、周期性，可以将比较大小的数式转化到同一个单调区间，有利于其大小比较 3导数工具的应用，拓宽了这类问题的命题形式和解题难度，值得我们关注和重视 角度.中间量和特殊值法比较大小 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 7已知 alog23，blog0.20.3，ce 1，则 a，b，c 的大小关系是 ()

12、AcabBcba CbcaDbalog221；log0.20.2blog0.20.3log0.20.2，所以1 2b1；ce 11 2.所以 cbablog 2(ab)， b 2alog 2(ab)1,0cblogb2 020 Blogba(cb)ba D(ac)ac(ac)ab 答案D解析a1,0cb1， logab0， logb2 020loga2 020 logab logablogac， 1 logab 1 logac， logbalogca，B 正确； caba，cb(cb)ba，C 正确； ac0， (ac)ac0.若 Pf 1 5 f 1 11 ，Qf 1 2 ，Rf(0)，则

13、P，Q，R 的大小关系为() ARQPBRPQ CPRQDQPR 答案B解析取 xy0， 则 f(0)f(0)f(0)，所以 f(0)0. 设1xy1，则1 xy 1xy0， 所以 f(x)f(y)， 所以函数 f(x)在(1,1)上为减函数 由 f(x)f(y)f xy 1xy ，得 f(x)f(y)f xy 1xy ， 取 y1 5， xy 1xy 1 11，则 x 2 7， 所以 Pf 1 5 f 1 11 f 2 7 . 因为 02 7f 2 7 f 1 2 ， 所以 RPQ. 2多选若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)1，其导函数 f(x)k1，其中一定正确的结论的是()

14、Af 1 k 0 Bf(k)k2 Cf 1 k1 1 k1 Df 1 1k k，g(x)0， g(x)在 R 上是增函数， k1，01 kg(0)f(0)1， f 1 k 0，A 正确； g(k)f(k)k2g(1)f(1)k，f(1)和 k 的大小关系不确定， B 不一定正确； 由 k1 知 1 k10，g 1 k1 f 1 k1 k k1g(0)1， f 1 k1 k k11 1 k1，C 正确； 由 k1 知 1 1k0，g 1 1k f 1 1k k 1kg(0)1， f 1 1k 0(a0)或 ax2bxc0) 2计算相应的_ 3当_时，求出相应的一元二次方程的根 4利用二次函数的图

15、象与 x 轴的_确定一元二次不等式的解集 答案：1.大于2.判别式3.04.交点 知识点二三个二次之间的关系 判别式 b24ac 000)的图象 一元二次方程 ax2bxc0 (a0)的根 有_实根 x1，x2 (x10 (a0)的解集 _ ax2bxc0)的解集 _ 答案：两相异两相等没有x|xx2或 xx1x|xx1Rx|x1xx2 链/接/教/材 1必修 5P80A 组 T4设集合 Ax|x24x30，则 AB() A 3，3 2B 3，3 2 C 1，3 2D 3 2，3 答案：D解析：易知 A(1,3)， B 3 2， AB 3 2，3.故选 D. 2必修 5P104B 组 T3若关

16、于 x 的不等式1 2x 22xmx 的解集为x|0 x2，则 m_. 答案：1解析：原不等式可化为 x22(m2)x0， 由题意，得 x0 与 x2 即为方程 x22(m2)x0 的两根，所以2(m2)2，解得 m1. 易/错/问/题 1二次不等式的系数的讨论 (1)不等式 x(12x)0 的解集是_ (2)不等式(ax1)(x2)0(a0)的解集是_ (1)答案： 0，1 2解析：由不等式 x(12x)0，得不等式 x(2x1)0，解得 0 x1 2. (2)答案：当 a0 时， x|x2；当 a0 时，x|x2解析：当 a0 时，不等式(ax1)(x2)0 可化为 x1 a (x2)0，

17、解得 x2 或 x1 a；当 a0 时，不等式(ax1)(x2)0 可化为 x20，解得 x2. 2求不等式中参数值的两个方法：判别式；根与系数的关系 (1)若关于 x 的不等式 ax2x10 的解集为 R，则常数 a 的取值范围是_ (2)若关于 x 的不等式 ax23xc0 的解集为1,2，则 a_，c_. (1)答案： ，1 4解析：由题意，得 a0 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范围是_ (2)函数 f(x)ln(3x2ax1)的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是_ (1)答案：(0,8)解析：x2ax2a0 在 R 上恒成立，a242a0，解得 0a0 对任意实数 x 恒成

18、立，所以a24310，解 得2 3a0 的解集是x|x0)，则不等式 cx2bxa0 的解集是x|x0)，则，是一元二次方程 ax2bxc0 的 实数根，且 a0，b a， c a.不等式 cx 2bxa0，x 2()x10，化为(x 1)(x1)0，又 0 1 0，不等式 cx 2bxa0 的解集为 x|x 1 ，故选 B. 2解下列不等式： (1)19x3x26； (2)8x116x2； (3)00， x2x24 x2x20， x2x60 x2x10， x3x20 x2 或 x1， 2x3. 利用数轴 (如图)可知，原不等式的解集为x|2x1 或 2x3 解/题/感/悟(小提示，大智慧)

19、1熟记一元二次不等式的解集公式是掌握一元二次不等式求解的基础，可结合一元二次方程及判别式或二次 函数的图象来记忆求解 2解一元二次不等式的步骤： (1)把二次项系数化为正数； (2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法； (3)利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集 角度.含参二次不等式的解法 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 3解关于 x 的不等式 ax2(2a1)x20(aR) 解原不等式可化为(ax1)(x2)0 时，原不等式可以化为 a(x2) x1 a 0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x2) x1 a 0. 因为方程(x2) x1 a 0

20、 的两个根分别是 2， 1 a， 所以当 0a1 2时，2 1 a， 则原不等式的解集是 x|2x1 2时， 1 a2，则原不等式的解集是 x| 1 ax2. (2)当 a0 时，原不等式为(x2)2，即原不等式的解集是x|x2 (3)当 a0 时，原不等式可以化为 a(x2) x1 a 0， 由于1 a2，故原不等式的解集是 x|x2. 综上所述， 当 a0 时，不等式的解集为 x|x2； 当 a0 时，不等式的解集为x|x2； 当 0a1 2时，不等式的解集为 x|2x1 2时，不等式的解集为 x| 1 ax2. 4解关于 x 的不等式 kx22xk0(kR) 解当 k0 时，不等式的解为

21、 x0. 当 k0 时，若44k20， 即 0k1 时，不等式的解为 1 1k2 k x1 1k 2 k ； 若0，即 k1 时，不等式无解 当 k0 时，若44k20， 即1k0 时， 不等式的解为 x1 1k 2 k 或 x1 1k 2 k ； 若0，即 k1 时，不等式的解集为 R； 若0，即 k1 时，不等式的解集为x|x1 综上所述，当 k1 时，不等式的解集为； 当 0k1 时，不等式的解集为 x| 1 1k2 k x1 1k 2 k； 当 k0 时，不等式的解集为x|x0； 当1k0 时，不等式的解集为 x|x1 1k 2 k； 当 k1 时，不等式的解集为x|x1； 当 k1

22、时，不等式的解集为 R. 解/题/感/悟(小提示，大智慧) 对于含参二次不等式，应注意参数出现的位置二次项系数出现参数，需要讨论系数和零的大小；如果可以通 过因式分解法求得两个根，根里面含参，那么就需要对根的大小关系进行讨论；如不能因式分解求根，则需要对判 别式进行讨论总之我们一定要关注参数出现的位置，往往既要讨论二次项系数，同时还需要讨论根的大小！ 角度.分式不等式或高次不等式的解法 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 5不等式 x1 2x10 的解集为( ) A 1 2，1 B 1 2，1 C ，1 2 1，) D ，1 2 1，) 答案A解析不等式 x1 2x10 x12x1

23、0， 2x10 1 20f(x)g(x)0； (2)fx gx0f(x)g(x)0 在数轴上标根穿线时，点 1 处的线过而不穿 6不等式 x2 x23x20 的解集是_ 答案x|2x2 解析 x2 x23x20 x2 x2x10 (x2)(x2)(x1)0， 原不等式对应的方程(x2)(x2)(x1)0 的根为 2，2，1， 在数轴上标根并穿线，如图所示 由穿针引线法，得不等式 x2 x23x20 的解集是 x|2x2 题型二次不等式的恒成立问题 角度.在 R 上的恒成立问题 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 1若不等式(a2)x22(a2)x40， 36k24kk80， 解得

24、00， 0. (2)不等式 ax2bxc0 对任意实数 x 恒成立的条件是： 当 a0 时，b0，c0； 当 a0 时， a0， 0. 角度.在给定区间内恒成立求参数问题 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 3已知 f(x)mx2mx1，若对于 x1,3，f(x)m5 恒成立，则实数 m 的取值范围是_ 答案 ，6 7解析要使 f(x)m5 在 x1,3上恒成立， 只需 mx2mxm0， 所以 m 6 x2x1. 令 y 6 x2x1 6 x1 2 23 4 . 因为 t x1 2 23 4在1,3上是增函数， 所以 y 6 x2x1在1,3上是减函数 因此函数的最小值 ymin6

25、 7. 所以 m 的取值范围是 ，6 7 . 42021 内蒙古包头联考若关于 x 的不等式 x33x2axa20 在(，1上恒成立，则实数 a 的取值范 围是() A(，3B3，) C(，3D3，) 答案A解析关于 x 的不等式 x33x2axa20 在(，1上恒成立， 等价于 a(x1)x33x22(x1)(x22x2)在(，1上恒成立 当 x1 时，00 成立； 当 x1 时，x13 在 x1 时恒成立，所以 a3. 综上可知，实数 a 的取值范围是(，3故选 A. 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 一元二次不等式在给定区间上恒成立的求解方法 设 f(x)ax2bxc(a0) (

26、1)当 a0 时，f(x)0 在 x，上恒成立 b 2a， f， f0 或0 在 x，上恒成立 f0， f0. (2)当 a0 时， f(x)0 在 x，上恒成立 f0， f0 在 x，上恒成立 b 2a0 或 b 2a， f0 或0，则函数 f(t)t2mtm3 有两个不同的零点 t1， t2，且 t1(1,2)，t2(4， )， f10， f20， f40， 42mm30， 164mm37.故选 C. 2设 aR，关于 x 的一元二次方程 7x2(a13)xa2a20 有两实根 x1，x2，且 0 x11x20， f10， 即 a2a20， 7a13a2a20， 解得 a2， 2a4， a

27、3， 2a1 或 3a4， a 的取值范围为(2，1)(3,4) 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 设一元二次方程 ax2bxc0(a0)的两实根为 x1， x2， 且 x1x2， k 为常数， 则一元二次方程根和 k 的分布(即 x1，x2相对于 k 的位置)有以下若干定理 定理 1：x1kx2 (即一个根小于 k，一个根大于 k)af(k)0. 定理 2：k0， b 2ak. 定理 3：x1x20， b 2a0 在区间1,5上有解，则 a 的取值范围是_ 答案 23 5 ， 4若不等式 x2(a1)xa0 的解集是4,3的子集，则 a 的取值范围是() A4,1B4,3 C1,3D

28、1,3 答案B 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 一元二次不等式在实数范围内有解的求解方法 (1)一元二次不等式 ax2bxc0 在实数范围内有解 a0， b，cR 或 a0. (2)一元二次不等式 ax2bxc0， b24ac0 或 a0 在1,4上有解，则实数 a 的取值范围是() A(，4)B(4，) C(12，)D(，12) 答案A解析令函数 f(x)2x28x4a，其图象开口向上，且对称轴 x 8 222 在区间1,4内， 只需在区间1,4的端点处的函数值 f(1)， f(4)中的最大值大于 0， 即可保证不等式 2x28x4a0 在区间1,4 上有解 又210 即可， 24

29、2844a0，af(x)或 af(x)min或 af(x)max；也可以通过对立命题转化 为在区间内无解，从而转化为恒成立问题 角度.二次不等式有整数解求参数 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 62021 广东梅州模拟关于 x 的不等式 x2(m2)x2m0 的解集中恰有 3 个正整数，则实数 m 的取值范围 为() A(5,6B(5,6) C(2,3D(2,3) 答案A解析关于 x 的不等式 x2(m2)x2m0 可化为(xm)(x2)0，该不等式的解集中恰有 3 个正整数，不等式的解集为x|2xm，且 5m6，即实数 m 的取值范围是(5,6故选 A. 7若关于 x 的不等式

30、(2x1)2ax2的解集中整数恰好有 3 个，求实数 a 的取值范围 解不等式(2x1)2ax2等价于(4a)x24x10， 不等式(2x1)20， 4244a0， 解得 0a4， 不等式的解集为 1 2 ax 1 2 a. 1 4 1 2 a 1 2， 不等式(2x1)2ax2的解集中整数解一定是 1,2,3， 3 1 2 a4，解得 25 9 a49 16， 实数 a 的取值范围为 25 9 ，49 16 . 解/题/感/悟(小提示，大智慧) 本例 7 中，要使关于 x 的不等式(2x1)20，b02.ab3.算术平均数几何平均数 知识点三利用基本不等式求最大、最小值问题 1如果 x，y(

31、0，)，且 xyP(定值)，那么当_时，xy 有最小值 2 P. (简记：“积定和最小”) 2如果 x，y(0，)，且 xyS(定值)，那么当 xy 时，xy 有最大值S 2 4 . (简记：“和定积最大”) 答案：1.xy 链/接/教/材 1必修 5P99例 1(2)改编若 x0，y0，且 xy18，则 xy的最大值为() A9B18 C36D81 答案：A 2必修 5P100练习 T1 改编设 a0，则 9a1 a的最小值为( ) A4B5 C6D7 答案：C 3必修 5P101B 组 T2如图，树顶 A 离地面 a m，树上另一点 B 离地面 b m，在离地面 c m 的 C 处看此树，

32、 离此树多远时看 A，B 的视角最大？ 解：如图，过 C 作 CDAB，交 AB 的延长线于 D， 设BCD，ACB，CDx， 在BCD 中，tan bc x . 在ACD 中，tan()ac x . 则 tan tan() ab x 1ac x bc x ab xacbc x ab 2xacbc x ab 2 acbc. 当且仅当 xacbc x ， 即 x acbc时，tan 取得最大值，从而看 A，B 的视角也最大 易/错/问/题 1基本不等式的两个易错点：忽视不等式成立的条件；忽视等号成立的条件 (1)已知函数 f(x)4xa x(x0，a0)在 x3 时取得最小值，则 a_. (2)

33、函数 ysin x 4 sin x，x 0， 2 的最小值为_ (1)答案：36解析：x0，a0， f(x)4xa x2 4xa x4 a， 当且仅当 4xa x，即 4x 2a 时，f(x)取得最小值 又f(x)在 x3 时取得最小值， a43236. (2)答案：5解析：ysin x 4 sin x2 sin x 4 sin x4， 当 sin x 4 sin x时，sin x2，显然取不到等号 事实上，设 tsin x，x 0， 2 ，则 t(0,1，易知 yt4 t 在(0,1上为减函数，故当 t1 时，y 取得最小值 5. 2应用基本不等式的技巧：凑；拆 (1)已知 0 x1，则 x

34、 4 x1的最小值为_ (1)答案：1 2 解析：由 x(33x)1 33x(33x) 1 3 9 4 3 4，当且仅当 3x33x，即 x 1 2时，等号成立 (2)答案：5解析：x 4 x1x1 4 x11415，当且仅当 x1 4 x1，即 x3 时，等号成立 核/心/素/养 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润 y(单位：万元)与机器运转 时间 x(单位：年)的关系为 yx218x25(xN*)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是_ 万元 答案：8解析：年平均利润为y xx 25 x 18 x25 x 18， 因为 x25 x 2x25 x

35、 10， 所以y x18 x25 x 18108， 当且仅当 x25 x ，即 x5 时，等号成立 题型利用基本不等式求最值 角度.利用基本不等式求最值 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 12020 江苏卷已知 5x2y2y41(x，yR)，则 x2y2的最小值是_ 答案 4 5 解析由 5x2y2y41，知 y0， x21y 4 5y2 ，x2y21y 4 5y2 y214y 4 5y2 1 5y2 4y2 5 2 4 25 4 5，当且仅当 1 5y2 4y2 5 ，即 y21 2，x 23 10时取等 号故 x2y2的最小值为4 5. 22020 天津卷已知 a0，b0，且

36、 ab1，则 1 2a 1 2b 8 ab的最小值为_ 答案4解析本题考查基本不等式的应用由已知得， 1 2a 1 2b 8 ab ab 2ab 8 ab ab 2 8 ab2 ab 2 8 ab4，当且仅当 ab 2 8 ab且 ab1，即 a2 3， b2 3 或 a2 3， b2 3 时取等号，故 1 2a 1 2b 8 ab的最小值为 4. 3多选2021 山东潍坊高密模拟设正项等差数列an满足(a1a10)22a2a920，则() Aa2a9的最大值为 10 Ba2a9的最大值为 2 10 C 1 a22 1 a29的最大值为 1 5 Da42a 4 9的最小值为 200 答案ABD

37、解析本题考查利用基本不等式求最值 因为正项等差数列an满足(a1a10)22a2a920， 所以(a2a9)22a2a920，即 a22a2920. Aa2a9a 2 2a29 2 20 2 10，当且仅当 a2a9 10时，等号成立，故 A 选项正确； B由于 a2a9 2 2a 2 2a29 2 10，所以 a2a92 10，当且仅当 a2a9 10时，等号成立，故 B 选项正确； C 1 a22 1 a29 a22a29 a22a29 20 a22a29 20 a22a29 2 2 20 102 1 5，当且仅当 a 2a9 10时，等号成立， 所以 1 a22 1 a29的最小值为 1

38、 5，故 C 选项错误； D结合 A 的结论，有 a42a49(a22a29)22a22a29400a22a294002102200， 当且仅当 a2a9 10时，等号成立，故 D 选项正确 方/法/总/结 利用对勾函数的性质求函数的最值 函数 yaxb x(a0，b0)叫“对勾函数”，其图象如下： 适用范围：求形如 ysin x 2 sin x，yx 2 4 x29的函数最值 角度.配凑法求最值 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 42021 安徽江南十校联考已知实数 x 满足 log1 2x1，则函数 y8x 1 2x1的最大值为( ) A4B8 C4D0 答案D解析由 log

39、 1 2 x1 得 0 x1 2 ，12x10，y8x 1 2x1 4(2x1) 1 2x1 4 412x 1 12x 4440，当且仅当 4(12x) 1 12x，即 x 1 4时，等号成立，故选 D. 5已知 0 x2 5，则 f(x)x(25x)的最大值为_ 答案 1 5 解析因为 0 x2 5， 所以 05x0， 则 f(x)x(25x)1 55x(25x) 1 5 5x25x 2 21 5， 当且仅当 5x25x，即 x1 5时，等号成立，此时 f(x)取得最大值 1 5. 解/题/感/悟(小提示，大智慧) 当拼凑和为定值或积为定值时，经常会遇到系数不匹配，或者常数项不匹配的现象，通

40、过加减常数或者乘除系 数的形式构造出满足要求的定值现象 角度.常数代换法求最值 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 62021 福建龙岩模拟已知 x0，y0，且 1 x1 1 y 1 2，则 xy 的最小值为( ) A3B5 C7D9 答案C解析x0，y0，且 1 x1 1 y 1 2， x1y2 1 x1 1 y (x1y) 2 11 y x1 x1 y 2 22 y x1 x1 y8， 当且仅当 y x1 x1 y ，即 x3，y4 时，等号成立， xy7，故 xy 的最小值为 7，故选 C. 72021 湖南长沙模拟如图，在三棱锥 PABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，且

41、 PA3，PB2，PC1.设 M 是底面 ABC 内一点，定义 f(M)(m，n，p)，其中 m，n，p 分别是三棱锥 MPAB、三棱锥 MPBC、三棱锥 M PCA 的体积若 f(M) 1 2，x，y，且1 x a y8 恒成立，则正实数 a 的最小值为_ 答案1解析PA，PB，PC 两两垂直， 且 PA3，PB2，PC1， V三棱锥PABC1 3 1 23211 1 2xy. xy1 2，则 2x2y1. a0，1 x a y 1 x a y (2x2y)22a2y x 2ax y 22a4 a8 当且仅当2y x 2ax y ，即 y ax 时，等号成立 ， 解得 a1，正实数 a 的最

42、小值为 1. 解/题/感/悟(小提示，大智慧) 当出现条件代数式为常数的时候，常常巧用这个常数，借助代数式的结构特点，将常数代换，从而构造出积为 定值的形式，为应用基本不等式求最值创造条件 角度.换元法求最值 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 82021 河南平顶山模拟若对于任意 x0，不等式 x x23x1a 恒成立，则实数 a 的取值范围为( ) A 1 5，B 1 5， C ，1 5D ，1 5 答案A解析由 x0， x x23x1 1 x1 x3 ， 令 tx1 x，则 t2 x1 x2， 当且仅当 x1 时，t 取得最小值 2. x x23x1取得最大值 1 5，所以对

43、于任意的 x0，不等式 x x23x1a 恒成立，则 a 1 5. 9已知 x5 4，求函数 y 16x228x11 4x5 的最小值 解设 4x5t，x5 4，t0. y 16 t5 4 228t5 4 11 t t 23t1 t t1 t 3235. 当且仅当 t1，即 x3 2时，等号成立 当 x3 2时，y min5. 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 求分式型函数的最值 角度.利用两次基本不等式求最值 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 10若 a，b0，则 abb a2b21的最大值为_ 答案 2 2 解析原式 ba1 b2a21 ba1 2b a21 1 2

44、a12 a21 1 2 1 2a a21 2 2 . 当且仅当 b a21， a21， 即 b 2， a1 时取得最大值 11已知 ab0，那么 a2 1 bab的最小值为_ 答案4 题型不等式的证明 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 12017 全国卷已知 a0，b0，a3b32.证明： (1)(ab)(a5b5)4； (2)ab2. 证明(1)(ab)(a5b5) a6ab5a5bb6 (a3b3)22a3b3ab(a4b4) 4ab(a2b2)24. (2)因为(ab)3a33a2b3ab2b3 23ab(ab)23ab 2 4 (ab) 23ab 3 4 ， 所以(ab)

45、38，因此 ab2. 2已知 a，b，cR，求证： a4b4c4a2b2b2c2c2a2abc(abc) 证明a4b42a2b2，b4c42b2c2，c4a42c2a2， 2(a4b4c4)2(a2b2b2c2c2a2)， 即 a4b4c4a2b2b2c2c2a2. 又 a2b2b2c22ab2c，b2c2c2a22abc2， c2a2a2b22a2bc， 2(a2b2b2c2c2a2)2(ab2cabc2a2bc)， 即 a2b2b2c2c2a2ab2cabc2a2bcabc(abc) a4b4c4a2b2b2c2c2a2abc(abc) 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 证明不等式

46、的方法 证明不等式时，可依据待求证式两端的式子结构，合理选择重要不等式及其变形不等式来证 先局部运用基本不等式，然后利用不等式的性质，通过不等式相加(有时相乘)综合推出要求证的不等式，这种 证明方法在证明轮换对称不等式时具有一定的普遍性 题型已知不等式恒成立求参数范围 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 1已知不等式(xy) 1 x a y 9 对任意的正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值为() A2B4 C6D8 答案B解析(xy) 1 x a y 1ay x ax y 1a2 a( a1)2(x0，y0，a0)， 当且仅当 y ax 时等号成立， 所以(xy) 1 x

47、 a y 的最小值为( a1)2，于是( a1)29 恒成立，所以 a4，故选 B. 2多选当 0mf(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立 a2 tan Btan C， 则 tan Btan C1，m2. 又在三角形中，有 tan Atan Btan C tan(BC)tan Btan C m 11 2m 1 2m m2 m2 m2 4 m24 2m2 4 m248， 当且仅当 m2 4 m2，即 m4 时等号成立， 故 tan Atan Btan C 的最小值为 8. 探究若已知条件不变，则 tan Atan Btan C 的最小值为_ 答案：8解析在锐角ABC 中， 恒有 tan

48、 Atan Btan Ctan Atan Btan C 所以 tan Atan Btan C 的最小值为 8. 22021 河南安阳模拟已知 0， 2 ，若满足不等式 sin3cos3lncos sin ，则的取值范围是( ) A 4， 2B 0， 4 C 4， 3D 4， 2 答案A解析sin3cos3lncos sin ，sin3cos3lncos sin ln cos ln sin ，即 sin3ln sin cos3ln cos ，则 sin 0 且 cos 0， 0， 2 ，0 且 2， 0， 2 .设 f(x)x3ln x，x0，则不 等式 sin3ln sin cos3ln co

49、s 等价于 f(sin )f(cos )恒成立f(x)3x21 x，则当 x0 时，f(x)0 恒成立， 故 f(x)在定义域上为增函数，则 f(sin )f(cos )等价于 sin cos 恒成立 0， 2 ，sin cos 1，即 tan 1， 40，b0，pf a2b2 2，qf ab 2 2 ，rf(ab)，则下列 关系式中正确的是() AqrpBqpr CrpqDrqp 答案D解析a0，b0，a 2b2 2 ab 2 22a 22b2 4 a 2b22ab 4 ab 2 4 0，a 2b2 2 ab 2 2. 又 ab 2 ab， ab 2 2ab.a 2b2 2 ab 2 2ab

50、.又函数 f(x)x2ex 在区间(0，)上单调递增， f(ab)f ab 2 2 f a2b2 2，即 rqp. 42021 湖北鄂东南联考方程(x2 0181)(1x2x4x2 016)2 018x2 017的实数解的个数为_ 答案1解析由题意知x0， (x2 0181)(1x2x4x2 016) 2 x2 01811 2(2 1x 2 0162 x2x2 014 2 x2 0161)2 018x2 017，当且仅当 x1 时等号成立，因此实数解的个数为 1. 角度.与实际应用问题相结合 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 5要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方