讲与练高中数学1·②·必修第一册·BS版模块综合试卷.docx

1、模块综合试卷模块综合试卷 (时间：120 分钟满分：150 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1直线 l 过点(3,0)，且与直线 y2x3 垂直，则直线 l 的方程为() Ay1 2(x3) By1 2(x3) Cy1 2(x3) Dy1 2(x3) 答案B 解析因为直线 y2x3 的斜率为 2， 所以直线 l 的斜率为1 2. 又直线 l 过点(3,0)， 故所求直线的方程为 y1 2(x3) 2已知椭圆的中心在原点，离心率 e1 2，且它的一个焦点与抛物线 y 24x 的焦点重合， 则此椭圆方程为() A.x 2 4 y 2 3 1B.x 2 8 y

2、 2 6 1 C.x 2 2 y21D.x 2 4 y21 答案A 解析抛物线 y24x 的焦点坐标为(1,0)， 椭圆的一个焦点坐标为(1,0)，c1， 又 ec a 1 2，a2，b 2a2c23， 椭圆的标准方程为x 2 4 y 2 3 1. 3 已知圆 C 与直线 yx 及 xy40 相切， 圆心在直线 yx 上， 则圆 C 的方程为() A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22 C(x1)2(y1)24D(x1)2(y1)24 答案A 解析圆心在 yx 上，设圆心坐标为(a，a)， 圆 C 与直线 yx 及 xy40 都相切， 圆心到两直线 yx 及 xy40 的距离相等，

3、即|2a| 2 |2a4| 2 a1， 圆心坐标为(1,1)，R 2 2 2， 圆 C 的标准方程为(x1)2(y1)22. 4.如图，ABACBD1，AB平面，AC平面，BDAB，BD 与平面成 30角，则 C， D 间的距离为() A1B2C. 2D. 3 答案C 解析|CD |2|CA AB BD |2|CA |2|AB|2|BD |22CA AB 2ABBD 2CA BD 111 00211cos 1202. |CD | 2. 5过点 P(2,4)作圆 C：(x2)2(y1)225 的切线 l，直线 m：ax3y0 与切线 l 平行， 则切线 l 与直线 m 间的距离为() A4B2C

4、.8 5 D.12 5 答案A 解析根据题意，知点 P 在圆 C 上， 切线 l 的斜率 k 1 kCP 1 14 22 4 3， 切线 l 的方程为 y44 3(x2)，即 4x3y200. 又直线 m 与切线 l 平行， 直线 m 的方程为 4x3y0. 故切线 l 与直线 m 间的距离 d |020| 42324. 6已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)，过点(4,0)的直线交椭圆 E 于 A，B 两点若 AB 的中点坐 标为(2，1)，则椭圆 E 的离心率为() A.1 2 B. 3 2 C.1 3 D.2 3 3 答案B 解析设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则

5、 x21 a2 y21 b21， x22 a2 y22 b21， 两式相减得x 2 1x22 a2 y 2 1y22 b2 0， 因为 AB 的中点坐标为(2，1)， 所以 x1x24，y1y22， 所以y1y2 x1x2 x1x2b2 y1y2a2 2b2 a2 ， 又 kABy1y2 x1x2 01 42 1 2， 所以2b 2 a2 1 2，即 a2b， 所以 ec a 1 b a 2 3 2 . 7在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA15，P 是棱 DD1上的动点，则当 PA1C 的面积最小时，DP 等于() A1B2C.5 2 D4 答案A 解析根据题意，以 A

6、 为坐标原点，以 AB，AD，AA1所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐 标系，如图所示， 设 DPx(0 x5)， 故可得 P(0,2，x)，A1(0,0,5)，C(1，2,0)， 由空间中两点之间的距离公式可得|A1P| 4x52 x210 x29， |PC| 1x2，|A1C| 30， 故在PA1C 中，由余弦定理可得 cosA1PC|A1P| 2|PC|2|A1C|2 2|A1P|PC| x25x x210 x29 1x2， 则 sinA1PC 1cos2A1PC 5x210 x29 x210 x29x21， 故 1 A PC S1 2sinA 1PC|A1P|PC| 1 2 5x

7、210 x29 x210 x29x21 x 210 x29 1x2 1 2 5x210 x291 2 5x1224， 当且仅当 x1 时，PA1C 的面积最小 故满足题意时，DP1. 8.如图，F1，F2分别是双曲线 C 的左、右焦点，过 F1的直线与双曲线 C 的左、右两支分别交 于 A，B 两点，若ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率为() A. 3B. 5C. 7D3 答案C 解析根据双曲线的定义，可得|BF1|BF2|2a， ABF2是等边三角形，即|BF2|AB|， |BF1|BF2|2a，即|BF1|AB|AF1|2a， 又|AF2|AF1|2a， |AF2|AF1|2a4a.

8、 在AF1F2中，|AF1|2a，|AF2|4a，F1AF2120， |F1F2|2|AF1|2|AF2|22|AF1|AF2|cos 120， 即 4c24a216a222a4a 1 2 28a2，得 c 7a， 由此可得双曲线 C 的离心率 ec a 7. 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，全部选对的得 5 分，部分选对的 得 2 分，有选错的得 0 分) 9若圆 C：x2y22x4y200 上有四个不同的点到直线 l：4x3yc0 的距离为 2， 则 c 的取值可能是() A13B13C15D18 答案BC 解析圆 C：x2y22x4y200 化为(x1)

9、2(y2)225， 则圆心 C(1，2)，半径 r5， 若圆 C：x2y22x4y200 上有四个不同的点到直线 l：4x3yc0 的距离为 2， 则圆心 C(1，2)到直线 l 的距离 d3，如图 即|4132c| 5 |c2| 5 3， 13c0，b0)的左、右焦点，过左焦点 F 1且斜率为 15 7 的 直线 l 与 C 在第一象限相交于一点 P，则下列说法正确的是() A直线 l 的倾斜角的余弦值为7 8 B若|F1P|F1F2|，则 C 的离心率 e4 3 C若|PF2|F1F2|，则 C 的离心率 e2 DPF1F2不可能是等边三角形 答案AD 解析设直线 l 的倾斜角为，则 ta

10、n 15 7 ，cos 7 8，故 A 正确 P 在第一象限内，若|F1P|F1F2|，则|PF1|F1F2|2c，|PF2|2c2a，由余弦定理得 4c24c22c2a2 8c2 7 8，整理得 3e 28e40，解得 e2 或 e2 3(舍)，故 B 错误 若|PF2|F1F2|，则|PF2|F1F2|2c，|PF1|2c2a，由余弦定理得4c 22c2a24c2 8cca 7 8， 整理得 3e2e40，解得 e4 3或 e1(舍)故 C 错误 由|PF1|PF2|，知PF1F2不可能为等边三角形，故 D 正确 11设抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，准线为 l，A 为 C 上

11、一点，以 F 为圆心，|FA|为半 径的圆交 l 于 B，D 两点，若ABD90，且ABF 的面积为 9 3，则() A|BF|3 BABF 是等边三角形 C点 F 到准线的距离为 3 D抛物线 C 的方程为 y26x 答案BCD 解析由题意，得以 F 为圆心，|FA|为半径的圆交 l 于 B，D 两点，且ABD90， 由抛物线定义，可得|AB|AF|BF|， ABF 是等边三角形， FBD30， SABF 3 4 |BF|29 3， |BF|6. 又焦点 F 到准线的距离为 p|BF|sin 303， 则抛物线方程为 y26x， 则 BCD 正确，A 错误 12.如图， 在四棱锥 PABCD

12、 中， 底面为直角梯形， ADBC， BAD90， PA底面 ABCD， 且 PAADAB2BC，M，N 分别为 PC，PB 的中点则() ACDAN BBDPC CPB平面 ANMD DBD 与平面 ANMD 所成的角为 30 答案CD 解析以 A 为坐标原点， AB， AD， AP 所在直线分别为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系(图略)， 设 BC1， 则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)， M 1，1 2，1，N(1,0,1)， 从而CD (2,1,0)， AN (1,0,1)， BD (2,2,0)， PC (2,1， 2)

13、， PB(2,0， 2)， AD (0,2,0) CD AN 210，A 错误； BD PC 222120，B 错误； 设平面 ANMD 的法向量为 n(x，y，z)， 则由 nAD 0， nAN 0， 得 2y0， xz0， 令 x1，得 n(1,0，1) PB 2n，PB平面 ANMD，C 正确； cosBD ，n BD n |BD |n| 1 2， BD 与平面 ANMD 所成的角为 30，D 正确 三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13直线 l 到其平行直线 x2y40 的距离和原点到直线 l 的距离相等，则直线 l 的方程是 _ 答案x2y20 解析根据题

14、意，设所求直线 l 的方程为 x2yC0(C4)， 则 |C4| 1222 |C| 1222， 解得 C2，故直线 l 的方程为 x2y20. 14已知抛物线 C：y22px(p0)的准线为 l，过 M(1,0)且斜率为 3的直线与 l 相交于点 A， 与 C 的一个交点为 B，若AM MB ，则 p_. 答案2 解析如图，由 AB 的斜率为 3， 知60，又AM MB ， M 为 AB 的中点 过点 B 作 BP准线 l 于点 P， 则ABP60， BAP30. |BP|1 2|AB|BM|. M 为焦点，即p 21， p2. 15在正四棱锥 SABCD 中，O 为顶点 S 在底面上的射影，

15、P 为侧棱 SD 的中点，且 SO OD，则直线 BC 与平面 PAC 所成的角的大小是_ 答案30 解析如图，以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz. 设 ODOSOAOBOCa， 则 A(a，0,0)，B(0，a，0)，C(a，0,0)，P 0，a 2， a 2 ， 从而CA (2a，0,0)，AP a，a 2， a 2 ， CB (a，a，0) 设平面 PAC 的法向量为 n(x，y，z)， 由 nCA 0， nAP 0， 可得 n(0,1,1)， 则 cosn， CB nCB |n|CB | 1 2， 直线 BC 与平面 PAC 所成的角为 30. 16直线 mxy20(mR)与圆

16、 C：x2y22y10 相交于 A，B 两点，弦长|AB|的最小 值为_，若ABC 的面积为 3 2 ，则 m 的值为_ 答案21 解析直线 mxy20(mR)恒过圆 C：x2(y1)22 内的定点 M(0,2)，r 2，圆心 C 到直线的距离 d|CM|1，|AB|2 r2d22， 即弦长|AB|的最小值为 2. SABC1 2r 2sinACB 3 2 ， 即ACB 3或 2 3 . 若ACB 3，则圆心到弦 AB 的距离为 6 2 1|CM|，故不符合题意； 若ACB2 3 ，圆心到直线的距离为 2 2 1|CM|， 设弦 AB 的中点为 N， 又|CM|1，故NCM 4， 即直线的倾斜

17、角为 4，则 m 的值为1. 四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分) 17(10 分)已知方程(2)x(1)y2(32)0 与点 P(2,2)证明： (1)对任意的实数，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐 标； (2)该方程表示的直线与点 P 的距离 d 小于 4 2. 证明(1)显然 2与(1)不可能同时为零，故对任意的实数，该方程都表示直线 方程可变形为 2xy6(xy4)0， 由 2xy60， xy40， 解得 x2， y2， 故直线经过定点 M(2，2) (2)过 P 作直线的垂线段 PQ(图略)， 由垂线段小于斜线段知|PQ|PM|，当且仅当 Q 与

18、 M 重合时，|PQ|PM|，此时对应的直线 方程是 y2x2，即 xy40.但直线系方程不能表示直线 xy40， M 与 Q 不可能重合，而|PM|4 2， |PQ|b0)的长轴是短轴的 2倍，且右焦点为 F(1,0) (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)直线 l：yk(x2)交椭圆 C 于 A，B 两点，若线段 AB 中点的横坐标为2 3，求直线 l 的方 程及FAB 的面积 解(1)长轴是短轴的 2倍， a 2b， 焦点 F 的坐标为(1,0)， c1. 结合 a2b2c2，得 a 2，b1. 椭圆 C 的标准方程为x 2 2 y21. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2) 由

19、 x2 2 y21， ykx2， 得(2k21)x28k2x8k220， 则 x1x2 8k2 2k21，x 1x28k 22 2k21. 线段 AB 中点的横坐标为2 3， x1x2 2 4k2 2k21 2 3. 解得 k21 4，即 k 1 2满足0， 直线 l 的方程为 y1 2(x2) |AB| 1k2x1x224x1x22 5 3 ， 点 F 到直线 l 的距离 d |3k| 1k2 3 5 5 . FAB 的面积 SAFB1 2 2 5 3 3 5 5 1. 19(12 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA底面 ABCD，PAAB， E 为线段 PB

20、 的中点 (1)求证：点 F 在线段 BC 上移动时，AEF 为直角三角形； (2)若 F 为线段 BC 的中点，求平面 AEF 与平面 EFD 夹角的余弦值 (1)证明PAAB，E 为线段 PB 的中点， AEPB. PA底面 ABCD，BC平面 ABCD， PABC. 底面 ABCD 为正方形， BCAB. 又 PAABA，PA，AB平面 PAB， BC平面 PAB. AE平面 PAB， BCAE. PBBCB，PB，BC平面 PBC， AE平面 PBC. EF平面 PBC， AEEF， 点 F 在线段 BC 上移动时，AEF 为直角三角形 (2)解如图，以 AB，AD，AP 所在直线分别

21、为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，连接 DF， 令 PA2，则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，E(1,0,1)，F(2,1,0)，D(0,2,0)， 设平面 AEF 的法向量为 m(x，y，z)， 则 mAF 0， mAE 0， 可得 2xy0， xz0， 取 m(1，2，1)， 设平面 DEF 的法向量为 n(a，b，c)， 则 nDE 0， nEF 0， 可得 a2bc0， abc0， 取 n(1,2,3)， |cosm，n| |6| 6 14 21 7 ， 平面 AEF 与平面 DEF 夹角的余弦值为 21 7 . 20. (12 分)已知过原点 O 的动直线 l 与圆 C：(

22、x1)2y24 交于 A，B 两点 (1)若|AB| 15，求直线 l 的方程； (2)x 轴上是否存在定点 M(x0,0)，使得当 l 变动时，总有直线 MA，MB 的斜率之和为 0？，若 存在，求出 x0的值，若不存在，请说明理由 解(1)设圆心 C 到直线 l 的距离为 d， 则 d|CA|2 |AB| 2 2 415 4 1 2. 当 l 的斜率不存在时，d1，不符合题意 当 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 ykx，由点到直线的距离公式得 |k| k21 1 2， 解得 k 3 3 ， 故直线 l 的方程为 y 3 3 x. (2)存在定点 M，且 x03. 设 A(x1，y1)，

23、B(x2，y2)，直线 MA，MB 的斜率分别为 k1，k2. 当 l 的斜率不存在时，由对称性可得AMCBMC，k1k20，符合题意； 当 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 ykx，代入圆 C 的方程， 整理得(k21)x22x30， x1x2 2 k21，x 1x2 3 k21， k1k2 y1 x1x0 y2 x2x0 2kx1x2kx0 x1x2 x1x0 x2x0 2x06k x1x0 x2x0k21， 当 2x060，即 x03 时，有 k1k20， 存在定点 M(3,0)符合题意，即 x03. 21(12 分)等边ABC 的边长为 3，点 D，E 分别是 AB，AC 上的点，且

24、满足AD DB CE EA 1 2(如 图)，将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使二面角 A1DEB 成直二面角，连接 A1B， A1C(如图) (1)求证：A1D平面 BCED； (2)在线段 BC 上是否存在点 P，使直线 PA1与平面 A1BD 所成的角为 60？若存在，求出 PB 的长；若不存在，请说明理由 (1)证明由已知可得 AE2，AD1，A60. 从而 DE 1222212cos 60 3. 故 AD2DE2AE2， A1DDE，BDDE. A1DB 为二面角 A1DEB 的平面角 又二面角 A1DEB 为直二面角， A1DB90， 即 A1DDB. DEDBD，且

25、DE，DB平面 BCED， A1D平面 BCED. (2)解存在 由(1)知 EDDB，A1D平面 BCED，以 D 为坐标原点，以射线 DB，DE，DA1分别为 x 轴， y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图， 过 P 作 PHDE 交 BD 于点 H， 设 PB2a(02a3)， 则 BHa，PH 3a，DH2a， 易知 A1(0,0,1)，P(2a， 3a，0)，E(0，3，0)， PA1 (a2， 3a，1)， DE平面 A1BD， 平面 A1BD 的一个法向量为DE (0，3，0) 直线 PA1与平面 A1BD 所成的角为 60， sin 60 |PA1 DE | |PA1

26、 |DE | 3a 4a24a5 3 3 2 ， 解得 a5 4. PB2a5 2，满足 02a3，符合题意 在线段 BC 上存在点 P，使直线 PA1与平面 A1BD 所成的角为 60，此时 PB5 2. 22(12 分)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F 1( 3，0)，F2( 3，0)，椭 圆上的点 P 满足PF1F290，且PF1F2的面积为 3 2 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A，B，过点 Q(1,0)的动直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点， 直线 AN 与直线 x4 的交点为 R，求证：点 R

27、总在直线 BM 上 (1)解由题意知|F1F2|2c2 3. 椭圆上的点 P 满足PF1F290，且 1 2 PF F S 3 2 ， 1 2 PF F S1 2|F 1F2|PF1|1 22 3|PF 1| 3 2 ， |PF1|1 2，|PF 2| |F1F2|2|PF1|27 2. 2a|PF1|PF2|4，a2. 又 c 3， b a2c21， 椭圆 C 的方程为x 2 4 y21. (2)证明由题意知 A(2,0)，B(2,0) 当直线 l 与 x 轴垂直时，M 1， 3 2 ，N 1， 3 2 ， 则 AN 的方程是 y 3 6 (x2)，BM 的方程是 y 3 2 (x2)， 直

28、线 AN 与直线 x4 的交点为 R(4， 3)， 点 R 在直线 BM 上 当直线 l 不与 x 轴垂直时，设直线 l 的方程为 yk(x1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，R(4，y0)， 由 ykx1， x2 4 y21， 得(14k2)x28k2x4k240， x1x2 8k2 14k2，x 1x24k 24 14k2. AR (6，y 0)，AN (x 22，y2)，A，N，R 共线， y0 6y2 x22. 又BR (2，y 0)，BM (x12，y1)， 需证明 B，M，R 共线， 2y1y0(x12)0，只需证明 2k(x11)6kx21 x22 (x12)0， 若 k0，显然成立，若 k0，即证明(x11)(x22)3(x21)(x12)2x1x25(x1x2)8 24k 24 14k2 58k 2 14k280 成立，这个式子显然成立， B，M，R 共线，即点 R 总在直线 BM 上