名师伴你行高考一轮总复习新高考版[数学] 第1章.doc

1、第一章集合与常用逻辑用语 第一节集合运算 复习要点1.了解集合的含义、体会元素与集合的属于关系 2能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题 3理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集 4在具体情境中，了解全集与空集的含义 5理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集 6理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集 7能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系及集合运算 知识点一集合的基本概念 1集合中元素的性质：_、_、_. 2元素与集合的关系 (1)属于，记为_；(2)不属于，记为_ 3常见数集的符号 集合自然数集正整数集整数

2、集有理数集实数集 符号_ 4.集合的表示方法：(1)_；(2)_；(3)_ 答案：1.确定性无序性互异性 2(1)(2) 3NN*或 NZQR 4(1)列举法(2)描述法(3)图示法 知识点二集合间的基本关系 表示 关系 文字语言符号语言 相等 集合 A 与集合 B 中的所有元 素_ _且_ AB 子集 集合 A 中任意一个元素均为 集合 B 中的元素 _ 真子集 集合 A 中任意一个元素均为 集合 B 中的元素，且 B 中至 少有一个元素不是 A 中的元 素 _ 空集 空集是_的子集，是 _的真子集 A B(B) 答案：相同ABBAAB 或 BAAB 或 BA任何集合任何非空集合 知识点三集

3、合的基本运算 集合的并集集合的交集集合的补集 符号 表示 _ 若全集为 U，则集合 A 的补集为_ 图形 表示 意义x|_x|_x|_ 答案：ABABUAxA，或 xBxA，且 xBxU，且 xA 链/接/教/材 1必修 1P11A 组 T1 改编若集合 PxN|x 2 021，a2 2，则() AaPBaP CaPDaP 答案：D 2必修 1P12A 组 T6 改编已知集合 Ax|x22x30，Bx|0 x4，则 AB() A1,4B(0,3 C(1,0(1,4D1,0(1,4 答案：A 3必修 1P12B 组 T3 改编设全集为 R，集合 Ax|0 x2，Bx|x1，则 A(RB)() A

4、x|0 x1Bx|0 x1 Cx|1x2Dx|0 x2 答案：B 易/错/问/题 1忽视元素的互异性 (1)已知集合 Am2,2m2m，若 3A，则 m 的值为_ (2)已知集合 A1,3， m，B1，m，若 BA，则 m_. 答案：(1)3 2 (2)0 或 3 2集合中的两个易混结论：集合中元素的个数；集合子集的个数 (1)已知集合 A1,2,3，B2,4,5，则集合 AB 中元素的个数为_ (2)集合 A1,4,7,10,13,16,19,21，则集合 A 有_个子集、_个真子集、_个非空子集、 _个非空真子集 (1)答案：5解析：因为 AB1,2,3,4,5，所以 AB 中元素的个数为

5、 5. (2)答案：28281281282解析：因为集合 A 中有 8 个元素，所以集合 A 有 28个子集、281 个真子 集、281 个非空子集、282 个非空真子集 通/性/通/法 1解决集合问题的两个方法：列举法；图示法 (1)若集合 A1,2,3，B1,3,4，则 AB 的子集的个数为_ (2)若集合 Ax|5x2，Bx|3x3，则 AB_. (1)答案：4解析：AB1,3，其子集分别为，1，3，1,3，共 4 个 (2)答案：x|3x2解析：在数轴上画出表示集合 A，B 的两个区间，观察可知 ABx|3x2 2集合中两组常用结论：集合间的基本关系；集合的运算 (1)2021 湖南湘

6、潭模拟已知全集 UR，集合 Mx|x|1，Ny|y2x，xR，则集合U(MN)() A(，1B(1,2) C(，12，)D2，) (2)2021 皖北协作区联考已知集合 Ay|y x21，Bx|ylg(x2x2)，则R(AB)() A 0，1 2B(，0) 1 2， C 0，1 2D(，0 1 2， (1)答案：A (2)答案：D解析：因为 Ay|y x210，)，Bx|ylg(x2x2) 0，1 2 ，所以 AB 0，1 2 ， 所以R(AB)(，0 1 2，. 题型集合的含义与表示 角度.用描述法表示集合 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 1已知集合 A 6 x5Z |xN

7、*，则集合 A 用列举法表示为_ 思考：已知集合 AxN*| 6 x5Z，则 A 中的元素分别是_ 答案2，3，6,6,3,2,1解析集合中的元素为 6 x5的取值，当 x2,3,4,6,7,8,11 时， 6 x5的值为 2，3，6,6,3,2,1，共有 7 个取值，集合 A 用列举法表示为2，3，6,6,3,2,1 思考：2,3,4,6,7,8,11 22021 湖北天门调研集合 M x|xk 2 1 4，kZ，N x|xk 4 1 2，kZ，则() AMNBMN CNMDM 与 N 没有相同的元素 答案B解析由题可知， 集合 M x|xk 2 1 4，kZ x|x1 42k1，kZ， N

8、 x|xk 4 1 2，kZ x|x1 4k2，kZ，当 kZ 时，2k1 是奇数，k2 是整数，又知奇数均为整数，而整数不一定为奇数， 所以 MN，故选 B. 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 与集合中的元素有关的问题的求解策略 (1)确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集 (2)看这些元素满足什么限制条件 (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数 易错警示要注意检验集合中元素的互异性 角度.元素的互异性与参数的求值 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 3已知 a，bR，若 a，b a，1a2，ab,0，则 a2 021b2 021为() A1B0 C

9、1D1 答案C解析只有 b0，a21a1(a1 不满足互异性)，从而 b0，且 a1，有 a2 021b2 021 1. 42021 山东百师联盟测试三已知集合 P1,2a1，a21，若 0P，则实数 a 的取值集合为() A 1 2，1，1B 1 2，0 C 1 2，1D 1 2，1 答案C解析当 2a10 时，a1 2，满足题意；当 a 210 时，a1，经检验，a1 满足题意， 故 a 1 2，1. 5已知集合 Aa2，a1，3，Ba3，a2，a21，若 AB3，则 a_. 答案1解析因为 AB3， 所以只可能 a33 或 a23， 解得 a0 或 a1. 当 a0 时，A0,1，3，B

10、3，2,1，此时 AB1，3，不合题意当 a1 时，A1,0， 3，B4，3,2，此时 AB3，符合题意，故 a1. 解/题/感/悟(小题示，大智慧) 要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异 性相矛盾 题型集合的基本关系 角度.子集、真子集关系的判断 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 1已知集合 M x|xm1 6，mZ，N x|xn 2 1 3，nZ，P x|xp 2 1 6，pZ，试分析集合 M，N，P 之间的关系 解集合 M x|xm1 6，mZ.关于集合 N：当 n 是偶数时， 令 n2m(mZ)， 则 N x|x

11、m1 3，mZ； 当 n 是奇数时，令 n2m1(mZ)， 则 N x|x2m1 2 1 3，mZ x|xm1 6，mZ， 从而得 MN. 关于集合 P：当 p2m(mZ)时， 则 P x|xm1 6，mZ； 当 p2m1(mZ)时， 则 P x|x2m1 2 1 6，mZ x|xm1 3，mZ， 从而得 NP. 综上可知，MNP. 角度.子集、真子集的个数问题 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 22021 山东省实验中学期中设 Ax|x28x150，Bx|ax10，若 ABB，则实数 a 组成的集 合的子集个数是() A2B3 C4D8 答案D解析Ax|x28x1503,5，

12、因为 ABB， 所以 BA， 结合题意可知 B或3或5， 对应实数 a 的值分别为 0， 1 3， 1 5，其组成有 3 个元素的集合： 0，1 3， 1 5 ，所以所求子集个数是 238，故选 D. 3 已知集合 Ax|x23x20， xR， Bx|0 x5， xN， 则满足条件 ACB 的集合 C 的个数为() A1B2 C3D4 答案D 角度.根据集合间的关系求参数 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 42021 湖南长沙长郡中学适应性考试已知集合 AxZ|xa，集合 BxZ|2x4若 AB 只有 4 个 子集，则实数 a 的取值范围是() A(2，1B2，1 C0,1D(0

13、,1 答案D解析本题考查根据集合的子集个数求参数的取值 集合 AxZ|xa， 集合 BxZ|2x4 xZ|x2， 故 ABxZ|ax2 因为AB 只有 4 个子集， 所以 AB 中元素只能有 2 个， 即 AB1,2， 所以 00，集合 Bx|x22ax10，a0，若 AB 中恰含有一 个整数，则实数 a 的取值范围是() A 0，3 4B 3 4， 4 3 C 3 4，D(1，) 答案B解析Ax|x22x30 x|x1 或 x0)，f(0)10， 即 44a10， 96a10， 所以 a3 4， a4 3， 即3 4a 4 3.故选 B. 角度.补集思想在解题中的应用 试/题/调/研(题题精

14、选，每题都代表一个方向) 5已知集合 Ax|x2ax10，Bx|x22xa0，Cx|x22ax20，若三个集合至少有一个集合 不是空集，则实数 a 的取值范围是_ 答案a|a2或 a1解析假设三个集合都是空集，即三个方程均无实根，则有 1a240， 244a0， 34a280， 解得 2a2， a1， 2a 2， 解得 2a1 是 a1 b的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案：D 2 选 修 2 1P30A 组 T6 命 题 “ 表 面 积 相 等 的 三 棱 锥 体 积 也 相 等 ” 的 否 定 是 _. 答案：有些表面积相等的三棱锥体积不

15、相等 3选修 21P27A 组 T3 改编命题“xR，x2x0”的否定是() Ax0R，x20 x00 Bx0R，x20 x00 CxR，x2x0 DxR，x2x0 答案：B 4选修 21P24例 3 改编命题：“xR，x2ax11，若 x0，则 ax1”的否命题为() A已知 0a0，则 ax1 B已知 a1，若 x0，则 ax1 C已知 a1，若 x0，则 ax1 D已知 0a2 的一个必要不充分条件是() Ax1 Cx1Dx3 答案：BC 3充要条件的易错点：否定形式下充分条件、必要条件判断错误 已知条件 p：xy2，条件 q：x，y 不都是1，则 p 是 q 的() A充分不必要条件B

16、必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案：A 核/心/素/养 逻辑推理充要条件关系中的核心素养 充要条件问题中常涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、 熟悉的问题来解决，充分体现“逻辑推理”的核心素养 2021 河北保定模拟已知条件 p： 4 x11，条件 q：x 2xa2a，且綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p，则 a 的取值范围是() A 2，1 2B 1 2，2 C1,2D 2，1 2 2，) 答案：C解析：由 4 x11，即 4 x110， 化简，得x3 x10，解得3x1； 由 x2xa2a，得 x2xa2a0， f1a2a2

17、0， 所以 2a0 对xR 恒成立”的一个必要不充分条件 是() A0a1B0a1 C0a0 对xR 恒成立，则4a24a0，解得 0a1. A 选项，“0a0 对xR 恒成立”的充要条件； B 选项，“0a1”是“关于 x 的不等式 x22axa0 对xR 恒成立”的必要不充分条件； C 选项，“0a0 对xR 恒成立”的充分不必要条件； D 选项，“a0”是“关于 x 的不等式 x22axa0 对 xR 恒成立”的必要不充分条件故选 BD. 32019 北京卷设点 A，B，C 不共线，则“AB 与AC的夹角为锐角”是“|ABAC|BC|”的( ) A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充

18、分必要条件D既不充分也不必要条件 答案C解析因为点 A， B， C 不共线， 由向量加法的三角形法则， 可知BC ACAB， 所以|ABAC|BC| 等价于|AB AC|ACAB|， 因为模为正， 故不等号两边平方得 AB2AC22|AB|AC|cos AC2AB22|AC|AB|cos (为AB 与AC的夹角)，整理得 4|AB|AC|cos 0，故 cos 0，即为锐角因为以上推理过程可逆，所以“AB与AC 的夹角为锐角”是“|AB AC|BC|”的充分必要条件故选 C. 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 充分条件与必要条件的判定方法 1定义法 若 pq 且 qp，则 p 是 q

19、的充分不必要条件； 若 qp 且 pq，则 p 是 q 的必要不充分条件； 若 pq 且 qp，则 p 是 q 的充要条件； 若 pq 且 qp，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件 2等价转化法 条件和结论带有否定性词语的命题常转化为其逆否命题来判断如 命题“綈 q綈 p”转化为命题“pq”； 命题“綈 p綈 q”转化为命题“qp”； 命题“綈 p綈 q”转化为命题“qp” 3集合法 设满足条件 p 的元素构成集合 A，满足条件 q 的元素构成集合 B，则 若 AB，则 p 是 q 的充分条件； 若 AB，则 p 是 q 的必要条件； 若 AB，则 p 是 q 的充要条件； 若 AB，则

20、p 是 q 的充分不必要条件； 若 AB，则 p 是 q 的必要不充分条件； 若 AB，且 AB，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件 角度.探究充分条件、必要条件及充要条件 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 4多选“函数 f(x)x22mx 在区间1,3上不单调”的一个必要不充分条件是() A2m3B1 2m3 C1m3D2m5 2 答案BC解析本题考查必要不充分条件的探求函数 f(x)图象的对称轴是直线 xm，由已知可得充要 条件是 1m3，由选项判断，命题成立的必要不充分条件可以是1 2m3 或 1m0)，且綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围 为_

21、 答案8，)解析由 q：x22x1m20，解得 1mx1m， 所以綈 q：Ax|x1m 或 x0， 由 p： 1x 3 24，解得3x9， 所以綈 p：Bx|x9 或 x0， 1m0， 1m3， 1m9， 即 m8 或 m8，所以 m8. 72021 湖南浏阳三校联考设 p：实数 x 满足 x24ax3a20.若 a0 且綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围 解由 p 得(x3a)(xa)0， 当 a0 时，3ax0， 则2x3 或 x2， 则 x4 或 x2. 綈 p 是綈 q 的必要不充分条件， p 是 q 的充分不必要条件 设 A(3a，a)， B(，4)2，)，

22、可知 AB，a4 或 3a2， 即 a4 或 a2 3. 又a0，a4 或2 3a0， 即实数 a 的取值范围为(，4 2 3，0. 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 1根据充分、必要条件求解参数范围的方法 解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出 关于参数的不等式(组)求解 2利用充要条件求参数的关注点 (1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列 出关于参数的不等式(或不等式组)求解 (2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍 提醒含有

23、参数的问题，要注意分类讨论 题型全称量词与存在量词 角度.全(特)称命题的否定 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 12021 湖南怀化模拟命题“xN*，x2N*且 x2x”的否定形式是() AxN*，x2N*且 x2x BxN*，x2N*或 x2x Cx0N*，x20N*且 x20 x0 Dx0N*，x20N*或 x20 x0 答案D解析本题考查存在量词命题的否定由题意可得命题“xN*，x2N*且 x2x”的否定为 “x0N*，x20N*或 x20 x0”，故选 D. 2命题“xR，nN*，使得 nx2”的否定形式是() AxR，nN*，使得 nx2 BxR，nN*，使得 nx2

24、 CxR，nN*，使得 nx2 DxR，nN*，使得 nx2 答案D解析根据含有量词的命题的否定的概念可知选 D. 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 全称命题与特称命题的否定 1改写量词 确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写 2否定结论 对原命题的结论进行否定 3“双量词”命题的否定叙述 “对于tD1，x0D2，满足条件 p(t，x0)”其否定叙述为“t0D1，对于xD2，满足条件綈 p(t0，x)”， 如本例 2 中出现的形式 角度.全(特)称命题的真假判断 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 3下列四个命题： p1：x0(0，)，

25、 1 2 x0log1 3x 0； p3：x(0，)， 1 2 xlog1 2x； p4：x 0，1 3 ， 1 2 x 1 3 x0成立，故 p1是假命题； 对于 p2，当 x01 2时，有 1log 1 2 1 2log 1 3 1 3log 1 3 1 2成立，即 log 1 2 1 2log 1 3 1 2，故 p 2是真命题； 对于 p3，结合指数函数 y 1 2 x与对数函数 ylog1 2x 在(0，)上的图象(如图 1)可以判断 p 3是假命题； 对于 p4，结合指数函数 y 1 2 x与对数函数 ylog1 3x 在 0，1 3 上的图象(如图 2)可以判断 p4是真命题 综

26、上可知，真命题为 p2，p4，故选 D. 4下列各命题中，真命题是() AxR,1x20BxN，x21 Cx0Z，x301Dx0Q，x202 答案C解析分别对选项中的不等式求解，依次判断是否正确即可对于选项 A,1x21 或 x 1，故 A 不正确；对于选项 B，当 x0 时，x201，故 B 不正确；对于选项 D，x 2为无理数，故 D 不正确； 对于选项 C，当 x0 时，x300)，则下列命题正确的是() AkR，l 与 C 相交BkR，l 与 C 相切 Cr0，l 与 C 相交Dr0，l 与 C 相切 答案AC解析直线 l：yk(x1)经过定点(1,0)， 圆 C：(x1)2y2r2(

27、r0)的圆心为(1,0)，半径为 r， 直线 l 经过圆 C 的圆心， kR，l 与 C 相交，r0，l 与 C 相交 AC 正确 解/题/感/悟(小提示，大智慧) 由于全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，原命题与其否定的真假相对，因此涉及特称命 题为假命题时，常转化为全称命题为真命题后求解 全称命题为真，常转化为恒成立问题，特称命题为真，常转化为有解问题 角度.根据全(特)称命题的真假求参数 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 6若 f(x)x22x，g(x)ax2(a0)，x11,2，x01,2，使 g(x1)f(x0)，则实数 a 的取值范围是 _ 答案 0，

28、1 2解析f(x)x22x，在 x1,2内的值域为1,3，g(x)ax2(a0)在 x1,2内的值 域为a2,2a2 由条件可知：a2,2a21,3 从而： a21， 2a23， 0a1 2. 7已知 f(x)ln(x21)，g(x) 1 2 xm，若对x10,3，x21,2，使得 f(x1)g(x2)，则实数 m 的取值范 围是_ 答案 1 4，解析当 x0,3时，f(x)minf(0)0，当 x1,2时，g(x)ming(2)1 4m，由题意得 f(x)ming(x)min，得 01 4m，所以 m 1 4. 82021 河南安阳调研已知 p：x1,2，x2a0，q：x0R，使 x202a

29、x02a0.若命题“p 且 q” 是真命题，则实数 a 的取值范围是_ 答案a|a2 或 a1解析由 x2a0， 得 ax2.又 x1,2， x21,4， a1， 若命题 p 是真命题，则 a1； 要使命题 q 为真命题， 则有4a24(2a)0， 即 a2a20， 解得 a1 或 a2. 命题“p 且 q”是真命题， p，q 同时为真， a1， a1 或 a2， 解得 a2 或 a1， 即实数 a 的取值范围是a|a2 或 a1 解/题/感/悟(小提示，大智慧) 根据全(特)称命题真假求参数的取值范围时，常采用分离参数法 (1)xD， 不等式 p(a， x)0 恒成立， 分离出参数a后转化为af(x)或 af(x)恒成立， 进而转化为 af(x)max或 af(x)min (2)xD，不等式 p(a，x)0 有解，求参数，也常分离参数后，化为 af(x)或 af(x)有解问题，从而转化 为 af(x)min或 af(x)max (3)形如：“对x1A，都存在 x2B，使得 g(x2)f(x1)成立”，问题转化为两值域间的包含关系：y|yf(x) y|yg(x) (4)形如： “对x1A， 都存在 x2B， 使得 f(x1)g(x2)成立”， 问题转化为两函数最值间的关系： f(x)maxg(x)max. 提醒 完成限时跟踪检测(二)