讲与练高中数学1·②·必修第一册·BS版第一章 §1.1 1.1.1 第2课时　共线向量与共面向量.docx

1、第第 2 课时课时共线向量与共面向量共线向量与共面向量 学习目标1.理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要 条件，会证明空间三点共线、四点共面 导语 我们知道向量是有大小、有方向的量，它可以平行移动，平面内两个向量若方向相同或相反， 就说它们是共线的，那么在空间内向量共线又是怎么回事呢？今天我们就来探究一下 一、空间向量共线的充要条件 问题 1平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？ 提示对任意两个平面向量 a，b(b0)，ab 的充要条件是存在实数，使 ab，由于空间 向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量 知识梳理 1对任意两个空间向

2、量 a，b(b0)，ab 的充要条件是存在实数，使 ab. 2.如图， O 是直线 l 上一点， 在直线 l 上取非零向量 a， 则对于直线 l 上任意一点 P， 可知OP a，把与向量 a 平行的非零向量称为直线 l 的方向向量，直线 l 上任意一点都可以由直线 l 上的一点和它的方向向量表示 注意点： (1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定 (2)向量 a，b 共线时，表示向量 a，b 的两条有向线段不一定在同一条直线上 例 1如图，四边形 ABCD 和 ABEF 都是平行四边形，且不共面，M，N 分别是 AC，BF 的 中点，则CE 与MN 是否共线？ 解方法一M，N 分别是 AC，

3、BF 的中点，且四边形 ABCD 和 ABEF 都是平行四边形， MN MA AF FN 1 2CA AF1 2FB . 又MN MC CE EB BN 1 2CA CEAF1 2FB ， 得 2MN CE ， CE MN ，即CE 与MN 共线 方法二M，N 分别是 AC，BF 的中点，且四边形 ABCD 和 ABEF 都是平行四边形， MN AN AM 1 2(AB AF)1 2AC 1 2(AB AF)1 2(AB AD ) 1 2(AF AD )1 2(BE BC)1 2CE . MN CE ，即MN 与CE 共线 反思感悟向量共线的判定及应用 (1)判断或证明两向量 a， b(b0)

4、共线， 就是寻找实数， 使 ab 成立， 为此常结合题目图形， 运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达 (2)判断或证明空间中的三点(如 P，A，B)共线的方法：是否存在实数，使PA PB. 跟踪训练 1(1)已知 A，B，C 三点共线，O 为直线外空间任意一点，若OC mOA nOB ， 则 mn_. 答案1 解析由于 A，B，C 三点共线，所以存在实数，使得AC AB，即OC OA (OB OA )， 所以OC (1)OA OB ，所以 m1，n， 所以 mn1. (2)如图所示，已知四边形 ABCD 是空间四边形，E，H 分别是边 AB，AD 的中点，F，G 分别 是

5、边 CB，CD 上的点，且CF 2 3CB ，CG 2 3CD .求证：四边形 EFGH 是梯形 证明E，H 分别是 AB，AD 的中点， AE 1 2AB ，AH 1 2AD ， 则EH AH AE 1 2AD 1 2AB 1 2BD 1 2(CD CB )1 2 3 2CG 3 2CF 3 4(CG CF )3 4FG ， EH FG 且|EH |3 4|FG |FG |. 又 F 不在直线 EH 上， 四边形 EFGH 是梯形 二、空间向量共面的充要条件 问题 2空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？ 提示不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面 问题 3对两个不共线的

6、空间向量 a，b，如果 pxayb，那么向量 p 与向量 a，b 有什么位 置关系？反过来，向量 p 与向量 a，b 有什么位置关系时，pxayb? 提示向量 p 与不共线向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 pxa yb. 知识梳理 1向量与平面平行：如果表示向量 a 的有向线段OA 所在的直线 OA 平行于平面或在平面 内，那么称向量 a 平行于平面. 2共面向量 定义平行于同一个平面的向量 三个向量共面的 充要条件 向量 p 与不共线向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的 有序实数对(x，y)使 pxayb 问题 4对于不共线的三点 A，B，C 和平面 AB

7、C 外的一点 O，空间一点 P 满足关系式OP xOA yOB zOC ，则点 P 在平面 ABC 内的充要条件是什么？ 提示xyz1. 证明如下：(1)充分性 OP xOA yOB zOC 可变形为OP (1yz)OA yOB zOC ， OP OA y(OB OA )z(OC OA )， AP yABzAC， 点 P 与 A，B，C 共面 (2)必要性 点 P 在平面 ABC 内，不共线的三点 A，B，C， 存在有序实数对(m，n)使AP mABnAC， OP OA m(OB OA )n(OC OA )， OP (1mn)OA mOB nOC ， OP xOA yOB zOC ， 又点 O

8、 在平面 ABC 外， OA ， OB ，OC 不共面， x1mn，ym，zn， xyz1. 例 2(1)(多选)对空间任一点 O 和不共线的三点 A，B，C，能得到 P，A，B，C 四点共面的 是() A.OP OA OB OC B.OP 1 3OA 1 3OB 1 3OC C.OP 3 4OA 1 8OB 1 8OC D.OP 2OA OB OC 答案BC 解析方法一A 选项，OP OA OB OC ，不能转化成AP xPBy PC的形式，所以 A 不 正确； B 选项，OP 1 3OA 1 3OB 1 3OC ，3OP OA OB OC ，OP OA (OB OP )(OC OP )，A

9、P PBPC，PAPBPC，P，A，B，C 共面故 B 正确； C 选项，OP 3 4OA 1 8OB 1 8OC 3 4OA 1 8(OA AB )1 8(OA AC )OA 1 8AB 1 8AC . OP OA 1 8AB 1 8AC ， AP 1 8AB 1 8AC ， 由共面的充要条件知 P，A，B，C 四点共面，故 C 选项正确 D 选项，OP 2OA OB OC ，无法转化成AP xPBy PC的形式，所以 D 项不正确 方法二点 P 与 A，B，C 共面时，对空间任意一点 O，都有OP xOA yOB zOC ，且 xy z1，可判断出只有选项 B，C 符合要求 (2)(链接教

10、材 P5 例 1)如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，M 为 DD1的中点，NAC， 且 ANNC2，求证：A1，B，N，M 四点共面 证明设AA1 a，AB b，AD c，则A1B ba， M 为线段 DD1的中点，A1M c1 2a， 又ANNC2，AN 2 3AC 2 3(bc)， A1N ANAA 1 2 3(bc)a 2 3(ba) 2 3 c1 2a 2 3 A1B 2 3A 1M ， A1N ， A 1B ，A 1M 为共面向量 又三向量有相同的起点 A1， A1，B，N，M 四点共面 反思感悟解决向量共面的策略 (1)若已知点 P 在平面 ABC 内，则有AP xA

11、By AC或OP xOA yOB zOC (xyz1)， 然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数 (2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分 解与合成，将其中一个向量用另外两个不共线的向量来表示 跟踪训练 2已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点， 求证： (1)E，F，G，H 四点共面 (2)BD平面 EFGH. 证明如图，连接 EG，BG. (1)因为EG EB BG EB 1 2(BC BD )EB BFEH EF EH ， 由向量共面的充要条件知 向量EG ， EF ，EH 共面，

12、即 E，F，G，H 四点共面 (2)因为EH AH AE 1 2AD 1 2AB 1 2BD ， 所以 EHBD.又 EH平面 EFGH，BD平面 EFGH，所以 BD平面 EFGH. 1知识清单： (1)空间向量共线的充要条件，直线的方向向量 (2)空间向量共面的充要条件 (3)三点共线、四点共面的证明方法 2方法归纳 ：转化化归、类比 3常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线 1对于空间的任意三个向量 a，b,2ab，它们一定是() A共面向量 B共线向量 C不共面向量 D既不共线也不共面的向量 答案A 解析由向量共面定理可知，三个向量 a，b,2ab 为共面向量 2(多选)下列条件中，

13、使 M 与 A，B，C 一定共面的是() A.OM 3OA OB OC B.OM 1 5OA 1 3OB 1 2OC C.MA MB MC 0 D.OM OA OB OC 0 答案AC 解析A 选项中，3111，四点共面， C 选项中，MA MB MC ， 点 M，A，B，C 共面 3已知点 M 在平面 ABC 内，并且对空间任意一点 O，有OM xOA 1 3OB 1 3OC ，则 x 的值 为() A1B0C3D.1 3 答案D 解析OM xOA 1 3OB 1 3OC ， 且 M，A，B，C 四点共面， x1 3 1 31， x1 3，故选 D. 4设 a，b 是空间中两个不共线的向量，

14、已知AB 9amb，BC2ab，DC a2b，且 A，B，D 三点共线，则实数 m_. 答案3 解析因为BC 2ab，DC a2b. 所以BD BC CD BC DC 2ab(a2b)3ab， 因为 A，B，D 三点共线， 所以存在实数，使得AB BD ， 即 9amb(3ab) 所以 93， m， 解得 m3. 课时课时对点对点练练 1下列命题中正确的是() A若 a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 共线 B向量 a，b，c 共面，即它们所在的直线共面 C若两个非零空间向量AB 与CD 满足AB CD 0，则AB CD D若 ab，则存在唯一的实数，使 ab 答案C 解析A

15、中，若 b0，则 a 与 c 不一定共线； B 中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一 定共面； C 中，AB CD 0，AB CD ，AB 与CD 共线，故AB CD 正确； D 中，若 b0，a0，则不存在，使 ab. 2已知非零向量 a，b，且AB a2b，BC5a6b，CD 7a2b，则一定共线的三点是 () AA，B，DBA，B，C CB，C，DDA，C，D 答案A 解析BD BC CD 2a4b2AB ， A，B，D 三点共线 3若空间中任意四点 O，A，B，P 满足OP mOA nOB ，其中 mn1，则() AP直线 AB BP直线 AB

16、 C点 P 可能在直线 AB 上，也可能不在直线 AB 上 D以上都不对 答案A 解析因为 mn1， 所以 m1n， 所以OP (1n)OA nOB ， 即OP OA n(OB OA )， 即AP nAB， 所以AP 与AB共线 又AP ，AB有公共起点 A， 所以 P，A，B 三点在同一直线上，即 P直线 AB. 4对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，有如下关系：6OP OA 2OB 3OC ， 则() A四点 O，A，B，C 必共面 B四点 P，A，B，C 必共面 C四点 O，P，B，C 必共面 D五点 O，P，A，B，C 必共面 答案B 解析由 6OP OA 2OB 3OC

17、 ， 得OA OP 2(OP OB )3(OP OC )， 即PA 2BP3CP.由共面向量定理，知 P，A，B，C 四点共面 5(多选)在以下命题中，不正确的命题是() A已知 A，B，C，D 是空间任意四点，则AB BCCD DA 0 B|a|b|ab|是 a，b 共线的充要条件 C若 a 与 b 共线，则 a 与 b 所在的直线平行 D对空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，若OP xOA yOB zOC (其中 x，y，zR)， 则 P，A，B，C 四点共面 答案BCD 解析AB BCCD DA AC CD DA AD DA 0，A 正确； 若 a，b 同向共线，则|a|b|a

18、b|，故 B 不正确； 由向量平行知 C 不正确； D 中只有 xyz1 时，才有 P，A，B，C 四点共面，故 D 不正确 6已知 P 为空间中任意一点，A，B，C，D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且PA 4 3PB xPC1 6DB ，则实数 x 的值为() A.1 3 B1 3 C.1 2 D1 2 答案A 解析PA 4 3PB xPC1 6DB 4 3PB xPC1 6(PB PD )3 2PB xPC1 6PD . 又P 是空间任意一点，A，B，C，D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面， 3 2x 1 61，解得 x 1 3. 7设 e1，e2是空间两个不共线的向量，已

19、知AB 2e 1ke2，CB e 13e2，CD 2e1e2，且 A，B，D 三点共线，则 k_. 答案8 解析由已知得BD CD CB (2e 1e2)(e13e2)e14e2， A，B，D 三点共线， AB 与BD 共线，即存在R，使得AB BD . 2e1ke2(e14e2)e14e2， e1，e2不共线， 2， k4， k8. 8 在空间四边形ABCD中， E， F分别是AB， CD的中点， 则EF 和AD BC 的关系是_ (填 “平行”“相等”或“相反”) 答案平行 解析设 G 是 AC 的中点，连接 EG，FG(图略)， 则EF EG GF 1 2BC 1 2AD 1 2(AD

20、BC )， 所以 2EF AD BC ， 从而EF (AD BC ) 9已知 A，B，C 三点不共线，平面 ABC 外一点 M 满足OM 1 3OA 1 3OB 1 3OC . (1)判断MA ， MB ，MC 三个向量是否共面； (2)判断 M 是否在平面 ABC 内 解(1)OA OB OC 3OM ， OA OM (OM OB )(OM OC )， MA BM CM MB MC ， 向量MA ， MB ，MC 共面 (2)由(1)知，向量MA ， MB ，MC 共面，而它们有共同的起点 M，且 A，B，C 三点不共线，M， A，B，C 共面，即 M 在平面 ABC 内 10.如图所示，已

21、知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在的平面互相垂直，点 M，N 分别在对角线 BD，AE 上，且 BM1 3BD，AN 1 3AE.求证：向量MN ， CD ，DE 共面 证明因为 M 在 BD 上，且 BM1 3BD， 所以MB 1 3DB 1 3DA 1 3AB . 同理AN 1 3AD 1 3DE . 所以MN MB BA AN 1 3DA 1 3AB BA 1 3AD 1 3DE 2 3BA 1 3DE 2 3CD 1 3DE . 又CD 与DE 不共线，根据向量共面的充要条件可知MN ， CD ，DE 共面 11 若 P， A， B， C 为空间四点， 且有PA PBPC， 则1

22、 是 A， B， C 三点共线的( ) A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分又不必要条件 答案C 解析若1，则PA PB(PC PB )，即BABC，显然，A，B，C 三点共线；若 A， B，C 三点共线，则有AB BC ，故PB PA(PCPB)，整理得PA(1)PBPC，令 1，则1，故选 C. 12平面内有五点 A，B，C，D，E，其中无三点共线，O 为空间一点，满足OA 1 2OB xOC yOD ，OB 2xOC 1 3OD yOE ，则 x3y 等于() A.5 6 B.7 6 C.5 3 D.7 3 答案B 解析由点 A，B，C，D 共面得 xy1 2， 又由点

23、 B，C，D，E 共面得 2xy2 3， 联立，解得 x1 6，y 1 3， 所以 x3y7 6. 13已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，P，M 为空间任意两点，如果有PM PB1 7BA 6AA 1 4 A1D1 ，那么 M 必( ) A在平面 BAD1内B在平面 BA1D 内 C在平面 BA1D1内D在平面 AB1C1内 答案C 解析PM PB1 7BA 6AA 1 4 A1D1 PB1 BA 6BA 1 4 A1D1 PB1 B1A1 6BA 1 4A1D1 PA1 6(PA1 PB )4(PD 1 PA1 ) 11PA1 6PB 4PD 1 ， 于是 M，B，A1，D1四点共面

24、14有下列命题： 若AB CD ，则 A，B，C，D 四点共线； 若AB AC，则 A，B，C 三点共线； 若 e1，e2为不共线的非零向量，a4e12 5e 2，be1 1 10e 2，则 ab； 若向量 e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式 k1e1k2e2k3e30，则 k1k2k3 0. 其中是真命题的序号是_(把所有真命题的序号都填上) 答案 解析根据共线向量的定义，若AB CD ，则 ABCD 或 A，B，C，D 四点共线，故错； 因为AB AC且AB，AC有公共点 A，所以正确； 由于 a4e12 5e 24b，所以 ab.故正确；易知也正确 15已知 A，B，C 三点

25、共线，则对空间任一点 O，存在三个不同为 0 的实数，m，n，使OA mOB nOC 0，那么mn 的值为_ 答案0 解析A，B，C 三点共线， 存在实数 k，使得AB kBC， AB OB OA ，BC OC OB ， OB OA k(OC OB )， 化简整理得OA (k1)OB kOC 0， OA mOB nOC 0， 当 k1 时，比较系数得 m0 且n， mn0； 当 k1 时，可得 1 m k1 n k， 得 m(k1)，nk； 由此可得mn(k1)k0， 综上所述，mn0. 16如图所示，若 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点，点 H 为 PC 上的点，且PH HC 1

26、2， 点 G 在 AH 上，且AG AHm，若 G，B，P，D 四点共面，求 m 的值 解如图，连接 BG. 因为AB PBPA，ABDC ， 所以DC PB PA. 因为PC PD DC ， 所以PC PD PB PA PA PBPD . 因为PH HC 1 2， 所以PH 1 3PC ， 所以PH 1 3(PA PBPD ) 1 3PA 1 3PB 1 3PD . 又因为AH PH PA ， 所以AH 4 3PA 1 3PB 1 3PD . 因为AG AHm， 所以AG mAH 4m 3 PA m 3 PB m 3PD . 因为BG AB AG PA PBAG ， 所以BG 14m 3 PA m 31PB m 3PD . 又因为 G，B，P，D 四点共面， 所以 14m 3 0，m3 4，即 m 的值是 3 4.