讲与练高中数学1·②·必修第一册·BS版第三章 §3.1 3.1.2 第1课时　椭圆的简单几何性质.docx

1、3.1.2椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质 第第 1 课时课时椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质 学习目标1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中 a，b，c 的几何意义.2.会用椭圆的 几何意义解决相关问题 导语 与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆 的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等 一、椭圆的几何性质 问题 1观察椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称 性？椭圆上哪些点比较特殊？ 提示范围：axa，byb；对称性：对称轴为 x 轴，y 轴，对称中心为原点； 顶点：

2、A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b) 知识梳理 焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上 图形 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) y2 a2 x2 b21(ab0) 范围axa，bybbxb，aya 顶点 A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0， b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a)， B1(b,0)，B2(b,0) 轴长短轴长2b，长轴长2a 焦点( a2b2，0)(0， a2b2) 焦距|F1F2|2 a2b2 对称性对称轴：x 轴、y 轴对称中心：原点 注意点： (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上 (2)椭圆上到中心的距离最小的点是

3、短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端 点 (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为 ac，最小值为 a c. 问题 2观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征， 你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？这个定量对椭圆的形状有何影响？ 提示利用离心率 ec a来刻画椭圆的扁平程度 如图所示，在 RtBF2O 中，cosBF2Oc a，记 e c a，则 0eb0) 如图所示，A1FA2为等腰直角三角形，OF 为斜边 A1A2的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b， 所以 cb3， 所以 a2b2c218， 故所求椭圆的

4、标准方程为x 2 18 y2 9 1. (2)当椭圆的焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 由题意，得 a3， 因为 e 6 3 ，所以 c 6，从而 b2a2c23，所以椭圆的标准方程为x 2 9 y 2 3 1； 当椭圆的焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2 a2 x2 b21(ab0)， 由题意，得 b3， 因为 e 6 3 ， 所以 a2b2 a 6 3 ， 把 b3 代入，得 a227，所以椭圆的标准方程为y 2 27 x2 9 1. 综上可知，所求椭圆的标准方程为x 2 9 y 2 3 1 或y 2 27 x2 9 1. 反思感悟利用

5、椭圆的几何性质求标准方程的步骤 (1)确定焦点位置 (2)设出相应椭圆的标准方程 (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数 (4)写出椭圆的标准方程 跟踪训练 2(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为 18，一个焦点的坐标是 (3,0)，则椭圆的标准方程为_ 答案 x2 25 y2 161 解析由题意，得 2a2b18， c3， a2b2c2， 解得 a5， b4. 因为椭圆的焦点在 x 轴上， 所以椭圆的标准方程为x 2 25 y2 161. (2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，椭圆的长轴 长为 6，且 cosOFA

6、2 3，则椭圆的标准方程是_ 答案 x2 9 y 2 5 1 或x 2 5 y 2 9 1 解析因为椭圆的长轴长是 6，cosOFA2 3，所以点 A 不是长轴的端点(是短轴的端点) 所以|OF|c，|AF|a3， 所以c 3 2 3，所以 c2，b 232225， 所以椭圆的标准方程是x 2 9 y 2 5 1 或x 2 5 y 2 9 1. 三、求椭圆的离心率 例 3设椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F 1，F2，P 是 C 上的点，PF2F1F2， PF1F230，则 C 的离心率为_ 答案 3 3 解析方法一由题意可设|PF2|m，结合条件可知|PF1

7、|2m，|F1F2| 3m，故离心率 ec a 2c 2a |F1F2| |PF1|PF2| 3m 2mm 3 3 . 方法二由 PF2F1F2可知 P 点的横坐标为 c， 将 xc 代入椭圆方程可解得 yb 2 a ， 所以|PF2| b 2 a .又由PF1F230可得|F1F2| 3|PF2|，故 2c 3b 2 a ，变形可得 3(a2c2)2ac，等式 两边同除以 a2，得 3(1e2)2e，解得 e 3 3 或 e 3(舍去) 延伸探究 1若将本例中“PF2F1F2，PF1F230”改为“PF2F175，PF1F245”，求 C 的离心率 解在PF1F2中， PF1F245，PF2

8、F175， F1PF260， 设|PF1|m，|PF2|n，|F1F2|2c，mn2a， 则在PF1F2中，有 m sin 75 n sin 45 2c sin 60， mn sin 75sin 45 2c sin 60， ec a 2c 2a sin 60 sin 75sin 45 6 2 2 . 2若将本例中“PF2F1F2，PF1F230”改为“C 上存在点 P，使F1PF2为钝角”，求 C 的离心率的取值范围 解由题意，知 cb，c2b2. 又 b2a2c2， c2a2c2，即 2c2a2.e2c 2 a2 1 2， e 2 2 ，又 0eb0)，则由椭圆的定义，可得|MF 1|MF2

9、|NF1|NF2| 2a.由MF2N 的周长为 20，可得 4a20，即 a5.过点 F1作直线与椭圆相交，当直线垂直 于 x 轴时，弦长最短，令 xc，代入椭圆的方程，可得 yb 2 a ，即2b 2 a 18 5 ，解得 b29， 所以 c a2b24，所以椭圆的离心率为 ec a 4 5. 1知识清单： (1)椭圆的简单几何性质 (2)由椭圆的几何性质求标准方程 (3)求椭圆的离心率 2方法归纳：分类讨论、方程法(不等式法) 3常见误区：忽略椭圆离心率的范围 0e1 及长轴长与 a 的关系 1(多选)已知椭圆 C：16x24y21，则下列结论正确的是() A长轴长为1 2 B焦距为 3

10、4 C焦点坐标为 0， 3 4 D离心率为 3 2 答案CD 解析由椭圆方程 16x24y21 化为标准方程可得 x2 1 16 y 2 1 4 1， 所以 a1 2，b 1 4，c 3 4 ， 所以长轴长为 2a1，焦距为 2c 3 2 ，焦点坐标为 0， 3 4 ，离心率为 ec a 3 2 . 2已知椭圆的离心率为1 2，焦点是(3,0)和(3,0)，则该椭圆的方程为( ) A.x 2 36 y2 271 B.x 2 6 y 2 3 1 C.x 2 27 y2 361 D.x 2 9 y 2 6 1 答案A 解析由题意知 c3，c a 1 2， 则 a6，b2a2c227， 椭圆的方程为

11、x 2 36 y2 271. 3若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为() A.1 2 B. 3 2 C. 3 4 D. 6 4 答案A 解析不妨设椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，B 为椭圆的上顶点 依题意可知，BF1F2是正三角形 在 RtOBF2中，|OF2|c， |BF2|a，OF2B60， cos 60c a 1 2， 即椭圆的离心率 e1 2. 4若椭圆 C：x 2 m y2 m211 的一个焦点坐标为(0,1)，则 C 的长轴长为_ 答案2 3 解析椭圆的一个焦点坐标为(0,1)， m21m1，即 m2m20， 解得 m2 或 m1， 由于x 2

12、m y2 m211 表示的是椭圆， 则 m1，m2， 则椭圆方程为y 2 3 x 2 2 1， a 3，2a2 3. 课时课时对点对点练练 1(多选)为使椭圆x 2 2 y 2 m1 的离心率为 1 2，正数 m 的值可以是( ) A1B. 3C.8 3 D.3 2 答案CD 解析当 0m2 时，焦点在 y 轴上，此时 a2m，b22， 所以 c2a2b2m2， 所以 e2c 2 a2 m2 m 1 4， 解得 m8 3，符合题意 故正数 m 的值可以是3 2或 8 3. 2(多选)已知椭圆 C：16x225y2400，则关于椭圆 C 下列叙述正确的是() A椭圆 C 的长轴长为 10 B椭圆

13、 C 的两个焦点分别为(0，3)和(0,3) C椭圆 C 的离心率等于3 5 D若过椭圆 C 的焦点且与长轴垂直的直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q，则|PQ|32 5 答案ACD 解析由题意知椭圆标准方程为x 2 25 y2 161，则 a5，b4，c3.长轴长为 2a10，A 正 确； 两焦点为(3,0)，(3,0)，B 错误； 离心率为 ec a 3 5，C 正确； 将 x3 代入椭圆方程得 163225y2400， 解得 y16 5 ，|PQ|32 5 ，D 正确 3曲线x 2 25 y2 9 1 与 x2 9k y2 25k1(0k9)的关系是( ) A有相等的焦距，相同的焦点 B有

14、相等的焦距，不同的焦点 C有不等的焦距，不同的焦点 D以上都不对 答案B 解析曲线x 2 25 y2 9 1 的焦距为 2c8， 而曲线 x2 9k y2 25k1(0kb0)的左、右焦点，P 为直线 x 3a 2 上一点，F2PF1 是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为() A.1 2 B.2 3 C.3 4 D.4 5 答案C 解析如图，F2PF1是底角为 30的等腰三角形|PF2|F2F1|2 3 2ac2cec a 3 4. 6(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心 F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已 知它的近地点 A(离地心最近的一点)距地面 m km， 远地点

15、B(离地心最远的一点)距地面 n km， 并且 F，A，B 三点在同一直线上，地球半径约为 R km，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距 分别为 2a,2b,2c，则() AacmRBacnR C2amnDb mRnR 答案ABD 解 析 地 球 的 中 心 是 椭 圆 的 一 个 焦 点 ， 结 合 图 形 可 得 macR， nacR， acmR， acnR， (*)故 A，B 正确； 由(*)，可得 2amn2R，故 C 不正确； 由(*)，可得(mR)(nR)a2c2. a2c2b2，b2(mR)(nR)， b mRnR，故 D 正确 7已知椭圆的短半轴长为 1，离心率 0e 3 2 ，则

16、长轴长的取值范围为_ 答案(2,4 解析e1 b a 2，b1,0e 3 2 ， 1 b a 2 3 2 ， 则 1a2， 2b0)，由 e 2 2 ，知c a 2 2 ，故b 2 a2 1 2.ABF 2的周长为|AB| |BF2|AF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a16，a4，b28，椭圆 C 的方程为 x2 16 y2 8 1. 9已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点分别为 F 1(c，0)，F2(c,0)(c0)，过点 E a2 c ，0 的 直线与椭圆相交于 A，B 两点，且 F1AF2B，|F1A|2|F2B|，求椭圆的离心率 解由 F1AF2

17、B，|F1A|2|F2B|， 得|EF2| |EF1| |F2B| |F1A| 1 2， 从而 a2 c c a2 c c 1 2， 整理得 a23c2. 故离心率 ec a 3 3 . 10.如图，已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)，F 1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点， 直线 AF2交椭圆于另一点 B. (1)若F1AB90，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的焦距为 2，且AF2 2F2B ，求椭圆的标准方程 解(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形， 所以有|OA|OF2|，即 bc. 所以 a 2c，ec a 2 2 . (2)由题意知 A(0，b)

18、，F2(1,0)， 设 B(x，y)，由AF2 2F2B ， 解得 x3 2，y b 2. 代入x 2 a2 y2 b21， 得 9 4 a2 b2 4 b2 1，即 9 4a2 1 41， 解得 a23， 又 c21，所以 b22， 所以椭圆的方程为x 2 3 y 2 2 1. 11(多选)阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的 长半轴长、短半轴长三者的乘积据此得某椭圆面积为 6 2，且两焦点恰好将长轴三等分， 则此椭圆的标准方程可以为() A.x 2 8 y 2 9 1B.x 2 18 y2 161 C.x 2 12 y2 6 1D.x 2 9 y 2 8

19、1 答案AD 解析由题意可知， ab6 2， 2c1 32a， 又 a2b2c2， 解得 a3，b2 2，c1， 所以椭圆的标准方程为x 2 9 y 2 8 1 或y 2 9 x 2 8 1. 12椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点是 F 1，F2，若 P 为其上一点，且|PF1|5|PF2|，则此椭 圆离心率的取值范围是() A. 0，2 3B. 0，2 3C. 2 3，1D. 2 3，1 答案C 解析由题意可知|PF1|PF2|2a，|PF1|5|PF2|， 则|PF1|5a 3 ，|PF2|a 3， |PF1|PF2|F1F2|， 4a 3 2c，e2 3. 又 eb0)

20、的焦距为 2c，以 O 为圆心，a 为半径的圆， 过点 a2 c ，0 作圆的两切线互相垂直，则离心率 e_. 答案 2 2 解析如图，切线 PA，PB 互相垂直， 又半径 OA 垂直于 PA，所以OAP 是等腰直角三角形，a 2 c 2a.解得c a 2 2 ， 则离心率 e 2 2 . 14如图，把椭圆x 2 16 y2 9 1 的长轴 AB 八等分，过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分 于 P1，P2，P7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P1F|P2F|P3F|P7F|的值为 _ 答案28 解析设椭圆的另一个焦点为 F， 由椭圆的几何性质可知|P1F|P7F|， |P1F|P7F

21、|P7F|P7F|2a， 同理可得|P2F|P6F|P3F|P5F|2|P4F|2a，又 a4， 故|P1F|P2F|P3F|P7F|7a28. 15椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度， 水面的边界即是椭圆现有一高度为 12 厘米，底面半径为 3 厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所 盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃厚度忽略不计)，在玻璃杯倾斜的过程中(杯中的水 不能溢出)，杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是() A. 0， 5 5B. 5 5 ，1 C. 0，2 5 5D. 2 5 5 ，1 答案C 解析当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边

22、界所形成椭圆的离心率最大，此时椭圆 长轴长为 122626 5(厘米)，短轴长为 6 厘米， 椭圆离心率 e1 6 6 5 22 5 5 ， e 0，2 5 5. 16设 F1，F2分别是椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点，过点 F 1的直线交椭圆 E 于 A， B 两点，|AF1|3|F1B|. (1)若|AB|4，ABF2的周长为 16，求|AF2|； (2)若 cosAF2B3 5，求椭圆 E 的离心率 解(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4， 得|AF1|3，|F1B|1. 因为ABF2的周长为 16，所以由椭圆定义可得 4a16， |AF1|AF2|2a8，故|AF2|835. (2)设|F1B|k，则 k0 且|AF1|3k，|AB|4k. 由椭圆定义可得|AF2|2a3k，|BF2|2ak. 在ABF2中，由余弦定理可得|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B， 即(4k)2(2a3k)2(2ak)26 5(2a3k)(2ak) 化简可得(ak)(a3k)0，而 ak0，故 a3k. 于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k. 因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得 F1AF2A， 故AF1F2为等腰直角三角形 从而 c 2 2 a，所以椭圆 E 的离心率 ec a 2 2 .