讲与练高中数学1·②·必修第一册·BS版第一章 §1.3 1.3.2　空间向量运算的坐标表示.docx

1、1.3.2空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 学习目标1.掌握空间向量运算的坐标表示.2.掌握空间两点间的距离公式.3.会用向量的坐 标解决一些简单的几何问题 导语 前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐标一一对应起来那么 有了空间向量的坐标表示，类比平面向量的坐标运算，同学们是否可以探究出空间向量运算 的坐标表示并给出证明？ 一、空间向量运算的坐标表示 知识梳理 设向量 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，R，那么 向量运算向量表示坐标表示 加法ab(a1b1，a2b2，a3b3) 减法ab(a1b1，a2b2，a3b3) 数乘a(a1，a2，a3

2、) 数量积aba1b1a2b2a3b3 注意点： (1)空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致 (2)设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB (x 2x1，y2y1，z2z1)即一个空间向量的坐标 等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标 (3)运用公式可以简化运算：(ab)2a22abb2；(ab)(ab)a2b2. (4)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量 例 1(1)已知 a(1,2,1)，b(2,0,1)，则(2a3b)(ab)_. 答案4 解析易得 2a3b(4,4,5)，ab(3,2,0)， 则(2a3b)(ab)4(3

3、)42504. (2)在ABC 中，A(2，5,3)，AB (4,1,2)，BC(3，2,5) 求顶点 B，C 的坐标； 求CA BC； 若点 P 在 AC 上，且AP 1 2PC ，求点 P 的坐标 解设 B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)， 所以AB (x2，y5，z3)， BC (x 1x，y1y，z1z) 因为AB (4,1,2)， 所以 x24， y51， z32， 解得 x6， y4， z5， 所以点 B 的坐标为(6，4,5) 因为BC (3，2,5)， 所以 x163， y142， z155， 解得 x19， y16， z110， 所以点 C 的坐标为(9，6,10) 因

4、为CA (7,1，7)，BC(3，2,5)， 所以CA BC2123558. 设 P(x2，y2，z2)， 则AP (x 22，y25，z23)， PC (9x 2，6y2,10z2)， 于是有(x22，y25，z23)1 2(9x 2，6y2,10z2)， 所以 x221 29x 2， y251 26y 2， z231 210z 2， 解得 x213 3 ， y216 3 ， z216 3 ， 故点 P 的坐标为 13 3 ，16 3 ，16 3 . 反思感悟空间向量坐标运算的规律及注意点 (1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定 (2)直接计算问题：首先将空间向量

5、用坐标表示出来，然后代入公式计算 (3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标 跟踪训练 1已知 ab(2，2， 2 3)， ab(0，2， 0)， 则 a_， b_， ab _. 答案(1，2， 3)(1,0， 3)4 解析ab(2，2，2 3)，ab(0，2，0)， a(1，2， 3)，b(1,0， 3)， ab1034. 二、空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 知识梳理 设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则有 平行关系：当 b0 时，ababa1b1，a2b2，a3b3(R)； 垂直关系：abab0a1b1a2b2a3b30. 注意点

6、： (1)要证明 ab，就是证明 ab0；要证明 ab，就是证明 ab(b0) (2)a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，若 ab，则x1 x2 y1 y2 z1 z2成立的条件是 x 2y2z20. 例 2(1)已知空间三点 A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设AB a，ACb. 设向量 c 3 2，1，1，试判断 2ab 与 c 是否平行？ 若 kab 与 ka2b 互相垂直，求 k. 解因为 aAB (1,1,0)，bAC(1,0,2)， 所以 2ab(3,2，2)， 又 c 3 2，1，1， 所以 2ab2c， 所以(2ab)c. 因为 aAB (1,1

7、,0)，bAC(1,0,2)， 所以 kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4) 又因为(kab)(ka2b)， 所以(kab)(ka2b)0， 即(k1，k,2)(k2，k，4)2k2k100. 解得 k2 或5 2. (2)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E 是棱 D1D 的中点，点 P，Q 分别为线段 B1D1，BD 上 的点，且 3B1P PD1 ，若 PQAE，BD DQ ，求的值 解如图所示，以点 D 为原点，分别以DA ， DC ，DD1 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立 空间直角坐标系， 设正方体的棱长为 1， 则 A(1,0,0)， E 0，0，1

8、 2 ， B(1,1,0)， B1(1,1,1)， D1(0,0,1)， 由题意，可设点 P 的坐标为(a，a,1)， 因为 3B1P PD 1 ， 所以 3(a1，a1,0)(a，a,0)， 所以 3a3a，解得 a3 4， 所以点 P 的坐标为 3 4， 3 4，1.由题意可设点 Q 的坐标为(b，b,0)， 因为 PQAE，所以PQ AE 0， 所以 b3 4，b 3 4，1 1，0，1 2 0， 即 b3 4 1 20， 解得 b1 4， 所以点 Q 的坐标为 1 4， 1 4，0， 因为BD DQ ， 所以(1，1,0) 1 4， 1 4，0， 所以 41，故4. 延伸探究 1若本例

9、中的 PQAE 改为 B1QEQ，其他条件不变，结果如何？ 解以点 D 为原点， DA ， DC ，DD1 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标 系(图略) 设正方体棱长为 1，点 Q 的坐标为(c，c,0)， 因为 B1QEQ， 所以B1Q EQ 0， 所以(c1，c1，1) c，c，1 2 0， 即 c(c1)c(c1)1 20,4c 24c10， 解得 c1 2， 所以点 Q 的坐标为 1 2， 1 2，0， 所以点 Q 是线段 BD 的中点， 所以BD 2DQ ，故2. 2本例中若点 G 是 A1D 的中点，点 H 在平面 Dxy 上，且 GHBD1，试判断点

10、H 的位置 解以点 D 为原点， DA ， DC ，DD1 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标 系， 设正方体的棱长为 1， 因为点 G 是 A1D 的中点， 所以点 G 的坐标为 1 2，0， 1 2 ， 因为点 H 在平面 Dxy 上， 设点 H 的坐标为(m，n,0)， 因为GH m1 2，n， 1 2 ，BD1 (1，1,1)， 且 GHBD1， 所以 m1 2 1 n 1 1 2 1 ， 解得 m1，n1 2. 所以点 H 的坐标为 1，1 2，0， 所以点 H 为线段 AB 的中点 反思感悟(1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；

11、已知两向 量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方 程(组)求解 (2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的 坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明 跟踪训练 2如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，CEAC，EFAC， AB 2，CEEF1. (1)求证：AF平面 BDE； (2)求证：CF平面 BDE. 证明(1)设 AC 与 BD 交于点 G，连接 EG. 因为 EFAC，且 EF1，AG1 2AC1， 所以四边形 AGEF 为平行四边形， 所以 AFEG. 因为 EG平面 BDE

12、，AF平面 BDE， 所以 AF平面 BDE. (2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直， 且CEAC， 所以CE平面ABCD. 如图，以 C 为原点，建立空间直角坐标系 Cxyz.则 C(0,0,0)，A( 2，2，0)，B(0，2，0)，D( 2， 0,0)，E(0,0,1)，F 2 2 ， 2 2 ，1 . 所以CF 2 2 ， 2 2 ，1 ， BE (0， 2，1)，DE ( 2，0,1) 所以CF BE0110，CFDE 1010， 所以CF BE，CFDE ， 即 CFBE，CFDE. 又 BEDEE，且 BE平面 BDE，DE平面 BDE， 所以 CF平面 B

13、DE. 三、夹角和距离的计算 问题你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？ 提示如图，建立空间直角坐标系 Oxyz， 设 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，P1P2 OP 2 OP1 (x2x1，y2y1，z2 z1)， 于是|P1P2 | P1P2 P 1P2 x2x12y2y12z2z12 所以 P1P2|P1P2 | x 2x12y2y12z2z12， 因此， 空间中已知两点 A(x1， y1， z1)， B(x2， y2， z2)， 则 AB|AB | x 2x12y2y12z2z12. 知识梳理 设 P1(x1，y1，z1)，P2(

14、x2，y2，z2)，P1P2 x2x12y2y12z2z12. 注意点： (1)空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类比记忆 (2)若 O(0,0,0)，P(x，y，z)，则|OP | x2y2z2. 例 3如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱 AA12，M，N 分 别是 AA1，CB1的中点 (1)求 BM，BN 的长 (2)求BMN 的面积 解以 C 为原点，以 CA，CB，CC1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 如图 则 B(0,1,0)，M(1,0,1)， N 0，1 2，1. (1)BM (1，1,1)，

15、BN 0，1 2，1， |BM | 121212 3， |BN | 02 1 2 212 5 2 . 故 BM 的长为 3，BN 的长为 5 2 . (2)SBMN1 2BMBNsinMBN. cosMBNcosBM ， BN BM BN |BM |BN | 3 2 3 5 2 15 5 ， sinMBN1 15 5 2 10 5 ， 故 SBMN1 2 3 5 2 10 5 6 4 . 即BMN 的面积为 6 4 . 反思感悟利用空间向量的坐标运算的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系 (2)求坐标：求出相关点的坐标；写出向量的坐标 (3)论证、计算：结合公式进

16、行论证、计算 (4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题 跟踪训练 3如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为 D1D，BD 的中 点，G 在棱 CD 上，且 CG1 4CD，H 为 C 1G 的中点 (1)求证：EFB1C； (2)求 FH 的长； (3)求 EF 与 C1G 所成角的余弦值 (1)证明如图，建立空间直角坐标系 Dxyz，D 为坐标原点， 则有 E 0，0，1 2 ，F 1 2， 1 2，0，C(0,1,0)，B1(1,1,1)， EF 1 2， 1 2，0 0，0，1 2 1 2， 1 2， 1 2 ， B1C (0,1,0)(1,1,1)

17、(1,0，1) EF B 1C 1 2(1) 1 20 1 2 (1)0， EF B 1C ，即 EFB 1C. (2)解F 1 2， 1 2，0，H 0，7 8， 1 2 ， FH 1 2， 3 8， 1 2 ， |FH | 1 2 2 3 8 2 1 2 2 41 8 . FH 的长为 41 8 . (3)解C1(0,1,1)，G1 0，3 4，0， C1G 0，3 4，0(0,1,1) 0，1 4，1. |C1G |17 4 . 又EF C 1G 1 20 1 2 1 4 1 2 (1)3 8，|EF |3 2 ， |cos EF ， C 1G |EF C 1G | |EF |C1G |

18、 51 17 . 即异面直线 EF 与 C1G 所成角的余弦值为 51 17 . 1知识清单： (1)向量的坐标的运算 (2)向量的坐标表示的应用 2方法归纳：类比、转化 3常见误区： (1)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等 (2)求异面直线所成的角时易忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的情况 1已知 M(5，1,2)，A(4,2，1)，O 为坐标原点，若OM AB ，则点 B 的坐标应为( ) A(1,3，3)B(9,1,1) C(1，3,3)D(9，1，1) 答案B 解析OM AB OB OA ，OB OM OA (9,1,1) 2已知向量 a(0，1,1)，b(4,1,0)，|

19、ab| 29，且0，则等于() A5B4C3D2 答案C 解析ab(0，1,1)(4,1,0)(4,1，)，由已知得|ab| 42122 29， 且0，解得3. 3已知向量 a(1,1,0)，b(1,0,2)，且 kab 与 2ab 互相垂直，则 k 的值是() A1B.1 5 C.3 5 D.7 5 答案D 解析依题意得(kab)(2ab)0， 所以 2k|a|2kab2ab|b|20， 而|a|22，|b|25，ab1， 所以 4kk250，解得 k7 5. 4已知 A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，则向量AB 与AC的夹角为_ 答案 3 解析AB (0,3,3)，AC

20、 (1,1,0)， |AB |3 2，|AC | 2， AB AC0(1)31303， cosAB ， AC AB AC |AB |AC| 1 2， 又AB ， AC0， AB ， AC 3. 课时课时对点对点练练 1已知 a(1，2,1)，ab(1,2，1)，则 b 等于() A(2，4,2)B(2,4，2) C(2,0，2)D(2,1，3) 答案A 解析ba(1,2，1)(1，2,1)(1,2，1)(2，4,2) 2已知 A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若OC 2 5AB ，则 C 的坐标是( ) A. 6 5， 4 5， 8 5B. 6 5， 4 5， 8 5 C.

21、 6 5， 4 5， 8 5D. 6 5， 4 5， 8 5 答案A 解析设点 C 的坐标为(x，y，z)， 则OC (x，y，z)，又AB (3，2，4)，OC 2 5AB ， 所以 x6 5，y 4 5，z 8 5， 所以 C 6 5， 4 5， 8 5 . 3已知 a(1,0,1)，b(2，1,1)，c(3,1,0)，则|ab2c|等于() A3 10B2 10C. 10D5 答案A 解析ab2c(9,3,0)， |ab2c| 9232023 10. 4已知 A(1，2,11)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，则ABC 的形状是() A等腰三角形B等边三角形 C直角三角形D等腰直角三

22、角形 答案C 解析因为AB (3,4，8)，BC(2，3,1)，AC(5,1，7)， BC AC10370，BCAC， 而|BC | 14，|AC |5 3， 所以ABC 是直角三角形 5空间中点 A(3,3,1)关于平面 Oxy 的对称点 A与 B(1，1,5)的长度为() A6B2 6C4 3D2 14 答案D 解析点 A(3,3,1)关于平面 Oxy 的对称点 A的坐标为(3,3，1)， 所以 A与 B(1,1,5)的长度为 AB 3123121522 14. 6 已知向量 a(1,2,3)， b(2， 4， 6)， |c| 14， 若(ab)c7， 则 a 与 c 的夹角为() A30

23、B60C120D150 答案C 解析ab(1，2，3)a， 故(ab)cac7， 得 ac7， 而|a| 122232 14， 所以 cosa，c ac |a|c| 1 2， 所以a，c120. 7如图，将边长为 1 的正方形 AA1O1O(及其内部)绕 OO1旋转一周形成圆柱，AC 的长为2 3 ， 11 AB的长为 3，其中 B 1与 C 在平面 AA1O1O 的同侧则异面直线 B1C 与 AA1所成的角的大小 为_ 答案 4 解析以 O 为坐标原点，OA，OO1所在直线分别为 y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz， 则 A(0,1,0)，A1(0,1,1)，B1 3 2 ，1

24、 2，1，C 3 2 ，1 2，0. 所以AA1 (0,0,1)，B1C (0，1，1)，则AA 1 B1C 020(1)1(1)1， 所以 cosAA1 ， B1C AA1 B1C |AA1 |B1C | 1 1 2 2 2 . 因此，异面直线 B1C 与 AA1所成的角为 4. 8已知点 A(1,3,1)，B(1,3,4)，若AP 2PB，则点 P 的坐标是_ 答案(1,3,3) 解析设点 P(x，y，z)， 则由AP 2PB， 得(x1，y3，z1)2(1x，3y，4z)， 则 x122x， y362y， z182z， 解得 x1， y3， z3， 即 P(1,3,3) 9已知 A(x，

25、5x，2x1)，B(1，x2,2x)，求|AB |取最小值时，A，B 两点的坐标，并求 此时的|AB |. 解由空间两点间的距离公式得 |AB | 1x2x25x22x2x12 14x232x1914 x8 7 25 7， 当 x8 7时，|AB |有最小值为35 7 . 此时 A 8 7， 27 7 ，9 7 ，B 1，22 7 ，6 7 . 10如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧棱 PA底面 ABCD，AB 3， BC1，PA2，E 为 PD 的中点 (1)求 AC 与 PB 所成角的余弦值； (2)在侧面 PAB 内找一点 N，使 NE平面 PAC，求 N 点

26、的坐标 解(1)由题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(0,0,0)，B( 3，0,0)，C( 3，1,0)，D(0,1,0)，P(0,0，2)，E 0，1 2，1， 从而AC ( 3，1,0)，PB ( 3，0，2) 设 AC 与 PB 的夹角为， 则 cos |AC PB| |AC |PB| 3 2 7 3 7 14 . AC 与 PB 所成角的余弦值为3 7 14 . (2)由于 N 点在侧面 PAB 内， 故可设 N 点坐标为(x,0，z)， 则NE x，1 2，1z， 由 NE平面 PAC 可得， NE AP0， NE AC0， 即 x，1 2，1z0，0，20， x，1 2

27、，1z 3，1，00， 化简得 z10， 3x1 20， x 3 6 ， z1， 即 N 点的坐标为 3 6 ，0，1 时，NE平面 PAC. 11已知点 A(1t,1t，t)，B(2，t，t)，则 A，B 两点的距离的最小值为() A.3 10 10 B. 5 5 C.3 5 5 D.3 5 答案C 解析因为点 A(1t,1t，t)，B(2，t，t)， 所以|AB|2(1t)2(2t1)2(tt)25t22t2， 由二次函数易知，当 t1 5时，取得最小值为 9 5 ， 所以|AB|的最小值为3 5 5 . 12(多选)从点 P(1,2,3)出发，沿着向量 v(4，1,8)方向取点 Q，使|

28、PQ|18，则 Q 点的 坐标为() A(1，2,3)B(9,4，13) C(7,0,19)D(1，2，3) 答案BC 解析设 Q(x0，y0，z0)，则PQ v， 即(x01，y02，z03)(4，1,8) 由|PQ|18，得 4228218， 所以2， 所以(x01，y02，z03)2(4，1,8)， 所以 x07， y00， z019， 或 x09， y04， z013. 13已知向量 a(5,3,1)，b 2，t，2 5 ，若 a 与 b 的夹角为钝角，则实数 t 的取值范围 为_ 答案 ，6 5 6 5， 52 15 解析由已知得 ab5(2)3t1 2 5 3t52 5 ， 因为

29、a 与 b 的夹角为钝角， 所以 ab0， 即 3t52 5 0， 所以 t52 15. 若 a 与 b 的夹角为 180， 则存在0，使 ab(0)， 即(5,3,1) 2，t，2 5 ， 所以 52， 3t， 12 5， 所以 t6 5， 故 t 的取值范围是 ，6 5 6 5， 52 15 . 14已知棱长为 a 的正四面体 ABCD，如图，建立空间直角坐标系，O 为 A 在底面上的射影， M，N 分别为线段 AB，AD 的中点，则 M 的坐标是_，CN 与 DM 所成角的余弦值为 _ 答案 1 4a， 3 12a， 6 6 a 1 6 解析由正四面体的棱长为 a，知BCD 的外接圆半径

30、为 3 3 a. B 1 2a， 3 6 a，0 ， 又正四面体的高为a2 3 3 a 2 6 3 a， A 0，0， 6 3 a ，D 0， 3 3 a，0 ， AD 的中点 N 的坐标为 0， 3 6 a， 6 6 a ， AB 的中点 M 的坐标为 1 4a， 3 12a， 6 6 a . DM 1 4a， 5 3 12 a， 6 6 a ， 又 C a 2， 3 6 a，0 ， CN 1 2a， 3 3 a， 6 6 a . |cosDM ， CN | |DM CN | |DM |CN | 1 6， 异面直线 CN 与 DM 所成角的余弦值为1 6. 15.如图，在长方体 ABCDA1

31、B1C1D1中，ADAA11，AB2，点 E 在棱 AB 上移动，则直 线 D1E 与 A1D 所成角的大小是_，若 D1EEC，则 AE_. 答案901 解析在长方体 ABCDA1B1C1D1中，以 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系又 ADAA11，AB2，点 E 在棱 AB 上移动. 则 D(0,0,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，C(0,2,0)， 设 E(1，m,0)，0m2， 则D1E (1，m，1)，A 1D (1,0，1)， D1E A 1D 1010， 直线 D1E 与 A1D 所成角的大小是 90. D1E (1，m，1)，EC(1,2

32、m,0)，D 1EEC， D1E EC1m(2m)00， 解得 m1，AE1. 16在正三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC 和A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是 2，M 是 BC 边的中点，则在棱 CC1上是否存在点 N，使得异面直线 AB1和 MN 所成的角等于 45？ 解以 A 点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz. 由题意知 A(0,0,0)，B1( 3，1,2)，C(0,2,0)，B( 3，1,0)，M 3 2 ，3 2，0. 又点 N 在棱 CC1上，可设 N(0,2，m)(0m2)， 则AB1 ( 3，1,2)，MN 3 2 ，1 2，m， 所以|AB1 |2 2，|MN | m21， AB1 MN 2m1. 若异面直线 AB1和 MN 所成的角等于 45， 则 cos 45|cos AB1 ， MN | |AB1 MN | |AB1 |MN | |2m1| 2 2 m21. 即 |2m1| 2 2 m21 2 2 ， 解得 m3 4，这与 0m2 矛盾 所以在棱 CC1上不存在点 N，使得异面直线 AB1和 MN 所成的角等于 45.