讲与练高中数学1·②·必修第一册·BS版第三章 §3.3 3.3.2 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用.docx

1、第第 2 课时课时抛物线的标准方程及性质的应用抛物线的标准方程及性质的应用 学习目标1.了解抛物线的简单应用.2.掌握直线与抛物线的位置关系及相关问题 导语 一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在手电筒里，经过适当调节，就能 射出一束较强的平行光，这是什么原因呢？ 一、直线与抛物线的位置关系 问题 1类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系 提示如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：没有交点、一个交点、两个交点 知识梳理 设直线 l：ykxm，抛物线：y22px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于 x 的 方程 k2x22(kmp)xm20. (1)

2、若 k0，当0 时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当0 时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当0，即 k1，且 k0 时， l 与 C 有两个公共点，此时直线 l 与 C 相交； 当0，即 k1 时，l 与 C 有一个公共点，此时直线 l 与 C 相切； 当1 时，l 与 C 没有公共点，此时直线 l 与 C 相离 综上所述，当 k1 或 0 时，l 与 C 有一个公共点； 当 k1 时，l 与 C 没有公共点 反思感悟判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零 时，用判别式来判定；当二次项系数等于 0 时，直线与抛物线相交于一点 跟踪训练 1已知抛物线方程为 y

3、28x，若过点 Q(2,0)的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是_ 答案1,1 解析由题意知，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 yk(x2)，代入抛物线方程，消去 y 并整理，得 k2x2(4k28)x4k20，当 k0 时，显然满足题意； 当 k0 时，(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k0 或 00)的焦点的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段 AB 叫做焦点弦，如图如何求弦 AB 的长度？ 提示1.利用弦长公式 2根据抛物线的定义|AB|x1x2p. 知识梳理 设 AB 是过抛物线 y22px(p0)焦点 F

4、的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p. 注意点： (1)x1x2p 2 4 . (2)y1y2p2. (3)|AB|x1x2p 2p sin2 (是直线 AB 的倾斜角) (4) 1 |AF| 1 |BF| 2 p为定值(F 是抛物线的焦点) 例 2已知抛物线方程为 y22px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于 A，B 两点， 且|AB|5 2p，求 AB 所在的直线方程 解由题意知焦点 F p 2，0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 若 ABx 轴，则|AB|2p5 2p，不满足题意 所以直线 AB 的斜率存在，设为 k， 则直线 AB 的方

5、程为 yk xp 2 ，k0. 由 yk xp 2 ， y22px， 消去 x，整理得 ky22pykp20. 由根与系数的关系得 y1y22p k ，y1y2p2. 所以|AB| 11 k2y1y22 11 k2 y 1y224y1y22p 11 k25 2p， 解得 k2. 所以 AB 所在的直线方程为 2xyp0 或 2xyp0. 延伸探究 若本例条件不变，求弦 AB 的中点 M 到 y 轴的距离 解如图，过 A，B，M 分别作准线 xp 2的垂线交准线于点 C，D，E. 由定义知|AC|BD|5 2p， 则梯形 ABDC 的中位线|ME|5 4p， 点 M 到 y 轴的距离为 5 4p

6、 p 2 3 4p. 反思感悟求弦长问题的方法 (1)一般弦长：|AB| 1k2|x1x2|，或|AB|11 k2|y 1y2|. (2)焦点弦长：设过焦点的弦的端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p. 跟踪训练 2已知 yxm 与抛物线 y28x 交于 A，B 两点 (1)若|AB|10，求实数 m 的值； (2)若 OAOB，求实数 m 的值 解由 yxm， y28x， 得 x2(2m8)xm20. 由(2m8)24m26432m0，得 m0)只有一个交点，则直线 l 与抛物线的位置关系是() A相交B相切 C相离D相交或相切 答案D 解析当直线 l 与 y 轴平

7、行或重合时，直线 l 与抛物线 x22py(p0)有一个交点，此时直线 l 与抛物线是相交的当直线 l 的斜率存在，直线 l 与抛物线 x22py(p0)只有一个交点时，直 线 l 与抛物线相切 3若直线 xy2 与抛物线 y24x 交于 A，B 两点，则线段 AB 的中点坐标是_. 答案(4,2) 解析由 xy2， y24x， 得 x28x40，0， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x28，y1y2x1x244， 故线段 AB 的中点坐标为(4,2) 4直线 ykx2 与抛物线 y28x 有且只有一个公共点，则 k_. 答案0 或 1 解析当 k0 时，直线与抛物线有唯一交

8、点， 当 k0 时，联立方程消去 y，得 k2x24(k2)x40， 由题意16(k2)216k20， k1. 综上，k0 或 1. 课时课时对点对点练练 1过抛物线 C：y212x 的焦点作直线 l 交 C 于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若 x1x26，则 |AB|等于() A16B12C10D8 答案B 解析由题意得 p6， |AB|x1x2p6612. 2设圆 C 与圆 x2(y3)21 外切，与直线 y0 相切，则圆心 C 的轨迹为() A抛物线B双曲线 C椭圆D圆 答案A 解析设圆 C 的半径为 r，则圆心 C 到直线 y0 的距离为 r，由两圆外切可得，圆心 C 到点

9、 (0,3)的距离为 r1，所以圆心 C 到点(0,3)的距离和它到直线 y1 的距离相等，符合抛物 线的特征，故圆心 C 的轨迹是抛物线 3直线 2xy40 与抛物线 y26x 交于 A，B 两点，则线段 AB 的长度为() A8B. 285 2 C. 305 2 D. 335 2 答案B 解析联立 y26x， 2xy40， 消去 y 并整理得 2x211x80，0， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x211 2 ，x1x24， |AB| 1k2 x1x224x1x2 14 121 4 44 285 2 . 4抛物线 yx2上的点到直线 4x3y80 的距离的最小值是()

10、A.4 3 B.7 5 C.8 5 D3 答案A 解析方法一设与抛物线相切的直线， 且与直线 4x3y80 平行的直线方程为 4x3ym0. 与抛物线 yx2联立，消去 y 可得 3x24xm0， 由题意知，1612m0， m4 3. 最小值为两平行线之间的距离 d| 4 38| 5 4 3. 方法二设抛物线 yx2上一点为(m，m2)， 该点到直线 4x3y80 的距离为|4m3m 28| 5 ， 当 m2 3时，取得最小值 4 3. 5设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，过 F 且斜率为 1 的直线与抛物线相交于 A，B 两点， 若线段 AB 的中点为 E，O 为坐标原点，且|OE|

11、 13，则 p 等于() A2B3C6D12 答案A 解析由题意可知 F p 2，0，则直线 AB 为 yxp 2， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得 y212px1， y222px2， 相减得， y21y222p(x1x2)y1y22p， 因为 E 为线段 AB 的中点，所以 E x1x2 2 ，y1y2 2，即 E x1x2 2 ，p ， 因为 E 在直线 AB：yxp 2上，所以 E 3p 2 ，p ， 又因为|OE| 13，所以 p2. 6已知过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于 A，B 两点，|AF|BF| 16，则 p 的值为()

12、A2B4C2 2D8 答案C 解析抛物线 y22px(p0)的焦点为 F p 2，0， 准线方程为 xp 2，设 A(x 1，y1)，B(x2，y2)， 直线 AB 的方程为 yxp 2， 代入 y22px 可得 x23pxp 2 4 0， x1x23p，x1x2p 2 4 ， 由抛物线的定义可知，|AF|x1p 2，|BF|x 2p 2， |AF|BF| x1p 2 x2p 2 x1x2p 2(x 1x2)p 2 4 p 2 4 3 2p 2p2 4 2p216， 解得 p2 2. 7过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若|AB|7，则 AB

13、的 中点 M 到抛物线准线的距离为_ 答案 7 2 解析抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为 x1，p2.由抛物线的定义，知|AB|AF|BF| x1p 2x 2p 2x 1x2p， 即 x1x2p7， 故 x1x25.于是弦 AB 的中点 M 的横坐标为5 2， 因此点 M 到抛物线准线的距离为5 21 7 2. 8已知抛物线 C：y22x，斜率为 k 的直线 l 过定点 M(x0，0)，直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，且 A，B 位于 x 轴两侧，OA OB 3(O 为坐标原点)，则 x0_. 答案3 解析设直线 l 的方程为 yk(xx0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

14、 与抛物线方程联立可得 y22x， ykxx0， 消去 y 并整理可得，k2x2(2k2x02)xk2x200， 由根与系数的关系可得，x1x2x20， 则 y1y2 4x1x22x0， OA OB 3， x1x2y1y23，即 x202x03， 解得 x03(负值舍去) 9过抛物线 y22px(p0)的顶点 O 作两条互相垂直的弦交抛物线于 A，B 两点求证： (1)A，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值； (2)直线 AB 过定点 证明设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点 P(x0，y0)， (1)kOAy1 x1，k OBy2 x2， OAOB， kOAkOB1， x1x

15、2y1y20， y212px1，y222px2， y 2 1 2p y22 2py 1y20， y10，y20， y1y24p2，x1x24p2. (2)当直线 AB 的斜率存在时，y212px1，y222px2， (y1y2)(y1y2)2p(x1x2)， y1y2 x1x2 2p y1y2， kAB 2p y1y2， 直线 AB：yy1 2p y1y2(xx 1)， y 2px y1y2y 1 2px1 y1y2， y 2px y1y2 y212px1y1y2 y1y2 ， y212px1，y1y24p2， y 2px y1y2 4p2 y1y2， y 2p y1y2(x2p)， AB 过

16、定点(2p,0) 当直线 AB 的斜率不存在时，则 kOA1， 直线 OA：yx，与抛物线方程联立，得 x22px， A(2p,2p)，故直线 AB 过定点(2p,0)， 综上，AB 过定点(2p,0) 10.如图，已知抛物线 y24x，其焦点为 F. (1)求以 M(1,1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程； (2)若互相垂直的直线 m， n 都经过抛物线 y24x 的焦点 F， 且与抛物线相交于 A， B 两点和 C， D 两点，求四边形 ACBD 面积的最小值 解(1)由题意知，中点弦所在的直线斜率存在 设所求直线交抛物线于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则 y214x1，y22

17、4x2，kPQy1y2 x1x2 4 y1y22， 所求直线方程为 2xy10. (2)依题意知，直线 m，n 的斜率存在，设直线 m 的方程为 yk(x1)，与抛物线方程联立，得 ykx1， y24x， 消去 y，整理得 k2x2(2k24)xk20，其两根为 x3，x4，且 x3x44 k22. 由抛物线的定义可知，|AB|2x3x44 k24， 同理，|CD|4k24， 四边形 ACBD 的面积 S1 2(4k 24) 4 k248 2k21 k232.当且仅当 k1 时取得最小 值 11设抛物线 y24x 上一点 P 到 y 轴的距离为 d1，到直线 l：3x4y120 的距离为 d2

18、， 则 d1d2的最小值为() A2B.15 3 C.16 3 D3 答案A 解析由 y24x， 3x4y120， 得 3y216y480，25612480， 则 y1y24m，y1y216， 所以 y21y22(y1y2)22y1y216m232， 当 m0 时，y21y 2 2的最小值为 32. 14已知点 M(1,1)和抛物线 C：y24x，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两 点若AMB90，则 k_. 答案2 解析由抛物线的方程 y24x 可知其焦点 F 的坐标为(1,0)， 所以直线 AB 的方程为 yk(x1)， 由 ykx1， y24x， 得 k2x22(

19、k22)xk20， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以 x1x22k 22 k2 ，x1x21， 因为AMB90， 所以MA MB (x11，y11)(x21，y21)(x11)(x21)(y11)(y21)(x11)(x21) k(x11)1k(x21)1 (1kk2)(x1x2)(1k2)x1x2k22k2 (1kk2)2k 22 k2 (1k2)k22k20， 解得 k2. 经检验，k2 符合题意 15.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的 方向射出今有抛物线 y22px(p0)，如图，一平行于 x 轴的光线射向抛物线上的点 P，反射

20、 后又射向抛物线上的点 Q，再反射后又沿平行于 x 轴的方向射出，且两平行光线间的最小距 离为 3，则抛物线的方程为_ 答案y23x 解析由抛物线的光学性质可得，PQ 必过抛物线的焦点 F p 2，0. 当直线 PQ 的斜率不存在时，易得|PQ|2p； 当直线 PQ 的斜率存在时， 设 PQ 的方程为 yk xp 2 ，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立 yk xp 2 ， y22px， 得 k2 x2pxp 2 4 2px， 整理得 4k2x2(4k2p8p)xk2p20， 所以 x1x2p2p k2 ，x1x2p 2 4 . 所以|PQ|x1x2p2p 11 k22p. 综上，当直

21、线 PQ 与 x 轴垂直时，弦长最短， 又因为两平行光线间的最小距离为 3，故 2p3， 所以抛物线的方程为 y23x. 16.如图，已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，若过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线相 交于 M，N 两点，且|MN|8. (1)求抛物线 C 的方程； (2)设直线 l 为抛物线 C 的切线，且 lMN，P 为 l 上一点，求PM PN 的最小值 解(1)由题意可知 F p 2，0， 则该直线方程为 yxp 2， 代入 y22px(p0)， 得 x23pxp 2 4 0. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则有 x1x23p. |MN|8， x1x

22、2p8， 即 3pp8，解得 p2， 抛物线 C 的方程为 y24x. (2)设直线 l 的方程为 yxb，代入 y24x， 得 x2(2b4)xb20. 直线 l 为抛物线 C 的切线， 0，解得 b1. 直线 l 的方程为 yx1. 由(1)可知 x1x26，x1x21. 设 P(m，m1)， 则PM (x1m，y1(m1)，PN (x 2m，y2(m1)， PM PN (x1m)(x2m)y1(m1)y2(m1)x1x2m(x1x2)m2y1y2(m 1)(y1y2)(m1)2. x1x26，x1x21， (y1y2)216x1x216，y1y24. y21y224(x1x2)， y1y24x1x2 y1y24， PM PN 16mm244(m1)(m1)22(m24m3)2(m2)2714，当且 仅当 m2，即点 P 的坐标为(2,3)时，PM PN 取得最小值，最小值为14.