讲与练高中数学1·②·必修第一册·BS版第三章 §3.2 3.2.2 第1课时　双曲线的简单几何性质.docx

1、3.2.2双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 第第 1 课时课时双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 学习目标1.掌握双曲线的简单几何性质.2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方 程. 导语 在研究椭圆的几何性质时，我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率 等多方面进行了研究，下面我们类比研究椭圆性质的方法研究双曲线的性质 一、双曲线的几何性质 问题 1类比对椭圆几何性质的研究，探究双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的几何性质 提示1.范围 利用双曲线的方程求出它的范围，由方程x 2 a2 y2 b21 可得 x2 a21 y2 b21， 于是，双

2、曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式x 2 a21，yR， 所以 xa 或 xa; yR. 2对称性 x2 a2 y2 b21(a0，b0)关于 x 轴、y 轴和原点都对称 x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心 3顶点 (1)双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点 . 顶点是 A1(a,0)，A2(a,0)，只有两个 (2)如图，线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为 2a，a 叫做实半轴长；线段 B1B2叫做双曲 线的虚轴，它的长为 2b，b 叫做双曲线的虚半轴长 (3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线 方程为 x2y2m(m0) 4渐近线 双曲线在第一象限

3、内部分的方程为 yb a x2a2， 它与 yb ax 的位置关系：在 y b ax 的下方 它与 yb ax 的位置的变化趋势：慢慢靠近 (1)双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的渐近线方程为 y b ax. (2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图 5离心率 (1)定义：ec a. (2)e 的范围：e1. (3)e 的含义：因为 ca0，所以可以看出 e1，另外，注意到b a c2a2 a c2a2 a2 e21， 说明越趋近于 1，则b a的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄 知识梳理 焦点位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上 标准方程 x2 a2 y2

4、b21(a0，b0) y2 a2 x2 b21(a0，b0) 图形 性 质 范围xa 或 xaya 或 ya 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a) 渐近线yb ax ya bx 离心率ec a，e(1，)，其中 c a 2b2 a，b，c 间的关系c2a2b2(ca0，cb0) 注意点： (1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e 越大，开口越大 (2)等轴双曲线的离心率为 2，渐近线方程为 yx. (3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置 (4)焦点到渐近线的距离为 b. 例 1(教材 P124 例 3 改编

5、)求双曲线 9y24x236 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴 长、离心率、渐近线方程 解将 9y24x236 化为标准方程为x 2 9 y 2 4 1， 即x 2 32 y2 221， 所以 a3，b2，c 13. 因此顶点坐标为 A1(3,0)，A2(3,0)， 焦点坐标为 F1( 13，0)，F2( 13，0)， 实轴长 2a6，虚轴长 2b4， 离心率 ec a 13 3 ， 渐近线方程为 yb ax 2 3x. 延伸探究若将双曲线的方程变为 nx2my2mn(m0，n0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴 长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程 解把方程 nx2my2mn(m0，n0

6、)化为标准方程为x 2 m y2 n 1(m0，n0)， 由此可知，实半轴长 a m， 虚半轴长 b n，c mn， 焦点坐标为( mn，0)，( mn，0)， 离心率 ec a mn m 1n m， 顶点坐标为( m，0)，( m，0)， 所以渐近线方程为 y n m x，即 y mn m x. 反思感悟由双曲线的方程研究几何性质 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键 (2)由标准方程确定焦点位置，确定 a，b 的值 (3)由 c2a2b2求出 c 的值，从而写出双曲线的几何性质 跟踪训练 1求双曲线 25y216x2400 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线 方程

7、解把方程 25y216x2400 化为标准方程为 y2 42 x2 521. 由此可知，实半轴长 a4，虚半轴长 b5； c a2b2 4252 41， 焦点坐标是(0， 41)，(0， 41)； 离心率 ec a 41 4 ；渐近线方程为 y4 5x. 二、由双曲线的几何性质求标准方程 例 2求满足下列条件的双曲线的方程： (1)已知双曲线的焦点在 x 轴上，离心率为5 3，且经过点 M(3,2 3)； (2)渐近线方程为 y1 2x，且经过点 A(2，3) 解(1)设所求双曲线方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0) e5 3， e2c 2 a2 a2b2 a2 1b 2 a2 25

8、 9 ， b a 4 3. 由题意得 b a 4 3， 9 a2 12 b21， 解得 a29 4， b24. 所求的双曲线方程为4x 2 9 y 2 4 1. (2)方法一双曲线的渐近线方程为 y1 2x. 当焦点在 x 轴上时，设所求双曲线的标准方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)， 则b a 1 2. 点 A(2，3)在双曲线上， 4 a2 9 b21. 联立，无解 当焦点在 y 轴上时，设所求方程为y 2 a2 x2 b21(a0，b0)， 则a b 1 2. 点 A(2，3)在双曲线上， 9 a2 4 b21. 联立，解得 a28，b232. 所求双曲线的标准方程为y 2

9、8 x 2 321. 方法二由双曲线的渐近线方程为 y1 2x，可设双曲线方程为 x2 22y 2(0)， A(2，3)在双曲线上，2 2 22(3) 2，即8. 所求双曲线的标准方程为y 2 8 x 2 321. 反思感悟由双曲线的性质求双曲线的标准方程 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注 意焦点的位置，从而正确选择方程的形式 (2)巧设双曲线方程的技巧 与双曲线x 2 a2 y2 b21 共焦点的双曲线方程可设为 x2 a2 y2 b21(0，b 20，b0)， 由题意知 2b8，ec a 5 3， 从而 b4，c5 3a， 代入 c2a

10、2b2，得 a29， 故双曲线的标准方程为x 2 9 y 2 161. (2)当所求双曲线的焦点在 x 轴上时， 可设其方程为x 2 64 y2 16(0)， 将点(2,0)的坐标代入方程得 1 16， 故所求双曲线的标准方程为x 2 4 y21； 当所求双曲线的焦点在 y 轴上时， 可设其方程为y 2 64 x2 16(0)， 将点(2,0)的坐标代入方程得1 40，b0)的渐近线相切，则该双 曲线的离心率是() A. 2B.5 3 C.5 2 D. 5 答案C 解析由双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，可得其一条渐近线的方程为 y b ax，即 bxay0， 又由圆 C：x2y

11、210y210，可得圆心为 C(0,5)，半径 r2， 则圆心到直线的距离为 d |5a| b2a2 5a c ，则5a c 2，可得 ec a 5 2. 反思感悟求双曲线离心率的方法 (1)直接法：若可求得 a，c，则直接利用 ec a得解 (2)解方程法：若得到的是关于 a，c 的齐次方程 pc2qacra20(p，q，r 为常数，且 p0)， 则转化为关于 e 的方程 pe2qer0 求解 跟踪训练 3已知 F1，F2是双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的两个焦点，PQ 是经过 F 1且垂直于 x 轴的双曲线的弦，如果PF2Q90，求双曲线的离心率 解设 F1(c,0)，将

12、xc 代入双曲线的方程得c 2 a2 y2 b21，那么 y b2 a . 由|PF2|QF2|，PF2Q90， 知|PF1|F1F2|， 所以b 2 a 2c，所以 b22ac， 所以 c22aca20， 所以 c a 22c a10， 即 e22e10， 所以 e1 2或 e1 2(舍去)， 所以双曲线的离心率为 1 2. 1知识清单： (1)双曲线的几何性质 (2)等轴双曲线 (3)双曲线的离心率 2方法归纳：待定系数法、直接法、解方程法 3常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错 1. (多选)已知双曲线方程为 x28y232，则() A实轴长为 8 2 B虚轴长为 4 C焦距为

13、 6 D离心率为3 2 4 答案ABD 解析双曲线方程 x28y232 化为标准方程为x 2 32 y2 4 1，可得 a4 2，b2，c6， 所以双曲线的实轴长为 8 2，虚轴长为 4，焦距为 12，离心率为3 2 4 . 2双曲线x 2 9 y 2 161 的左焦点与右顶点之间的距离等于( ) A6B8C9D10 答案B 解析由已知得左焦点的坐标为(5,0)，右顶点的坐标为(3,0)，所以左焦点与右顶点之间的 距离等于 8. 3中心在原点，焦点在 x 轴上，且一个焦点在直线 3x4y120 上的等轴双曲线的方程是 () Ax2y28Bx2y24 Cy2x28Dy2x24 答案A 解析令 y

14、0，得 x4， 等轴双曲线的一个焦点为(4,0)， c4，a2b21 2c 21 2168，故选 A. 4中心在坐标原点，离心率为5 3的双曲线的焦点在 y 轴上，则它的渐近线方程为_ 答案y3 4x 解析c a 5 3， c 2 a2 a2b2 a2 25 9 ， b 2 a2 16 9 ，b a 4 3， a b 3 4. 又双曲线的焦点在 y 轴上，设双曲线方程y 2 a2 x2 b21(a0，b0)， 双曲线的渐近线方程为 ya bx， 所求双曲线的渐近线方程为 y3 4x. 课时课时对点对点练练 1已知双曲线x 2 a2 y2 5 1(a0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于

15、() A.3 14 14 B.3 2 4 C.3 2 D.4 3 答案C 解析由题意知 a259，解得 a2，ec a 3 2. 2已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为() A.x 2 25 y2 251 B.x 2 9 y 2 9 1 C.y 2 16 x2 161 D.x 2 16 y2 161 答案D 解析由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为 x2y2(0)，将点(5,3)代入方 程，可得523216，所以双曲线方程为 x2y216，即x 2 16 y2 161. 3若双曲线x 2 a2 y2 b21 的离心率为 3，则其渐近线方程为( ) Ay2xBy

16、2x Cy1 2x Dy 2 2 x 答案B 解析e 3， c a 3，即 a2b2 a2 3， b22a2，双曲线方程为x 2 a2 y2 2a21， 渐近线方程为 y 2x. 4设双曲线x 2 a2 y2 9 1(a0)的渐近线方程为 3x2y0，则 a 的值为() A4B3C2D1 答案C 解析由双曲线的几何性质可得，双曲线x 2 a2 y2 9 1(a0)的渐近线方程为 y3 ax，又因为渐 近线方程为 3x2y0，即 y3 2x，故 a2. 5(多选)若双曲线 C 的一个焦点 F(5,0)，P 是双曲线上一点，且渐近线方程为 y4 3x，则下 列结论正确的是 () AC 的方程为x

17、2 9 y 2 161 BC 的离心率为5 4 C焦点到渐近线的距离为 3 D|PF|的最小值为 2 答案AD 解析双曲线 C 的一个焦点 F(5,0)，且渐近线方程为 y4 3x，可得 c5，焦点坐标在 x 轴 上，所以b a 4 3，因为 c5，所以 b4，a3，所以 C 的方程为 x2 9 y 2 161，A 正确；离心率 为 e5 3，B 不正确； 焦点到渐近线的距离为 d 45 42324，C 不正确； |PF|的最小值为 ca2，D 正确 6已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右两个焦点分别为 F 1，F2，若双曲线上存在点 P 满足|PF1|PF2|F1

18、F2|465，则该双曲线的离心率为() A2B.5 2 C.5 3 D5 答案B 解析e |F1F2| |PF2|PF1| 5 64 5 2. 7双曲线 x2y 2 3 1 的一个焦点到一条渐近线的距离等于_ 答案3 解析双曲线 x2y 2 3 1 的一个焦点坐标是(2,0)，一条渐近线的方程为 y 3x， 因此焦点到渐近线的距离 d 2 3 31 3. 8若一双曲线与椭圆 4x2y264 有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的 方程为_ 答案 y2 36 x2 121 解析椭圆 4x2y264 可变形为x 2 16 y2 641， a264，c2641648， 焦点为(0,4 3

19、)，(0，4 3)，离心率 e 3 2 ， 则双曲线的焦点在 y 轴上，c4 3，e 2 3 2 3 3 ， 从而 a6，b212， 故所求双曲线的方程为y 2 36 x2 121. 9求适合下列条件的双曲线的标准方程 (1)两顶点间的距离是 6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分； (2)渐近线方程为 2x3y0，且两顶点间的距离是 6. 解(1)由两顶点间的距离是 6，得 2a6，即 a3. 由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得 2c4a12，即 c6， 于是有 b2c2a2623227. 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为x 2 9 y 2 271 或 y2 9 x

20、 2 271. (2)设双曲线方程为 4x29y2(0)， 即x 2 4 y 2 9 1(0)，由题意得 a3. 当0 时， 49，36， 双曲线方程为x 2 9 y 2 4 1； 当0 时， 9 9，81， 双曲线方程为y 2 9 x2 81 4 1. 故所求双曲线的标准方程为 x2 9 y 2 4 1 或y 2 9 x2 81 4 1. 10设双曲线x 2 a2 y2 b21(0aa，所以 e2a 2b2 a2 1b 2 a22，则 e2. 于是双曲线的离心率为 2. 11已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21 的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的渐近线上，则 C 的方程为( )

21、 A.x 2 20 y2 5 1B.x 2 5 y 2 201 C.x 2 80 y2 201 D.x 2 20 y2 801 答案A 解析由题意，点 P(2,1)在双曲线的渐近线 yb ax 上， b a 1 2，即 a2b. 又 2c10，c5. 由 a2b2c2，解得 a220，b25. 故所求双曲线方程为x 2 20 y2 5 1. 12若双曲线与椭圆x 2 16 y2 641 有相同的焦点，它的一条渐近线方程为 yx，则双曲线的 方程为() Ay2x296By2x2160 Cy2x280Dy2x224 答案D 解析设双曲线方程为 x2y2(0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为

22、(0， 4 3)，所以0，b0)，设左、右焦点分别为 F 1，F2，|F1F2|2c，在 C 的 右支上存在一点 P，使得以 F1F2，F2P 为邻边的平行四边形为菱形，且直线 PF1与圆(xc)2 y2c2相切，则该双曲线 C 的离心率为() A.3 2 B. 31 2 C. 3D2 答案B 解析由题意得|PF2|F1F2|2c，设直线 PF1与圆(xc)2y2c2相切于点 T， 则 PF1TF2，|TF2|c， 在 RtF1TF2中，TF2F160|PF1|2 3c， 则由双曲线的定义可得|PF2|PF1|2a2 3c2a， 所以 2c2 3c2a，解得 ec a 31 2 . 14已知

23、F 为双曲线 C：x 2 4 y 2 9 1 的左焦点，P，Q 为双曲线 C 同一支上的两点若 PQ 的 长等于虚轴长的 2 倍，点 A( 13，0)在线段 PQ 上，则PQF 的周长为_. 答案32 解析根据题意，双曲线 C：x 2 4 y 2 9 1 的左焦点 F( 13，0)， 所以点 A( 13，0)是双曲线的右焦点，P，Q 为双曲线 C 右支上的两点虚轴长为 6， 所以|PQ|12.双曲线图象如图 |PF|AP|2a4， |QF|QA|2a4， 得|PF|QF|PQ|8， 周长为|PF|QF|PQ|82|PQ|32. 15(多选)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右

24、焦点为 F 1(2 6，0)，点 A 的坐标为(0,1)，点 P 为双曲线左支上的动点，且APF1的周长不小于 14，则双曲线 C 的离心率可能为() A. 3B2C. 5D3 答案ABC 解析由右焦点为 F1(2 6，0)，点 A 的坐标为(0,1)，|AF1| 2415， APF1的周长不小于 14，即周长的最小值不小于 14，可得|PA|PF1|的最小值不小于 9， 又 F2为双曲线的左焦点，可得|PF1|PF2|2a，|PA|PF1|PA|PF2|2a ， 当 A，P，F2三点共线时，|PA|PF2|2a 取最小值 52a， 所以 52a9，即 a2， 因为 c2 6，可得 ec a

25、6. 16已知 F1，F2分别为双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意 一点，当|PF1| 2 |PF2| 取最小值时，求双曲线的离心率 e 的取值范围 解因为双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F 1，F2，P 为双曲线右支上的任意 一点， 所以|PF1|PF2|2a，|PF1|2a|PF2|， 所以|PF1| 2 |PF2| 2a|PF2| 2 |PF2| 4a2 |PF2|4a|PF 2|8a，当且仅当 4a2 |PF2|PF 2|， 即|PF2|2a 时取等号， 所以|PF1|2a|PF2|4a， 因为|PF1|PF2|2a2c，|PF1|PF2|6a2cec a3，所以 e(1,3