讲与练高中数学1·②·必修第一册·BS版第二章 习题课 与圆有关的最值问题.docx
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1、习题课习题课与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题 学习目标1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题.2.初步了解用代数方法处理几 何问题的思想 导语 2017 年 7 月我国首座海上风电平台 4G 基站在黄海建成,信号覆盖范围达 60 公里 一艘船由于机械故障在海上遇险,想要求救,却发现手机没有信号已知基站在海面上的信 号覆盖范围是以基站为圆心的一个圆及其内部区域,那么船到达信号区域的最短路程是多少 呢?(引出课题:探究与圆有关的最值问题) 一、与距离有关的最值问题 1圆外一点到圆上任意一点距离的最小值dr,最大值dr. 2直线与圆相离,圆上任意一点到直线距离的最小值dr,最大值dr. 3
2、过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值2 r2d2,最大值2r. 4直线与圆相离,过直线上一点作圆的切线,切线长的最小值 d2r2. 例 1(1)当直线 l:(2m1)x(m1)y7m40(mR)被圆 C:(x1)2(y2)225 截得 的弦最短时,m 的值为_ 答案3 4 解析直线 l 的方程可化为(2xy7)mxy40,所以直线 l 会经过定点 2xy70, xy40, 解得定点坐标为 M(3,1) , 圆心 C 为(1,2), 当直线 l 与 CM 垂直时, 直线被圆截得的弦长最短, kCM21 13 1 2,k l2m1 m1 ,所以 kCMkl 1 2 2m1 m1 1,解得 m3
3、 4. (2)已知圆 C:x2y22x4y10 关于直线 l:3ax2by40 对称,则由点 M(a,b)向圆 C 所作的切线中,切线长的最小值是() A2B. 5C3D. 13 答案B 解析因为圆 C:x2y22x4y10,即圆 C:(x1)2(y2)24, 所以圆心为 C(1,2),半径 R2. 因为圆 C 关于直线 l:3ax2by40 对称, 所以 l:3a4b40,所以点 M(a,b)在直线 l1:3x4y40 上, 所以|MC|的最小值为 d|384| 5 3,切线长的最小值为 d2R2 94 5. 反思感悟(1)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题,可转化为动点(x,y)到定点
4、(a,b)的距离 的平方的最值问题 (2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离,然后利用数形结合确定距离的 最值 跟踪训练 1(1)从点 P(1,2)向圆 x2y22mx2ym20 作切线,当切线长最短时,m 的值为() A1B1C2D0 答案B 解析x2y22mx2ym20 可化为(xm)2(y1)21,圆心 C(m,1),半径为 1, 切线长最短时,|CP|最小,|CP| m129, 即当 m1 时,|CP|最小,切线长最短 (2)过点(3,1)作圆(x2)2(y2)24 的弦,其中最短弦长为_ 答案2 2 解析设点 A(3,1),易知圆心 C(2,2),半径 r2. 当弦过
5、点 A(3,1)且与 CA 垂直时为最短弦, |CA| 232212 2. 半弦长 r2|CA|2 42 2. 最短弦长为 2 2. 二、与面积相关的最值问题 例 2已知点 O(0,0),A(0,2),点 M 是圆(x3)2(y1)24 上的动点,则OAM 面积的最 小值为() A1B2C3D4 答案A 解析根据题意,得圆(x3)2(y1)24 的圆心为(3,1),半径 r2, O(0,0),A(0,2),OA 所在的直线是 y 轴, 当 M 到直线 AO 的距离最小时,OAM 的面积最小, 则 M 到直线 AO 的距离的最小值 d321, 则OAM 的面积最小值 S1 2|OA|d1. 反思
6、感悟求圆的面积的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形 的关系,借助函数求最值的方法,如配方法、基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想, 利用数形结合思想求解 跟踪训练 2(1)直线 ykx3 与圆 O:x2y21 相交于 A,B 两点,则OAB 面积的最大值 为() A1B.1 2 C. 2 4 D. 3 4 答案B 解析设圆心到直线的距离为 d(0d0)上一动点,PA,PB 是圆 C:x2y22y0 的两条 切线,A,B 是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k_. 答案2 解析圆 C:x2y22y0 的圆心为 C(0,1),半径 r1, 由圆的性质可知,
7、四边形的面积 S2SPBC, 又四边形 PACB 的最小面积是 2,则 SPBC的最小值为 S11 2r|PB| min1 2|PB| min, 则|PB|min2, 因为|PB| |PC|2r2 |PC|21, 所以当|PC|取最小值时,|PB|最小 又点 P(x,y)是直线 kxy40 上的动点, 当 CP 垂直于直线 kxy40 时,|PC|最小,即为圆心 C(0,1)到直线的距离, 所以 |14| k21 2 212 5,解得 k2,因为 k0,所以 k2. 三、利用数学式的几何意义解圆的最值问题 例 3已知点 P(x,y)在圆 C:x2y26x6y140 上 (1)求y x的最大值和
8、最小值; (2)求 x2y22x3 的最大值与最小值; (3)求 xy 的最大值与最小值 解方程 x2y26x6y140 可化为(x3)2(y3)24. (1)y x表示圆上的点 P 与原点连线所在直线的斜率,如图(1)所示,显然 PO(O 为坐标原点)与圆 相切时,斜率最大或最小 设切线方程为 ykx(由题意知,斜率一定存在),即 kxy0,由圆心 C(3,3)到切线的距离等 于半径 2,可得|3k3| k212,解得 k 92 14 5 ,所以y x的最大值为 92 14 5 ,最小值为92 14 5 . (2)x2y22x3(x1)2y22,它表示圆上的点 P 到 E(1,0)的距离的平
9、方再加 2,所以 当点 P 与点 E 的距离最大或最小时,所求式子取得最大值或最小值,如图(2)所示,显然点 E 在圆 C 的外部,所以点 P 与点 E 距离的最大值为|P1E|CE|2,点 P 与点 E 距离的最小值 为|P2E|CE|2.又|CE| 312325,所以 x2y22x3 的最大值为(52)2251, 最小值为(52)2211. (3)设 xyb,则 b 表示动直线 yxb 在 y 轴上的截距,如图(3)所示,显然当动直线 y xb 与圆(x3)2(y3)24 相切时,b 取得最大值或最小值,此时圆心 C(3,3)到切线 x yb 的距离等于圆的半径 2,则|33b| 1212
10、 2,即|b6|2 2,解得 b62 2,所以 xy 的最大值为 62 2,最小值为 62 2. 反思感悟(1)形如 uyb xa形式的最值问题,可转化为过点(x,y)和(a,b)的动直线斜率的最 值问题 (2)形如 laxby 形式的最值问题,可转化为动直线 ya bx l b的截距的最值问题 跟踪训练 3(多选)已知实数 x,y 满足方程 x2y24x10,则下列说法正确的是() Ayx 的最大值为 62 Bx2y2的最大值为 74 3 C.y x的最大值为 3 2 Dxy 的最大值为 2 3 答案AB 解析对于 A,设 zyx,则 yxz,z 表示直线 yxz 的纵截距,当直线与圆(x2
11、)2 y23 有公共点时,|2z| 2 3,解得 62z 62,所以 yx 的最大值为 62, 故 A 说法正确; 对于 B,x2y2的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方,易知原点到圆心的距离为 2, 则原点到圆上的最大距离为 2 3,所以 x2y2的最大值为(2 3)274 3,故 B 说法正 确; 对于 C,设y xk,把 ykx 代入圆方程得(1k 2)x24x10,则164(1k2)0,解得 3k 3,y x的最大值为 3,故 C 说法错误; 对于 D,设 mxy,则 yxm,m 表示直线 yxm 的纵截距,当直线与圆(x2)2 y23 有公共点时, |2m| 2 3, 解得 62
12、m 62, 所以 xy 的最大值为 62, 故 D 说法错误 1知识清单: (1)与距离、面积有关的最值问题 (2)利用数学式的几何意义解圆的最值问题 2方法归纳:数形结合、转化思想 3常见误区:忽略隐含条件导致范围变大 1圆 x2y24 上的点到直线 4x3y250 的距离的取值范围是() A3,7B1,9 C0,5D0,3 答案A 解析x2y24,圆心(0,0),半径 r2, 圆心到直线 4x3y250 的距离 d |0025| 42325, 所以圆上的点到直线的距离的最小值为 523, 最大值为 527,所以圆上的点到直线的距离的取值范围为3,7 2已知 O 为坐标原点,点 P 在单位圆
13、上,过点 P 作圆 C:(x4)2(y3)24 的切线,切点 为 Q,则|PQ|的最小值为() A. 3B2 3C2D4 答案B 解析根据题意,圆 C:(x4)2(y3)24,其圆心 C(4,3),半径 r2,过点 P 作圆 C:(x 4)2(y3)24 的切线,切点为 Q,则|PQ| |PC|24,当|PC|最小时,|PQ|最小,又由点 P 在单位圆上,则|PC|的最小值为|OC|1 91614,则|PQ|的最小值为 1642 3. 3点 M(x,y)在圆 x2(y2)21 上运动,则y x的取值范围是( ) A 3,) B. (, 3 C. (, 3 3,) D. 3, 3 答案C 解析将
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