讲与练高中数学1·②·必修第一册·BS版第二章 §2.3 2.3.3　点到直线的距离公式.docx

1、23.3点到直线的距离公式点到直线的距离公式 学习目标1.经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程，发展数学运算与 逻辑推理素养.2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用 导语 距离问题是几何学的基本问题之一，上节课我们学习了两点间的距离公式，知道两点间的距 离可以由两点坐标表示在平面直角坐标系中，我们用坐标描述点，用方程刻画直线，当点 与直线的位置确定后，点到直线的距离可以由点的坐标与直线的方程确定，如何确定呢？ 一、点到直线距离公式的推导 问题 1如图，平面直角坐标系中，已知点 P(x0，y0)，直线 l：AxByC0(A0，B0)， 怎样求出点 P 到直线 l 的距离呢？ 提

2、示根据定义，点 P 到直线 l 的距离是点 P 到直线 l 的垂线段的长，如图，设点 P 到直线 l 的垂线为 l，垂足为 Q，由 ll 可知 l的斜率为B A， l的方程为 yy0B A(xx 0)，与 l 联立方程组， 解得交点 Q B2x0ABy0AC A2B2 ，A 2y0ABx0BC A2B2， |PQ|Ax 0By0C| A2B2 . 问题 2上述推导过程有什么特点？反思求解过程，你能发现出现这种状况的原因吗？ 提示推导过程思路自然，但运算量较大，一是求点 Q 的坐标复杂，二是代入两点间的距离 公式化简复杂 问题 3向量是解决空间距离、 角度问题的有力工具， 怎样用向量方法求点到直

3、线的距离呢？ 提示PQ 可以看作PM 在直线 l 的垂线上的投影向量，直线 l：AxByC0(AB0)的斜率 为A B， 所以 m(B，A)是它的一个方向向量 (1) 由向量的数量积运算可求得与直线 l 垂直的一个单位向量 n 1 A2B2(A，B) (2) 在直线 l 上任取点 M(x，y)，可得向量PM (xx0，yy0) (3) |PQ|PQ |PM n|Ax 0By0C| A2B2 . 知识梳理 距离公式：d|Ax 0By0C| A2B2 . 注意点： (1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值； (3)若直线方程为 AxByC0， 则当 A0 或 B0 时公式也成

4、立， 但由于直线是特殊直线(与 坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解 二、点到直线距离公式的简单应用 例 1(1)点 P(1,2)到直线 2xy100 的距离为_ (2)已知坐标平面内两点 A(3,2)和 B(1,4)到直线 mxy30 的距离相等，则实数 m 的值等 于_ 答案(1)2 5(2)6 或1 2 解析(1)由点到直线的距离公式得 |122110| 2212 2 5. (2)依题意得|3m23| m21 |m43| m21 ， |3m5|m7|， 3m5m7 或 3m57m， m6 或 m1 2. 反思感悟点到直线的距离的求解方法 (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，

5、直接利用点到直线的距离公式即可 (2)若已知点到直线的距离求参数值时， 只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程(组) 即可 跟踪训练 1(多选)若点 P(3，a)到直线 x 3y40 的距离为 1，则 a 的值为() A. 3B 3C. 3 3 D 3 3 答案AD 解析由题意得|3 3a4| 13 | 3a1| 2 1， 解得 a 3或 a 3 3 . 三、点到直线距离公式的综合应用 例 2已知点 P(2，1)，求过点 P 且与原点距离为 2 的直线 l 的方程 解当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x2，符合题意 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y1k(x

6、2)，即 kxy2k10， 由点到直线的距离公式得|2k1| 1k2 2， 解得 k3 4， 所以直线 l 的方程为 3x4y100. 故直线 l 的方程为 x2 或 3x4y100. 延伸探究求过点 P(2，1)且与原点距离最大的直线 l 的方程，最大距离是多少？ 解设原点为 O，连接 OP(图略)， 易知过点 P 且与原点距离最大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线 由 lOP，得 klkOP1， 所以 kl 1 kOP2. 所以直线 l 的方程为 y12(x2)，即 2xy50， 即直线 2xy50 是过点 P 且与原点距离最大的直线， 最大距离为|5| 5 5. 反思感悟解决有限条

7、件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想， 直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的 跟踪训练 2已知直线 l 过点 M(1,2)，且点 A(2,3)，B(4,5)到 l 的距离相等，求直线 l 的方 程 解方法一当过点 M(1,2)的直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1， 此时点 A(2,3)与点 B(4,5)到直线 l 的距离相等， 故 x1 满足题意； 当过点 M(1,2)的直线 l 的斜率存在时， 设 l 的方程为 y2k(x1)， 即 kxyk20. 由点 A(2,3)与 B(4,5)到直线 l 的距离相等， 得|2k3k2| k21 |4k5k

8、2| k21 ， 解得 k1 3， 此时 l 的方程为 y21 3(x1)，即 x3y50. 综上所述，直线 l 的方程为 x1 或 x3y50. 方法二由题意得 lAB 或 l 过线段 AB 的中点 当 lAB 时，设直线 AB 的斜率为 kAB，直线 l 的斜率为 kl， 则 klkAB 53 42 1 3， 此时直线 l 的方程为 y21 3(x1)， 即 x3y50. 当 l 过 AB 的中点(1,4)时，直线 l 的方程为 x1. 综上所述，直线 l 的方程为 x1 或 x3y50. 1知识清单： (1) 点到直线的距离公式的推导过程； (2) 点到直线的距离公式 d|Ax 0By0

9、C| A2B2 ； (3) 公式的应用 2方法归纳：公式法、数形结合 3常见误区：设直线方程忽略斜率是否存在 1原点到直线 x2y50 的距离为() A1B. 3C2D. 5 答案D 2(多选)已知点 M(1,4)到直线 l：mxy10 的距离为 3，则实数 m 等于() A0B.3 4 C3D2 答案AB 解析点 M 到直线 l 的距离 d|m41| m21 3， 所以 m0 或3 4. 3已知点 M(1,2)，点 P(x，y)在直线 2xy10 上，则|MP|的最小值是() A. 10B.3 5 5 C. 6D3 5 答案B 解析点 M 到直线 2xy10 的距离， 即为|MP|的最小值，

10、 所以|MP|的最小值为|221| 2212 3 5 5 . 4已知直线 l 经过点(2,3)，且原点到直线 l 的距离等于 2，则直线 l 的方程为_ 答案x20 或 5x12y260 解析当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x2，符合原点到直线 l 的距离等于 2. 当直线 l 的斜率存在时， 设所求直线 l 的方程为 y3k(x2)，即 kxy2k30， 由 d|002k3| 1k2 2， 得 k 5 12，即直线 l 的方程为 5x12y260. 综上，直线 l 的方程为 x20 或 5x12y260. 课时课时对点对点练练 1点 P(1，1)到直线 l：3y2 的距离是(

11、) A3B.5 3 C1D. 2 2 答案B 解析点 P(1，1)到直线 l 的距离 d|312| 0232 5 3. 2点(1,2)到直线 y2x1 的距离为() A. 5 5 B.2 5 5 C. 5D2 5 答案A 解析直线 y2x1 即 2xy10， 由点到直线的距离公式得 d|2121| 2212 5 5 . 3已知点(a,2)(a0)到直线 l：xy30 的距离为 1，则 a 等于() A. 2B. 21 C. 21D2 2 答案B 解析由点到直线的距离公式，得 1|a23| 11 ， 即|a1| 2.因为 a0，所以 a 21，故选 B. 4点 P(x，y)在直线 xy40 上，

12、O 是坐标原点，则|OP|的最小值是() A. 7B. 6C2 2D. 5 答案C 解析|OP|最小即 OPl， 所以|OP|min|004| 2 2 2. 5(多选)已知点 A(3，4)，B(6,3)到直线 l：axy10 的距离相等，则实数 a 的值等于 () A7 9 B1 3 C.1 3 D.7 9 答案AB 解析由点到直线的距离公式可得 |3a41| a21 |6a31| a21 ， 化简得|3a3|6a4|， 解得 a7 9或 1 3. 6(多选)与直线 3x4y10 垂直，且与点(1，1)距离为 2 的直线方程为() A4x3y30B4x3y170 C4x3y30D4x3y170

13、 答案AB 解析设所求直线方程为 4x3yC0. 则|4131C| 4232 2， 即|C7|10，解得 C3 或 C17. 故所求直线方程为 4x3y30 或 4x3y170. 7倾斜角为 60，且与原点的距离是 5 的直线方程为_ 答案3xy100 或3xy100 解析因为直线斜率为 tan 60 3， 可设直线方程为 y 3xb， 化为一般式得3xyb0. 由直线与原点的距离为 5， 得 |00b| 32125|b|10. 所以 b10. 所以直线方程为3xy100 或3xy100. 8经过两直线 x3y100 和 3xy0 的交点，且和原点相距为 1 的直线的条数为 _ 答案2 解析设

14、所求直线 l 的方程为 x3y10(3xy)0， 即(13)x(3)y100， 因为原点到直线的距离 d |10| 132321， 所以3，即直线方程为 x1 或 4x3y50， 所以和原点相距为 1 的直线的条数为 2. 9已知ABC 三个顶点的坐标 A(1,3)，B(3,0)，C(1,2)，求ABC 的面积 S. 解由直线方程的两点式得直线 BC 的方程为 y 20 x3 13， 即 x2y30. 由两点间距离公式得|BC| 3120222 5， 点 A 到 BC 的距离为 d，即为 BC 边上的高， 则 d|1233| 1222 4 5 5 . 所以 S1 2|BC|d 1 22 5 4

15、 5 5 4， 即ABC 的面积为 4. 10已知某直线在两坐标轴上的截距相等，且点 A(3,1)到该直线的距离为 2，求该直线的方 程 解当该直线在两坐标轴上的截距相等且为 0， 即直线过原点时，设直线的方程为 ykx， 即 kxy0，由已知得|3k1| k21 2， 整理得 7k26k10， 解得 k1 7或 k1， 所以所求直线的方程为 x7y0 或 xy0. 当直线在两坐标轴上的截距相等且不为 0 时， 设直线的方程为 xya， 由题意得|4a| 2 2，整理得|a4|2， 解得 a6 或 a2， 所以所求直线的方程为 xy60 或 xy20. 综上所述，所求直线方程为 x7y0 或

16、xy0 或 xy60 或 xy20. 11(多选)已知点 P 在直线 3xy50 上，且点 P 到直线 xy10 的距离为 2，则点 P 的坐标为() A(1,2)B(3，4) C(2，1)D(4，3) 答案AC 解析设点 P 的坐标为(a,53a)， 由题意得|a53a1| 1212 2， 解得 a1 或 2， 所以点 P 的坐标为(1,2)或(2，1) 12当点 P(2,3)到直线 ax(a1)y30 的距离 d 最大时，d 与 a 的值依次为() A3，3B5,2 C5,1D7,1 答案C 解析直线 l 恒过点 A(3,3)， 根据已知条件可知，当直线 ax(a1)y30 与 AP 垂直

17、时，距离最大，最大值为 5，此时 a1. 13直线 3x4y270 上到点 P(2,1)距离最近的点的坐标是() A(1，6)B. 3，9 2 C(5，3)D. 7，3 2 答案C 解析由题意知过点 P 作直线 3x4y270 的垂线， 设垂足为 M，则|MP|最小， 直线 MP 的方程为 y14 3(x2)， 解方程组 3x4y270， y14 3x2， 得 x5， y3. 故所求点的坐标为(5，3) 14已知点 P 为 x 轴上一点，且点 P 到直线 3x4y60 的距离为 6，则点 P 的坐标为 _ 答案(12,0)或(8,0) 解析设 P(a,0)，则有|3a406| 3242 6，

18、解得 a12 或 8， 所以点 P 的坐标为(12,0)或(8,0) 15已知 xy30，则 x22y12的最小值为_ 答案2 解析设 P(x，y)，A(2，1)， 则点 P 在直线 xy30 上， 且 x22y12|PA|. |PA|的最小值为点 A(2，1)到直线 xy30 的距离 d|213| 1212 2. 16已知直线 m：(a1)x(2a3)ya60，n：x2y30. (1)当 a0 时，直线 l 过 m 与 n 的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线 l 的方程； (2)若坐标原点 O 到直线 m 的距离为 5，判断 m 与 n 的位置关系 解(1)联立 x3y60， x2y30， 解得 x21， y9， 即 m 与 n 的交点为(21，9) 当直线 l 过原点时，直线 l 的方程为 3x7y0； 当直线 l 不过原点时，设 l 的方程为x b y b1， 将(21，9)代入得 b12， 所以直线 l 的方程为 xy120， 故满足条件的直线 l 的方程为 3x7y0 或 xy120. (2)设原点 O 到直线 m 的距离为 d， 则 d |a6| (a1)2(2a3)2 5， 解得 a1 4或 a 7 3， 当 a1 4时，直线 m 的方程为 x2y50，此时 mn； 当 a7 3时，直线 m 的方程为 2xy50，此时 mn.