讲与练高中数学1·②·必修第一册·BS版第二章 §2.4 2.4.1 圆的标准方程.docx
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1、2.4圆的方程圆的方程 24.1圆的标准方程圆的标准方程 学习目标1.掌握圆的定义及标准方程. 2.会用待定系数法求圆的标准方程, 能准确判断点与 圆的位置关系 导语 古朗月行 唐 李白 小时不识月,呼作白玉盘。 又疑瑶台镜,飞在青云端。 月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代的人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也 大量描写,如果把天空看作一个平面,月亮当作一个圆,建立一个平面直角坐标系,那么圆 的坐标方程如何表示? 一、圆的标准方程 问题 1圆是怎样定义的?确定它的要素又是什么呢?各要素与圆有怎样的关系? 提示平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆, 定点称为圆心, 定长称为圆的半径
2、 确定圆的因素:圆心和半径, 圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小 问题 2已知圆心为 A(a,b),半径为 r,你能推导出圆的方程吗? 提示设圆上任一点 M(x,y),则|MA|r,由两点间的距离公式,得 xa2yb2r, 化简可得:(xa)2(yb)2r2. 知识梳理 确定圆的标准方程需要两个条件:圆心坐标与半径 注意点: (1)当圆心在原点即 A(0,0),半径长 r1 时,方程为 x2y21,称为单位圆 (2)相同的圆,建立坐标系不同时,圆心坐标不同,导致圆的方程不同,但是半径是不变的 (3)圆上的点都满足方程,满足方程的点都在圆上 例 1(1)与 y 轴相切,且圆心坐标为(5,3)的圆
3、的标准方程为_ 答案(x5)2(y3)225 解析圆心坐标为(5,3),又与 y 轴相切, 该圆的半径为 5, 该圆的标准方程为(x5)2(y3)225. (2)以两点 A(3,1)和 B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是_ 答案(x1)2(y2)225 解析AB 为直径, AB 的中点(1,2)为圆心, 1 2|AB| 1 2 5325125 为半径, 该圆的标准方程为(x1)2(y2)225. 反思感悟直接法求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径,常用到中点坐标公式、两点间距离公式,有时 还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等
4、 跟踪训练 1求满足下列条件的圆的标准方程: (1)圆心是(4,0),且过点(2,2); (2)圆心在 y 轴上,半径为 5,且过点(3,4) 解(1)r2(24)2(20)28, 圆的标准方程为(x4)2y28. (2)设圆心为 C(0,b),则(30)2(4b)252, b0 或 b8,圆心为(0,0)或(0,8), 又 r5, 圆的标准方程为 x2y225 或 x2(y8)225. 二、点与圆的位置关系 问题 3点 M0(x0,y0)在圆 x2y2r2内的条件是什么?在圆 x2y2r2外的条件又是什么? 提示点在圆内时,点到圆心的距离小于半径,点在圆外时,点到圆心的距离大于半径 知识梳理
5、 圆 C:(xa)2(yb)2r2(r0),其圆心为 C(a,b),半径为 r,点 P(x0,y0), 设 d|PC| x0a2y0b2. 位置关系利用距离判断利用方程判断 点在圆外dr(x0a)2(y0b)2r2 点在圆上dr(x0a)2(y0b)2r2 点在圆内dr(x0a)2(y0b)2r2 例 2(1)已知 a,b 是方程 x2x 20 的两个不相等的实数根,则点 P(a,b)与圆 C:x2 y28 的位置关系是() A点 P 在圆 C 内B点 P 在圆 C 外 C点 P 在圆 C 上D无法确定 答案A 解析由题意,得 ab1,ab 2, a2b2(ab)22ab12 28, 点 P
6、在圆 C 内 (2)已知点 P(2,1)和圆 C: xa 2 2(y1)21,若点 P 在圆 C 上,则实数 a_.若点 P 在圆 C 外,则实数 a 的取值范围为_ 答案2 或6a2 解析由题意,得 xa 2 2(y1)21,当点 P 在圆 C 上时, 2a 2 2(11)21 ,解得 a 2 或6. 当点 P 在圆 C 外时, 2a 2 2(11)21, 解得 a2. 反思感悟判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法:主要利用点到圆心的距离与半径比较大小 (2)代数法:把点的坐标代入圆的标准方程,判断式子两边的大小,并作出判断 跟踪训练 2已知点 M(5 a1, a)在圆(x1)2y2
7、26 的内部,则 a 的取值范围为 _ 答案0,1) 解析由题意知 a0, 5 a112 a226, 即 a0, 26a26, 解得 0a 1 13或 a1,169a21,a2 1 169, a 1 13或 a 1 13. 课时课时对点对点练练 1圆(x1)2(y 3)21 的圆心坐标是() A(1, 3)B(1, 3) C(1, 3)D(1, 3) 答案C 解析由圆的标准方程(x1)2(y 3)21,得圆心坐标为(1, 3) 2已知点 A(3,2),B(5,4),以线段 AB 为直径的圆的标准方程是() A(x1)2(y1)225 B(x1)2(y1)225 C(x1)2(y1)2100 D
8、(x1)2(y1)2100 答案B 解析由题意得圆心坐标为(1,1),半径 r1 2|AB| 1 2 3522425,所以圆的标准 方程是(x1)2(y1)225. 3圆(x1)2y21 的圆心到直线 y 3 3 x 的距离是() A.1 2 B. 3 2 C1D. 3 答案A 解析圆(x1)2y21 的圆心坐标为(1,0), 所以圆心到直线 y 3 3 x 的距离为 d | 3 3| 1 3 3 2 1 2. 4已知圆(xa)2(y1)22a(0a1),则原点 O 在() A圆内B圆外 C圆上D圆上或圆外 答案B 解析由圆的方程(xa)2(y1)22a,知圆心为(a,1), 则原点与圆心的距
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