《高考调研》2022版一轮总复习 数学(新高考) 新课标版作业50.doc
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1、题组层级快练题组层级快练(五十五十) (第一次作业第一次作业) 一、单项选择题 1(2021皖南八校联考)四棱锥 VABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,其他四个 侧面是腰长为 3 的等腰三角形,则二面角 VABC 的余弦值的大小为() A. 2 3 B. 2 4 C. 7 3 D.2 2 3 答案B 解析 如图所示,取 AB 中点 E,过 V 作底面的垂线,垂足为 O,易知 O 为底面 ABCD 的中心, 连接 OE,VE,根据题意可知,VEO 是二面角 VABC 的平面角因为 OE1,VE 32122 2,所以 cosVEOOE VE 1 2 2 2 4 .故选 B. 2.
2、(2021长春调研)如图所示,在直三棱柱 ABCA1B1C1中,ACB 90, 2ACAA1BC2.若二面角 B1DCC1的大小为 60, 则 AD 的长为() A. 2B. 3 C2D. 2 2 答案A 解析 如图所示,以 C 为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直 角坐标系,则 C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2)设 ADa,则 D 点坐 标为(1,0,a),CD (1,0,a),CB1 (0,2,2)设平面 B1CD 的法向量为 m(x,y,z) 由 mCB1 2y2z0, mCD xaz0, 得 yz, xa
3、z,令 z1,则 m(a,1,1)又平面 C 1DC 的一个法 向量为 n(0,1,0),则由 cos60|mn| |m|n|,得 1 a22 1 2,解得 a 2(负值舍去),所以 AD 2.故选 A. 3.如图,棱长都相等的平行六面体 ABCDABCD中,DABAADA AB60,则二面角 ABDA 的余弦值为() A.1 3 B1 3 C. 3 3 D 3 3 答案A 解析棱长都相等的平行六面体 ABCDABCD中,DABAADA AB60,则四面体 ABDA 为正四面体,如图,取 BD 的中点 E,连接 AE,AE.设正 四面体的棱长为 2,则 AEAE 3,且 AEBD,AEBD,则
4、AEA即为二面角 ABDA 的平面角,在AAE 中,cosAEAAE 2AE2AA2 2AEAE 1 3.故二面角 ABDA 的余弦值为1 3. 4(2021成都检测)如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1中,AB4,BCAA13,则二面 角 C1BDC 的余弦值为() A. 41 5 B.3 41 5 C.3 41 41 D.4 41 41 答案D 解析在矩形 ABCD 内过点 C 作 CHBD 于点 H,连接 C1H.在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,CC1平面 ABCD,所以 CC1BD.又 CHBD,CHCC1C,所以 BD平面 C1CH, 故BDC1H, 所以C1HC为二面角
5、C1BDC的平面角 在RtBCD中, BD DC2CB2 42325,因为 CHBD,所以 CHDCBC BD 43 5 12 5 .在 RtC1CH 中,C1H CH2CC12 12 5 2 323 41 5 ,所以 cosC1HC CH C1H 12 5 3 41 5 4 41 41 ,即二面角 C1 BDC 的余弦值等于4 41 41 . 二、解答题 5.(2020天津)如图,在三棱柱 ABCA1B1C1中,CC1平面 ABC,AC BC,ACBC2,CC13,点 D,E 分别在棱 AA1和棱 CC1上,且 AD1,CE2,M 为棱 A1B1的中点 (1)求证:C1MB1D; (2)求二
6、面角 BB1ED 的正弦值; (3)求直线 AB 与平面 DB1E 所成角的正弦值 答案(1)略(2) 30 6 (3) 3 3 解析依题意,以 C 为原点,分别以CA , CB ,CC1 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立 空间直角坐标系(如图),可得 C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,3),A1(2,0, 3),B1(0,2,3),D(2,0,1),E(0,0,2),M(1,1,3) (1)证明:依题意,C1M (1,1,0),B1D (2,2,2),从而C1M B1D 2200, 所以 C1MB1D. (2)依题意,CA (2,0,0)是平面
7、BB1E 的一个法向量,EB1 (0,2,1),ED (2,0,1) 设 n(x,y,z)为平面 DB1E 的法向量,则 nEB1 0, nED 0, 即 2yz0, 2xz0. 不妨设 x1,可得 n(1,1,2) 因此有 cosCA ,n CA n |CA |n| 6 6 ,于是 sinCA ,n 30 6 . 所以二面角 BB1ED 的正弦值为 30 6 . (3)依题意,AB (2,2,0)由(2)知 n(1,1,2)为平面 DB1E 的一个法向量,于是 cos AB ,n AB n |AB |n| 3 3 . 所以直线 AB 与平面 DB1E 所成角的正弦值为 3 3 . 6.(20
8、21唐山模拟)如图,四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是平行四边形, 连接 BD,其中 DADP,BABP. (1)求证:PABD; (2)若 DADP,ABP60,BABPBD2,求二面角 DPCB 的正弦值 答案 (1)略(2)4 3 7 解析(1)证明:如图,取 AP 中点 M,连接 DM,BM, DADP,BABP, PADM,PABM,又DMBMM, PA平面 DMB,又BD平面 DMB,PABD. (2)DADP,BABP,DADP,ABP60, DAP 是等腰直角三角形,ABP 是等边三角形,ABPBBD2,DM1,BM 3. BD2MB2MD2,MDMB. 以 MP,MB,
9、MD 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如图, 则 A(1,0,0),B(0,3,0),P(1,0,0),D(0,0,1), 从而得DP (1,0,1),DC AB (1,3,0),BP (1, 3,0),BC AD (1,0,1) 设平面 DPC 的法向量 n1(x1,y1,z1), 则 n1DP 0, n1DC 0, 即 x1z10, x1 3y10,可取 n 1( 3,1, 3), 设平面 PCB 的法向量 n2(x2,y2,z2), 由 n2BC 0, n2BP 0,得 x2z20, x2 3y20,可取 n 2( 3,1, 3) cosn1,n2n1n2 |n
10、1|n2| 1 7. 设二面角 DPCB 为,sin 1cos2n1,n24 3 7 ,即二面角 DPCB 的正 弦值为4 3 7 . 7.(2021武汉模拟)如图所示,多面体是由底面为 ABCD 的直四棱柱被截面 AEFG 所截而得到的,该直四棱柱的底面为菱形,其中 AB2,CF5,BE 1,BAD60. (1)求 BG 的长; (2)求平面 AEFG 与底面 ABCD 所成锐二面角的余弦值 答案(1)2 5(2) 3 4 解析 (1)由面面平行的性质定理可知:四边形 AEFG 是平行四边形,建立如图所示的空间直角坐 标系 Oxyz.可得 A(0, 3,0),B(1,0,0),E(1,0,1
11、),C(0,3,0),F(0,3,5) 所以AG EF (1,3,4),则 G(1,0,4) 所以BG (2,0,4) 则 BG 的长为|BG |2 5. (2)依题意可取平面 ABCD 的一个法向量 m(0,0,1) 由(1)可知:AG (1,3,4),AE (1,3,1), 设 n(x,y,z)是平面 AEFG 的一个法向量,则 nAE 0, nAG 0, 即 x 3yz0, x 3y4z0, 可取 n 3,5 3 3 ,2 . 则|cosn,m|nm| |n|m| 3 4 , 所以所求锐二面角的余弦值为 3 4 . 8.(2021广东惠州二次调研)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 A
12、BCD 是边长为 2 的菱形,ABC60,PAPB,PC2. (1)求证:平面 PAB平面 ABCD; (2)若 PAPB,求二面角 APCD 的余弦值 答案(1)略(2)2 7 7 解析(1)证明:取 AB 的中点为 O,连接 CO,PO,如图 四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形,ABBC2. 又ABC60,ABC 是等边三角形,COAB,OC 3. PAPB,PO1 2AB1. PC2,OP2OC2PC2,COPO. ABPOO,CO平面 PAB. CO平面 ABCD,平面 PAB平面 ABCD. (2) PAPB,PAPB,AB2,PA 2.OP2OA21212( 2)2PA2,PO
13、AO. 由(1)知,COAB,COPO, 直线 OC,OB,OP 两两垂直以 O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz, 则 A(0,1,0),C( 3,0,0),D( 3,2,0),P(0,0,1), AP (0,1,1),PC( 3,0,1),DC (0,2,0) 设平面 APC 的法向量为 m(x1,y1,z1), 由 mAP 0, mPC 0,得 y1z10, 3x1z10,取 x 11,得 m(1, 3, 3), 设平面 PCD 的法向量为 n(x2,y2,z2),由 nPC 0, nDC 0, 得 3x2z20, 2y20, 取 x21,得 n (1,0, 3),cos
14、m,n mn |m|n| 2 7 7 ,由图易知二面角 APCD 为锐二面角, 二面角 APCD 的余弦值为2 7 7 . 9.(2021山东潍坊二模)请从下面三个条件中任选一个,补充在下面的横线 上,并作答 ABBC;FC 与平面 ABCD 所成的角为 6 ;ABC 3 . 如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是菱形,PA平面 ABCD,且 PAAB2,PD 的中点为 F. (1)在线段 AB 上是否存在一点 G,使得 AF平面 PCG?若存在,指出 G 在 AB 上的位置并 给以证明;若不存在,请说明理由; (2)若_,求二面角 FACD 的余弦值 答案(1)略(2)略 解析(
15、1) 存在线段 AB 的中点 G,使得 AF平面 PCG. 证明如下:如图所示,设 PC 的中点为 H,连接 FH,GH. F,H 分别为 PD,PC 的中点,FHCD,FH1 2CD,在菱形 ABCD 中,G 为 AB 中 点,AGCD,AG1 2CD, FHAG,FHAG,四边形 AGHF 为平行四边形,AFGH. 又 GH平面 PCG,AF平面 PCG,AF平面 PCG. (2) 选择,ABBC. PA平面 ABCD,PAAB,PAAD. AB,AD,AP 两两垂直,以 AB,AD,AP 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如 图所示的空间直角坐标系 PAAB2,A(0,0,0
16、),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),F(0,1,1),AF (0,1,1),CF (2,1,1) 设平面 FAC 的法向量为(x,y,z), 则 AF yz0, CF 2xyz0, 取 y1,得(1,1,1) 易知平面 ACD 的一个法向量为 v(0,0,1), 设二面角 FACD 大小为,由图知二面角 FACD 为锐二面角,则 cos|v| |v| 3 3 , 二面角 FACD 的余弦值为 3 3 . 选择,FC 与平面 ABCD 所成的角为 6 . 如图,取 BC 中点 E,连接 AE,取 AD 的中点 M,连接 FM,CM, 则 FMPA,且 FM1. PA平面 A
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