讲与练高中数学1·②·必修第一册·BS版第二章 §2.2 2.2.2　直线的两点式方程.docx

1、22.2直线的两点式方程直线的两点式方程 学习目标1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程.2.了解直线的截 距式方程的形式特征及适用范围 导语 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足若以桥面所在直线为 x 轴，桥塔所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线怎样表示 直线的方程呢？ 一、直线的两点式方程 问题 1我们知道已知两点也可以确定一条直线，在平面直角坐标系中，给定一个点 P0(x0， y0)和斜率 k，可得出直线方程若给定直线上两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2，y1y2)，你 能否得出直线的方程呢？ 提

2、示 yy1 y2y1 xx1 x2x1 知识梳理 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中 x1x2，y1y2)的直线方程 yy1 y2y1 xx1 x2x1，我们把它叫 做直线的两点式方程，简称两点式 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1x2)或斜率为 0(y1y2)时，不能用两点 式方程表示 (2)两点式方程与这两个点的顺序无关 (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等 例 1已知 A(3,2)，B(5，4)，C(0，2)，在ABC 中： (1)求 BC 边所在的直线方程； (2)求 BC 边上的中

3、线所在直线的方程 解(1)BC 边过两点 B(5，4)，C(0，2)， 由两点式，得 y4 24 x5 05，即 2x5y100， 故 BC 边所在的直线方程为 2x5y100. (2)设 BC 的中点为 M(a，b)， 则 a50 2 5 2，b 42 2 3， 所以 M 5 2，3， 又 BC 边的中线过点 A(3,2)， 所以 y2 32 x3 5 23 ，即 10 x11y80， 所以 BC 边上的中线所在直线的方程为 10 x11y80. 延伸探究 若本例条件不变，试求 BC 边的垂直平分线所在的直线方程 解kBC42 50 2 5， 则 BC 边的垂直平分线的斜率为5 2， 又 B

4、C 的中点坐标为 5 2，3， 由点斜式方程可得 y35 2 x5 2 ， 即 10 x4y370. 反思感悟利用两点式求直线的方程 首先要判断是否满足两点式方程的适用条件 若满足即可考虑用两点式求方程在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率， 再用点斜式写方程 跟踪训练 1(1)过点 A(2,1)，B(3，3)的直线方程为_ 答案4x5y30 解析因为直线过点(2,1)和(3，3)， 所以 y1 31 x2 32， 即y1 4 x2 5 ， 化简得 4x5y30. (2)已知直线经过点 A(1,0)，B(m,1)，求这条直线的方程 解由直线经过点 A(1,0)，B(m,1)，因此该直

5、线斜率不可能为零，但有可能不存在 (1)当直线斜率不存在，即 m1 时，直线方程为 x1； (2)当直线斜率存在，即 m1 时，利用两点式，可得直线方程为y0 10 x1 m1，即 x(m1)y 10. 综上可得，当 m1 时，直线方程为 x1； 当 m1 时，直线方程为 x(m1)y10. 二、直线的截距式方程 问题 2若给定直线上两点 A(a,0)，B(0，b)(a0，b0)，你能否得出直线的方程呢？ 提示 x a y b1 知识梳理 我们把方程x a y b1 叫做直线的截距式方程，简称截距式直线与 x 轴的交点(a,0)的横坐标 a 叫做直线在 x 轴上的截距，此时直线在 y 轴上的截

6、距是 b. 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程 (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在 x 轴和 y 轴上的截距，这一点常被用来作 图 (3)与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示 (4)过原点的直线的横、纵截距都为零 例 2求过点 A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线 l 的方程 解(1)当直线 l 在两坐标轴上的截距互为相反数且不为 0 时， 可设直线 l 的方程为x a y a1. 又 l 过点 A(3,4)，所以3 a 4 a1，解得 a1. 所以直线 l 的方程为 x 1 y 11， 即 xy10. (2)当直

7、线 l 在两坐标轴上的截距互为相反数且为 0 时， 即直线 l 过原点时， 设直线 l 的方程为 ykx，因为 l 过点(3,4)，所以 4k3，解得 k4 3，直线 l 的方程为 y 4 3x，即 4x3y0. 综上，直线 l 的方程为 xy10 或 4x3y0. 延伸探究 1.若将点 A 的坐标改为“A(3，4)”，其他条件不变，又如何求解？ 解(1)当直线 l 在两坐标轴上的截距互为相反数且不为 0 时， 设直线 l 的方程为x a y a1， 又 l 过点 A(3，4)，所以3 a 4 a1，解得 a1. 所以直线 l 的方程为x 1 y 11，即 xy10. (2)当直线 l 过原点

8、时，设直线 l 的方程为 ykx，由于 l 过点(3，4)，所以4k(3)， 解得 k4 3. 所以直线 l 的方程为 4x3y0. 综上，直线 l 的方程为 xy10 或 4x3y0. 2若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？ 解(1)当截距不为 0 时，设直线 l 的方程为x a y a1， 又 l 过点(3,4)，所以3 a 4 a1，解得 a7， 所以直线 l 的方程为 xy70. (2)当截距为 0 时，设直线 l 的方程为 ykx， 又 l 过点(3,4)，所以 4k3，解得 k4 3， 所以直线 l 的方程为 y4 3x，即 4x3y0. 综上，直线 l 的方程为 xy

9、70 或 4x3y0. 反思感悟截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数 即可 (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直 (3)要注意截距式方程的逆向应用 跟踪训练 2直线 l 过点 P 4 3，2，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，O 为坐标 原点当AOB 的周长为 12 时，求直线 l 的方程 解设直线 l 的方程为x a y b1(a0，b0)， 由题意知，ab a2b212. 所以 a2b212ab. 两边平方整理得 ab12(ab)720. 又因为直线 l 过点 P

10、 4 3，2. 所以 4 3a 2 b1，整理得 3ab6a4b. 由，得 b3， a4， 或 b9 2， a12 5 ， 所以直线 l 的方程为 3x4y120 或 15x8y360. 1知识清单： (1)直线的两点式方程 (2)直线的截距式方程 2方法归纳：分类讨论法、数形结合法 3常见误区：利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解 1在 x 轴、y 轴上的截距分别是3,4 的直线方程是() A. x 3 y 41 B.x 3 y 41 C. x 3 y 41 D.x 4 y 31 答案A 2过(1,2)，(5,3)的直线方程是() A.y2 51 x1 31 B.y2 32 x1

11、51 C.y1 51 x3 23 D.x2 52 y3 13 答案B 解析所求直线过点(1,2)，(5,3)， 所求直线方程是y2 32 x1 51. 3过点 P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为 0 的直线方程为_ 答案2xy0 或 xy10 解析当直线过原点时，得直线方程为 2xy0； 当在坐标轴上的截距不为零时， 可设直线方程为x a y a1， 将 x1，y2 代入方程可得 a1， 得直线方程为 xy10. 直线方程为 2xy0 或 xy10. 4已知点 A(3,2)，B(1,4)，则经过点 C(2,5)且经过线段 AB 的中点的直线方程为_ 答案2xy10 解析AB 的中点坐标为(1

12、,3)， 由直线的两点式方程可得y3 53 x1 21， 即 2xy10. 课时课时对点对点练练 1过两点(2,1)和(1,4)的直线方程为() Ayx3Byx1 Cyx2Dyx2 答案A 解析代入两点式得直线方程为y1 41 x2 12， 整理得 yx3. 2已知直线 l：axy20 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则实数 a 的值是() A1B1 C2 或1D2 或 1 答案A 解析显然 a0.把直线 l：axy20 化为x 2 a y 21. 直线 l：axy20 在 x 轴和 y 轴上的截距相等， 2 a2，解得 a1. 3若直线x a y b1 过第一、二、三象限，则( ) Aa0

13、，b0Ba0，b0 Ca0Da0，b0 答案C 解析因为直线 l 在 x 轴上的截距为 a，在 y 轴上的截距为 b，且经过第一、二、三象限，故 a0. 4经过点 A(2,5)，B(3,6)的直线在 x 轴上的截距为() A2B3 C27D27 答案D 解析由两点式得直线方程为y6 56 x3 23，即 x5y270，令 y0，得 x27. 5已知ABC 的顶点坐标分别为 A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M 为 AB 的中点，N 为 AC 的中点， 则中位线 MN 所在的直线方程为() A2xy80B2xy80 C2xy120D2xy120 答案A 解析由中点坐标公式可得 M(2,4

14、)，N(3,2)， 再由两点式可得直线 MN 的方程为y4 24 x2 32， 即 2xy80. 6已知 A，B 两点分别在两条互相垂直的直线 y2x 和 xay0 上，且线段 AB 的中点为 P 0，10 a ，则直线 AB 的方程为() Ay3 4x5 By3 4x5 Cy3 4x5 Dy3 4x5 答案C 解析依题意知，a2，P(0,5) 设 A(x0,2x0)，B(2y0，y0)， 则由中点坐标公式，得 x02y00， 2x0y010， 解得 x04， y02， 所以 A(4,8)，B(4,2)， 由直线的两点式方程，得直线 AB 的方程是y8 28 x4 44，即 y 3 4x5.

15、7过点(1,3)且在 x 轴上的截距为 2 的直线方程是_ 答案3xy60 解析由题意知直线过点(2,0)， 又直线过点(1,3)，由两点式可得，y0 30 x2 12， 整理得 3xy60. 8若点 P(3，m)在过点 A(2，1)，B(3,4)的直线上，则 m_. 答案2 解析由两点式方程得，过 A，B 两点的直线方程为y1 41 x2 32， 即 xy10. 又点 P(3，m)在直线 AB 上， 所以 3m10，得 m2. 9求过点 P(6，2)，且在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1 的直线方程 解设直线的截距式方程为 x a1 y a1， 则 6 a1 2 a 1， 解得 a

16、2 或 a1， 则直线的截距式方程是 x 21 y 21 或 x 11 y 11， 即x 3 y 21 或 x 2y1. 10.已知ABC 的三个顶点分别为 A(0,4)，B(2,6)，C(8,0) (1)求边 AC 和 AB 所在直线的方程； (2)求 AC 边上的中线 BD 所在直线的方程 解(1)由截距式，得边 AC 所在直线的方程为 x 8 y 41，即 x2y80. 由两点式，得边 AB 所在直线的方程为y4 64 x0 20， 即 xy40. (2)由题意，得点 D 的坐标为(4,2)， 由两点式，得边 BD 所在直线的方程为y2 62 x4 24， 即 2xy100. 11(多选

17、)过点 A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为() Axy5 Bxy5 Cx4y0 Dx4y0 答案AC 解析当直线过点(0,0)时，直线方程为 y1 4x， 即 x4y0； 当直线不过点(0,0)时，可设直线方程为x a y a1. 把(4,1)代入，解得 a5，所以直线方程为 xy5. 综上可知，直线方程为 xy5 或 x4y0. 12已知ABC 的三个顶点分别为 A(2,8)，B(4,0)，C(6，0)，则过点 B 将ABC 的面积平 分的直线方程为() A2xy40Bx2y40 C2xy40Dx2y40 答案D 解析由 A(2,8)，C(6,0)，得 AC 的中点坐标为 D(4

18、,4)，则过点 B 将ABC 的面积平分的直线 过点 D(4,4)，则所求直线方程为y0 40 x4 44，即 x2y40. 13直线x m y n1 与 x n y m1(mn)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) 答案B 解析易知直线x m y n1 的斜率为 n m，直线 x n y m1 的斜率为 m n ，于是两直线的倾斜角同为锐 角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于 1，一个小于 1，检验 4 个选项，知只有 B 选项 满足 14已知直线 l 过点(2,3)，且在 x 轴上的截距是在 y 轴上截距的两倍，则直线 l 的方程为 _ 答案3x2y0 或 x2y80 解析若 l 在

19、坐标轴上的截距均为 0，即 l 过原点，满足题意，此时 l 的方程为 y3 2x，即 3x 2y0.当 l 在坐标轴上的截距不为 0 时， 设其在 y 轴上的截距为 b， 则 l 的方程为 x 2b y b1， 把(2,3)代入，解得 b4，所以 l 的方程为 x2y80.综上，直线 l 的方程为 3x2y0 或 x 2y80. 15已知 A(3,0)，B(0,4)，直线 AB 上一动点 P(x，y)，则 xy 的最大值是_ 答案3 解析直线 AB 的方程为x 3 y 41， 则 x33 4y， xy3y3 4y 23 4(y 24y) 3 4(y2) 243. 即当 P 点坐标为 3 2，2

20、时，xy 取得最大值 3. 16若直线 l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为 18，求直线 l 的方 程 解直线 l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形， 直线 l 在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为 0. 若 l 在两坐标轴上的截距相等，且设为 a(a0)， 则直线方程为x a y a1，即 xya0. 1 2|a|a|18，即 a 236， a6， 直线 l 的方程为 xy60. 若 l 在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在 x 轴上的截距为 a，则在 y 轴上的截距为 a(a0)， 故直线方程为x a y a1，即 xya0. 1 2|a|a|18，即 a 236， a6， 直线的方程为 xy60. 综上所述，直线 l 的方程为 xy60 或 xy60.