《高考调研》2022版一轮总复习 数学（新高考） 新课标版作业42.doc

1、专题层级快练专题层级快练(四十四十二二) 一、单项选择题 1.(2021江苏海安中学调研)有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍初 日屠五两，今三十日屠讫，问共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人 善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的 2 倍，第一天屠了 5 两肉，共屠了 30 天，问一共屠了多少两肉？”在这个问题中，该屠夫前 5 天所屠肉的总两数为() A35B75 C155D315 答案C 解析由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列，记首项为 a1，公比为 q，前 n 项和为 Sn， 所以 a15，q2， 所以前 5 天所屠肉的总两数为： a1（1q5） 1q 5（12 5） 12 155. 故

2、选 C. 2(2021江西七校联考)在正项数列an中，a12，且点 P(lnan，lnan1)(nN*)在直线 xy ln20 上若数列an的前 n 项和 Sn满足 Sn200，则 n 的最小值为() A2B5 C6D7 答案D 解析将点 P 的坐标(lnan，lnan1)(nN*)代入 xyln20 中，可得 an12an，所以an 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，Sn2（12 n） 12 2n 12，令 Sn200，则 2n1202，所 以 n 的最小值为 7. 3谢尔宾斯基三角形(Sierpinski triangle)是一种分形几何图形，由波兰数学家谢尔宾斯基在 1915 年提出

3、它是一个自相似的例子其构造方法是： (1)取一个实心的等边三角形(图 1)； (2)沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形； (3)挖去中间的那一个小三角形(图 2)； (4)对其余三个小三角形重复(1)(2)(3)(4)(图 3) 制作出来的图形如图 4，. 若图 1(阴影部分)的面积为 1，则图 4(阴影部分)的面积为() A. 9 16 B.4 9 C.27 64 D. 8 27 答案C 解析设图 1 的面积为 a，图 2 被挖去的面积占图 1 面积的1 4，则图 2 阴影部分的面积为 3 4a， 同理图 3 被挖去的面积占图 2 面积的1 4，所以图 3 阴影部分的面积为 3 4 2

4、a，按此规律图 1、 图 2、图 3的面积组成等比数列：a，3 4a， 3 4 2 a， 3 4 3 a，公比为3 4. 由已知图 1(阴影部分)的面积为 1，则图 4(阴影部分)的面积为27 64，选 C. 4设数列an是公差不为零的等差数列，它的前 n 项和为 Sn，且 S1，S2，S4成等比数列， 则a4 a1等于( ) A3B4 C6D7 答案D 解析数列an是公差不为零的等差数列，设公差为 d.S1a1，S22a1d，S44a1 6d.又S1，S2，S4成等比数列，S22S1S4，可得 d2a1或 d0(舍去)a4a13d 7a1.a4 a17.故选 D. 5已知an，bn均为等差数

5、列，且 a28，a616，b24，b6a6，则由an，bn的公共 项组成的新数列cn的通项公式 cn() A3n4B6n2 C6n4D2n2 答案C 解析设an的公差为 d1，bn的公差为 d2， 则 d1a6a2 62 8 42，d 2b 6b2 62 12 4 3. ana2(n2)22n4， bnb2(n2)33n2. 数列an为 6，8，10，12，14，16，18，20，22，数列bn为 1，4，7，10，13，16， 19，22，. cn是以 10 为首项，以 6 为公差的等差数列 cn10(n1)66n4. 6(2021河南洛阳期末)已知等差数列an的公差和首项都不等于 0，且

6、a2，a4，a8成等比数 列，则a1a5a9 a2a3 () A2B3 C5D6 答案B 解析a2，a4，a8成等比数列，a42a2a8，即(a13d)2(a1d)(a17d)，a1d， a1a5a9 a2a3 3a112d 2a13d 3.故选 B. 7(高考真题四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司 2015 年全 年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公 司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是(参考数据：lg1.120.05，lg1.30.11， lg20.30)() A2018 年B2019 年 C2020

7、 年D2021 年 答案B 解析根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以从 2015 年起，每年投入 的研发资金组成一个等比数列an，其中首项 a1130，公比 q112%1.12，所以 an 1301.12n 1.由 1301.12n1200，两边同时取对数，得 n1lg2lg1.3 lg1.12 ，又lg2lg1.3 lg1.12 0.300.11 0.05 3.8，则 n4.8，即 a5开始超过 200，所以 2019 年投入的研发资金开始超过 200 万元故选 B. 二、多项选择题 8已知数列an中，a11，a22，且n1，nN*，其前 n 项和 Sn满足 Sn1Sn12(

8、Sn 1)，则() Aa713Ba814 CS743DS864 答案BC 解析由 Sn1Sn12(Sn1)，得 an1an2(n2)因为 a2a11，所以an从第二项起 为等差数列，且公差 d2.故 a7a25d25212，a8a26d14，所以 A 错误，B 正确；S7a1 6（a2a7） 2 1 6（212） 2 43，S8a1 7（a2a8） 2 1 7（214） 2 57，所以 C 正确，D 错误故选 BC. 9一个弹性小球从 100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的2 3再落下设它第 n 次着地时，经过的总路程记为 Sn，则当 n2 时，下列说法正确的是() ASn500

9、BSn400 CSn的最小值为700 3 DSn的最大值为 400 答案AC 解析本题考查利用等比数列解决实际问题第一次着地时，共经过了 100 m，第二次着地 时 ， 共 经 过 了 1001002 32m ， 第 三 次 着 地 时 ， 共 经 过 了 1001002 32100 2 3 2 2 m， ， 以此类推， 第 n 次着地时， 共经过了1001002 3 2100 2 3 2 2100 2 3 n1 2 m所以 Sn100 400 3 1 2 3 n1 12 3 100 400 1 2 3 n1 .则 Sn是关于 n 的增函数，所以当 n2 时，Sn的最小值为 S2，且 S270

10、0 3 .又 Sn100400 1 2 3 n1 100400500.故选 AC. 三、填空题与解答题 10用分期付款的方式购买一批总价为 2 300 万元的住房，购买当天首付 300 万元，以后每 月的这一天都交 100 万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为 1%.若从首付 300 万元之后 的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第 10 个月应付_万元 答案111 解析购买时付款 300 万元，则欠款 2 000 万元，依题意分 20 次付清，则每次交付欠款的 数额依次构成数列an， 故 a11002 0000.01120(万元)， a2100(2 000100)0.01119

11、(万元)， a3100(2 0001002)0.01118(万元)， a4100(2 0001003)0.01117(万元)， an1002 000100(n1)0.01121n(万元)(1n20，nN*) 因此an是首项为 120，公差为1 的等差数列 故 a1012110111(万元) 11(2020广东潮州期末)从盛满 2 升纯酒精的容器里倒出 1 升纯酒精，然后填满水，再倒出 1 升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒_次后才能使纯酒精体积与 总溶液的体积之比低于 10%. 答案4 解析设开始纯酒精体积与总溶液体积之比为 1，操作一次后纯酒精体积与总溶液体积之比 a11 2，

12、 设操作 n 次后， 纯酒精体积与总溶液体积之比为 a n， 则 an1an 1 2， a na1qn 1 1 2 n ， 1 2 n 2 020？若存在，求 k 的最小值；若不存在，说明理由 从q2；q1 2；q2.这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答 答案见解析 解析若选， 因为 a312，q2，所以 a13. 所以 Sn3（12 n） 12 3(2n1) 令 Sk2 020，即 3(2k1)2 020，得 2k2 023 3 . 所以存在正整数 k，使得 Sk2 020，k 的最小值为 10. 若选， 因为 a312，q1 2，所以 a 148. 所以 Sn 48 1 1 2n

13、11 2 96 1 1 2n. 因为 Sn962 020，即 1(2)k2 020，整理得(2)k2 019， 所以存在正整数 k，使得 Sk2 020，k 的最小值为 11. 14(2021衡水中学调研卷)在 1 到 104之间所有形如 2n与形如 3n(nN*)的数，它们各自之 和的差的绝对值为(lg20.301 0，lg30.477 1)() A1 631B6 542 C15 340D17 424 答案B 解析由 2n104，得 n n n1. 答案(1)证明见解析(2)Snn2，证明见解析 解析(1)证明：an1 an 2an1， 1 an1 2an1 an ，化简得 1 an12 1

14、 an， 即 1 an1 1 an2， 故数列 1 an是以 1 为首项，2 为公差的等差数列 (2)由(1)知1 an2n1， Snn（12n1） 2 n2， 1 Sn 1 n2 1 n（n1） 1 n 1 n1. 证明：1 S1 1 S2 1 Sn 1 12 1 22 1 n2 1 12 1 23 1 n（n1） 11 2 1 2 1 3 1 n 1 n1 1 1 n1 n n1. 16(2021山东德州一中模拟)在b1b3a2；a4b4；S525.这三个条件中任选一 个，补充在下面问题中，若问题中的 k 存在， 求 k 的值；若 k 不存在，说明理由 设等差数列an的前 n 项和为 Sn，bn是等比数列，_，b1a5，b23，b581， 是否存在 k，使得 SkSk1且 Sk1Sk1， 即 SkSkak1， 从而 ak10； 同理，若使 Sk1Sk2， 即 Sk10. 若选， 由 b1b3a2， 得 a21910， 所以 an3n16， 则 k4 时满足 a50 成立； 若选， 由 a4b427 且 a51， 所以数列an为递减数列， 故不存在 ak10； 若选， 由 S5255（a1a5） 2 5a3， 解得 a35，从而 an2n11， 所以当 k4 时，能使 a50 成立