讲与练高中数学1·②·必修第一册·BS版第一章 §1.1 1.1.2　空间向量的数量积运算.pptx

1、1.1.2空间向量的数量积运算 第一章1.1空间向量及其运算 1.了解空间向量的夹角. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法. 3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 4.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求 空间两点间的距离. 学 习 目 标 在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空 间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向 量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义. 导 语 随堂演练课时对点练 一、空间向量的夹角 二、空间向量的数量积运算 三、利用空间向量数量积的性质求模长 内容索引 一、空间向量的

2、夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 则 叫做向量a，b的夹角，记作a，b 范围_ 向量 垂直 如果a，b ，那么向量a，b互相垂直，记作a b 知识梳理 AOB 0a，b 例1(1)对于空间任意两个非零向量a，b，“ab”是“a，b0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析显然a，b0ab， 但ab包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况， 即当ab时，a，b0或，因此aba，b0. 故“ab”是“a，b0”的必要不充分条件. 解连接BD(图略)， 则在正方体ABCDABCD中， ACBD，BAC45，ACADCD， 反思

3、感悟(1)只有两个非零空间向量才有夹角，当两个非零空 间向量共线同向时，夹角为0，共线反向时，夹角为. (2)对空间任意两个非零向量a，b有：a，bb，a； a，ba，b；a，ba，b. A.30 B.60 C.150 D.120 二、空间向量的数量积运算 1.(1)空间向量的数量积 已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab， 即ab .零向量与任意向量的数量积为0，即0a . (2)运算律 |a|b|cosa，b 0 知识梳理 数乘向量与数量积的结合律(a)b ，R 交换律ab_ 分配律a(bc)_ (ab) ba abac 2.向量的投影 (1)如图，在

4、空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可 以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与 向量b共线的向量c，c|a|cosa，b 向量c称为向量a在向量b上的投影 向量.类似地，可以将向量a向直线l投影(如图). (2)如图，向量a向平面投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面 的垂线，垂足分别为A，B，得到向量 ，向量 称为向 量a在平面上的投影向量.这时，向量a， 的夹角就是向量a所在直线 与平面所成的角. 注意点：注意点： (1)向量a，b的数量积记为ab，而不能表示为ab或者ab. (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，

5、其符号由夹角的范围决定. 当为锐角时，ab0；但当ab0时，不一定为锐角，因为也可能为0. 当为钝角时，ab0；但当ab0时，不一定为钝角，因为也可能为. (3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律. 例2如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对 角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算： 反思感悟由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|， |b|和a，b，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹 角的大小，才能使ab计算准确. 跟踪训练2已知空间向量a，b，c满足abc0，|a|3，|b|1，|c| 4，则abbcca的值为_. 解析abc0， (a

6、bc)20， a2b2c22(abbcca)0， 13 三、利用空间向量数量积的性质求模长 问题类比平面向量数量积的性质，给出空间向量数量积的性质. 提示(1)若a，b为非零向量，则abab0； (4)|ab|a|b|(当且仅当a，b共线时等号成立). 例3如图，已知一个60的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别 是在这两个面内且垂直于AB的线段.又知AB4，AC6，BD8，求 CD的长. 解CAAB，BDAB， 反思感悟用数量积求两点间距离的步骤 (1)将两点间的连线用向量表示； (2)用其他向量表示此向量； (3)用公式aa|a|2，求|a|. 跟踪训练3已知在平行六面体ABCDA1B

7、1C1D1中，AA1AB AD1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60，则AC1的长为 则|a|b|c|1， 且a，bb，cc，a60， 1.知识清单： (1)空间向量的夹角、投影. (2)空间向量数量积、性质及运算律. 2.方法归纳：化归转化. 3.常见误区： (1)数量积的符号由夹角的余弦值决定. (2)当a0时，由ab0可得ab或b0. 课堂小结 随堂演练 1.(多选)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列各组向量的夹角 为45的是 1234 1234 3.若a，b为空间夹角是60的两个单位向量，则|ab|_. 1234 1 解析|ab|2(ab)2 a2b22ab1. |ab|

8、1. 60 1 1234 解析方法一连接A1D(图略)， 1234 即PA1D为等边三角形，从而PA1D60， 方法二根据向量的线性运算可得 1234 课时对点练 1.在正四面体ABCD中，点E，F分别是AC，AD的中点， 的夹 角为 A.30 B.60 C.120 D.150 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 2.已知向量a和b的夹角为120，且|a|2，|b|5，则(2ab)a等于 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|b|1，ab 则两 直线的夹角为 A.30 B.60 C.120

9、 D.150 12345678910 11 12 13 14 15 16 则两个方向向量对应的直线的夹角为18012060. 4.(多选)如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F， G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是 12345678910 11 12 13 14 15 16 5.平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCDA1B1C1D1的所有棱长 都为1，且A1ADA1AB60，DAB45，则BD1等于 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.(多选)在正方体A

10、BCDA1B1C1D1中，下列命题是真命题的是 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.已知|a|13，|b|19，|ab|24，则|ab|_. 22 解析|ab|2a22abb21322ab192242， 2ab46，|ab|2a22abb253046484， 故|ab|22. 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.已知a3b与7a5b垂直，且a4b与7a2b垂直，则a，b_.60 解析由条件知(a3b)(7a5b)7|a|215|b|216ab0， (a4b)(7a2b)7|a|2

11、8|b|230ab0，两式相减得46ab23|b|2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以a，b60. 9.已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为侧面 AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算： 12345678910 11 12 13 14 15 16 则|a|c|2，|b|4，abbcca0. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.如图所示，在空间四面体OABC中，OA，OB，OC两两 成60角，且OAOBOC2，E为OA的中点，F为BC的 中点

12、，试求E，F间的距离. 12345678910 11 12 13 14 15 16 11.如图，在大小为45的二面角AEFD中，四边形ABFE， CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是 12345678910 11 12 13 14 15 16 综合运用 12.如图，已知在平行四边形ABCD中，AD4，CD3， D60，PA平面ABCD，且PA6，则PC_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 7 解析OA，OB，OC两两垂直， 12345678910 11 12 13 14 15 16 14.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段B

13、D1上运动， 的取值范围是_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 0,1 A.8 B.4 C.2 D.1 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 AB平面BP2P8P6， 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.如图所示，在平行四边形ABCD中，ABAC1，ACD90，沿 着它的对角线AC将ACD折起，使AB与CD成60角，求此时B，D两点 间的距离. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解在平行四边形ABCD中， ACD90， 12345678910 11 12 13 14 15 16 在空间四边形ABCD中， AB与CD成60角， 12345678910 11 12 13 14 15 16 此时B，D两点间的距离为2， 本课结束 更多精彩内容请登录：