讲与练高中数学1·②·必修第一册·BS版第三章 §3.1 3.1.1 椭圆及其标准方程.pptx
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1、3.1.1椭圆及其标准方程 第三章 3.1椭圆 1.理解并掌握椭圆的定义. 2.掌握椭圆的标准方程的推导. 3.会求简单的椭圆的标准方程. 学 习 目 标 椭圆是圆锥曲线的一种,具有丰富的几何性质,在科研、生产和人类 生活中具有广泛的应用,那么,椭圆到底有怎样的几何特征?我们该 如何利用这些特征建立椭圆的方程,从而为研究椭圆的几何性质奠定 基础? 导 语 随堂演练课时对点练 一、椭圆的定义 二、椭圆的标准方程 三、椭圆的定义及其应用 内容索引 一、椭圆的定义 问题1取一条定长的细线,把它的两端都固定在图板的同一点,套上铅 笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把 细绳
2、的两端拉开一段距离,分别固定在图板中的两点F1,F2,套上铅笔, 拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线? 在这一过程中,移动的 笔尖(动点)满足的几何条件是什么? 提示椭圆,笔尖到两个定点的距离的和等于常数. 把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于 的点的轨迹 叫做椭圆,这 叫做椭圆的焦点, 叫做椭圆的 焦距,焦距的 称为半焦距. 注意点:注意点: (1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值. (2)定值必须大于两定点的距离. (3)当距离的和等于|F1F2|时,点的轨迹是线段. (4)当距离的和小于|F1F2|时,点的轨迹不存在. 常数(大于|F1F2|) 两个定点 知识梳理 两焦点间的
3、距离 一半 二、椭圆的标准方程 问题2观察椭圆的形状,你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程 形式简单? 提示观察可以发现椭圆具有对称性, 而且过两焦点的直线是它的对称轴, 所以我们以经过椭圆两焦点F1,F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线 为y轴,建立平面直角坐标系Oxy, 如图所示,此时,椭圆的焦点分别为F1(c,0)和F2(c,0). 根据椭圆的定义,设M与焦点F1,F2的距离的和等 于2a.由椭圆的定义可知,椭圆可看作点集P M|MF1|MF2|2a. 对方程两边平方,得 对方程两边平方,得 a42a2cxc2x2a2x22a2cxa2c2a2y2, 整理,得(a2c2)x2a
4、2y2a2(a2c2), 将方程两边同除以a2(a2c2), 由椭圆的定义可知2a2c0 ,即ac0, 所以a2c20. 我们将方程称为焦点在x轴上的椭圆方程. 问题3如图,如果焦点F1,F2在y轴上,且F1,F2的坐标 分别是(0,c),(0,c),a,b的意义同上,那么椭圆的 方程是什么? 焦点在x轴上焦点在y轴上 标准方程 _ 图形 焦点坐标_ a,b,c的关系_ F1(c,0),F2(c,0) F1(0,c),F2(0,c) 知识梳理 b2a2c2 注意点:注意点: (1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a. (2)x2项和y2项谁的分母大,焦点就在谁的轴上. 例1求适合下列条件的椭圆
5、的标准方程: (1)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0); 解因为椭圆的焦点在y轴上, 又椭圆经过点(0,2)和(1,0), 解因为椭圆的焦点在y轴上, 由椭圆的定义知, 又c2,所以b2a2c26, 由ab0,知不符合题意,故舍去; 当椭圆焦点在y轴上时,可设椭圆的标准方程为 方法二设椭圆的方程为mx2ny21(m0,n0,mn). 所以所求椭圆的方程为5x24y21, 反思感悟确定椭圆标准方程的方法 (1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置,在中心为原点的前提下, 确定焦点位于哪条坐标轴上,以判断方程的形式. (2)“定量”是指确定a2,b2的具体数值,常根据条件列方程(组)求
6、解. 跟踪训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程: 则a2b0矛盾,舍去. 方法二(待定系数法)设椭圆的方程为Ax2By21(A0,B0,AB). 所以其焦点在y轴上,且c225916. 因为c216,且c2a2b2,故a2b216. 三、椭圆的定义及其应用 从而|F1F2|2c6, 在F1PF2中, |F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60, 即36|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|. 即48|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|. 由得|PF1|PF2|4. 12 F PF S 延伸探究若将本例中“F1PF260”变为“PF1F290”,求 F1P
7、F2的面积. 从而|F1F2|2c6. 在F1PF2中,由勾股定理可得|PF2|2|PF1|2|F1F2|2, 即|PF2|2|PF1|236, 反思感悟椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化. (2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的PF1F2称为焦点三角 形,可以利用椭圆的定义,结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积 公式等知识求解. 跟踪训练2设P为椭圆C: 上一点,F1,F2分别是椭圆C的左、 右焦点,且PF1F2的重心为点G,若|PF1|PF2|34,那么GPF1的 面积为 A.24 B.12 C.8 D.6 |PF1|PF2|34,|PF1
8、|PF2|2a14, |PF1|6,|PF2|8. 12 PF F S 1 21 3 PF FGPF SS, PF1F2的重心为点G, GPF1的面积为8. 1.知识清单: (1)椭圆的定义及其应用. (2)椭圆的标准方程. 2.方法归纳:待定系数法. 3.常见误区: (1)忽视椭圆定义中a,b,c的关系. (2)混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程. 课堂小结 随堂演练 1.设F1,F2为定点,|F1F2|6,动点M满足|MF1|MF2|6,则动点M的 轨迹是 A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 1234 解析|MF1|MF2|6|F1F2|, 动点M的轨迹是线段. 解析c1,由点P(2,0
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