讲与练高中数学1·②·必修第一册·BS版第一章 习题课　空间向量应用的综合问题.pptx

1、习题课空间向量应用的综合问题 第一章 空间向量与立体几何 通过对空间向量的学习，能熟练利用空间向量求点、线、面间的距离、 空间角及解决有关探索性问题. 学 习 目 标 课时对点练 一、利用空间向量求空间角 二、利用空间向量求距离 三、利用空间向量解决探索性问题 内容索引 一、利用空间向量求空间角 例1如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为 正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上， PD平面MAC，PAPD AB4. (1)求证：M为PB的中点； 证明如图，设AC，BD的交点为E，连接ME. PD平面MAC，PD平面PDB，平面MAC平面PDBME， PDME. 四边形ABCD是正

2、方形， E为BD的中点.M为PB的中点. (2)求平面BPD与平面APD的夹角； 解取AD的中点O，连接OP，OE. PAPD，OPAD. 又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，OP平面PAD， OP平面ABCD. OE平面ABCD，OPOE. 底面ABCD是正方形，OEAD. 又平面PAD的一个法向量为p(0,1,0)， 平面BPD与平面APD的夹角为60. (3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值. 设直线MC与平面BDP所成角为， 反思感悟运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤： (1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求出相关点的坐标；(3)写出向量坐标； (4)结合公

3、式进行论证、计算；(5)转化为几何结论. 跟踪训练1如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形 ABEF为正方形，AFDF，AF DFECEF45. (1)求异面直线BC，DF所成角的大小； 解因为四边形ABEF为正方形，AFDF， 所以AF平面DCEF. 又DFECEF45， 所以，在平面DCEF内作DOEF，垂足为点O， 以O为坐标原点，OF所在的直线为x轴， OD所在的直线为z轴建立空间直角坐标系(如图所示). D(0,0，a)，F(a,0,0)，B(3a,4a,0)，C(2a,0，a). (2)求平面BDE与平面BEC所成角的余弦值. 设平面DBE的法向量为n1(x1，y

4、1，z1)， 取x11得平面DBE的一个法向量为n1(1,0，3)， 设平面CBE的法向量为n2(x2，y2，z2)， 取x21得平面CBE的一个法向量为n2(1,0，1)， 设平面BDE与平面BEC的夹角为， 二、利用空间向量求距离 例2已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中 点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG2，求点B到平面EFG的 距离. 解建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则G(0,0,2)，E(4，2，0)， F(2，4,0)，B(4,0,0)， 设平面EFG的法向量为n(x，y，z). xy，z3y. 取y1，则n(1,1，3). 解如图

5、，取CD的中点O，连接OB，OM， 因为BCD与MCD均为正三角形， 所以OBCD，OMCD， 又平面MCD平面BCD，平面MCD平面BCDCD， OM平面MCD， 所以MO平面BCD. 以O为坐标原点，直线OC，BO，OM分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直 角坐标系Oxyz. 因为BCD与MCD都是边长为2的正三角形， 设平面MBC的法向量为n(x，y，z)， 三、利用空间向量解决探索性问题 (1)取PC的中点N，求证：DN平面PAB； 证明取BC的中点E，连接DE，交AC于点O， 连接ON，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，1,0)，B(2，1,0)，C(0,1,0)，D(1,0,

6、0)，P(0，1,2). 点N为PC的中点，N(0,0,1)， 设平面PAB的一个法向量为n(x，y，z)， 可得n(0,1,0)， 又DN 平面PAB，DN平面PAB. (2)求直线AC与PD所成角的余弦值； 设直线AC与PD所成的角为， (3)在线段PD上，是否存在一点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为 45？如果存在，求出BM与平面MAC所成角的大小；如果不存在，请说 明理由. 设平面ACM的一个法向量为m(a，b，c)， 可得m(22，0，)， 由图知平面ACD的一个法向量为u(0,0,1)， 设BM与平面MAC所成的角为， 30. 故存在点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为4

7、5，此时BM与平面 MAC所成的角为30. 反思感悟(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立 的结论当条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为 “点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等. (2)对于位置探索型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论 列出等式，解出参数. 跟踪训练3如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD， 底面ABCD是平行四边形，ABC45，ADAP2，ABDP E为CD的中点，点F在线段PB上. (1)求证：ADPC； 证明如图所示，在平行四边形ABCD中，连接AC， 由余弦定理得，AC2AB2BC22ABBCcos 454，

8、得AC2， 所以ACB90，即BCAC. 又ADBC，所以ADAC. 所以PAAD， 又APACA，AP，AC平面PAC， 所以AD平面PAC， 又PC平面PAC，所以ADPC. (2)试确定点F的位置，使得直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面 ABCD所成的角相等. 解因为侧面PAD底面ABCD，PAAD， 侧面PAD底面ABCDAD，PA侧面PAD， 所以PA底面ABCD， 所以直线AC，AD，AP两两垂直， 以A为原点，直线AD，AC，AP为坐标轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，E(1,1，0)

9、，P(0,0,2)， 易得平面ABCD的一个法向量为m(0,0,1). 设平面PDC的法向量为n(x，y，z)， 令x1，得n(1，1，1). 因为直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等， 课时对点练 1.已知两平面的法向量分别为m(1，1,0)，n(0,1，1)，则两平面 的夹角为 A.60 B.120 C.60或120 D.90 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 即m，n60. 两平面所成角为60. 2.在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段AA1的中点，F为线段 C1D1上靠近D1的三等分点，则异面直线A1B与

10、EF所成角的余弦值为 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析如图，建立空间直角坐标系， 则A1(3,0,0)，B(3,3,3)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点M为棱CC1的中点，则直线 B1M与平面A1D1M所成角的正弦值是 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(1,0,1)，D1(0,0,1)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 设平面A1D1M的法向量为m(x，y，z)， 令y1可得z2，所

11、以m(0,1,2)，设直线B1M与平面A1D1M所成角为， 4.在三棱锥PABC中，PC底面ABC，BAC90，ABAC4， PBC45，则点C到平面PAB的距离是 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析方法一建立如图所示的空间直角坐标系， 12345678910 11 12 13 14 15 16 设平面PAB的法向量为m(x，y，z)， 方法二PC底面ABC， PCAB，又ABAC，且PCACC，PC，AC平面PAC， AB平面PAC， ABPA， ACAB4， 12345678910 11 12 13 14 15 16 令点C到平面PAB的距离为d， VPABC

12、VCP AB， 5.如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB3，E为线 段AB上一点，且AE 则DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴， z轴建立空间直角坐标系， 则C1(0,3,1)，D1(0,0,1)，E(1,1,0)，C(0,3,0)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 设平面D1EC的法向量为n(x，y，z)， 取y1，得n(2,1,3). 6.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1

13、ED与平面 ABCD所成的角的余弦值为 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 设棱长为1， 12345678910 11 12 13 14 15 16 设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)， n1(1,2,2)； 平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.设A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(5，4,8)，则点D到平面ABC的距 离为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设平面ABC的法

14、向量为n(x，y，z). 12345678910 11 12 13 14 15 16 令z2，则n(3,2，2). 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析以O为原点，OA为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OP为z轴， 建立空间直角坐标系，则B(1,2,0)，P(0,0,2)，C(1,2,0)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 设平面PCO的法向量m(x，y，z)， 设直线BM与平面PCO所成角为， 9.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC的中点，F是 DD1的中点. 12345678910 11 12 13 14 1

15、5 16 (1)求证：CF平面A1DE； 证明分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐 标系， 则A1(2,0,2)，E(1,2,0)，D(0,0,0)，C(0,2,0)，F(0,0,1)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 设平面A1DE的法向量n(a，b，c)， 取n(2,1,2)， 又CF 平面A1DE，CF平面A1DE. (2)求平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值. 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.如图，平面ABDE平面ABC，ABC是等腰直角三角形，ACBC 4，四边形ABDE是直角梯形，BDAE

16、，BDBA，BD 2，O，M 分别为CE，AB的中点. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (1)求异面直线AB与CE所成角的大小； 解DBBA，平面ABDE平面ABC， 平面ABDE平面ABCAB，DB平面ABDE， DB平面ABC. BDAE， EA平面ABC. 如图所示，以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴，以过点C 且与EA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系. ACBC4，C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,4,0)，E(4,0,4)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13

17、14 15 16 (2)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解由(1)知O(2,0,2)，D(0,4,2)，M(2,2,0)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 设平面ODM的法向量为n(x，y，z)， 令x2，则y1，z1，n(2,1,1). 设直线CD与平面ODM所成的角为， 11.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为线段AB的中点，点F 在线段AD上移动，异面直线B1C与EF所成角最小时，其余弦值为 12345678910 11 12 13 14 15 16 综合运用 解析以D为原点

18、，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z 轴，建立空间直角坐标系， 在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为线段AB的中 点，设正方体棱长为2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 设异面直线B1C与EF的夹角为， 异面直线B1C与EF所成角最小时， 则cos 最大，即m0时， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12.如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB， AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设正三棱柱的棱长为2，取AC

19、的中点D，连接DG，DB，分别以DA， DB，DG所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 12345678910 11 12 13 14 15 16 设平面GEF的法向量为n(x，y，z)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 13.如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，直线CC1与平 面ACD1所成角的正弦值为 则正四棱柱的高为_. 4 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建 立如图所示的空间直角坐标系，设DD1a， 则A(2,0,0)，

20、C(0,2,0)，D1(0,0，a)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 设平面ACD1的一个法向量为n(x，y，z)， 解得a4. 12345678910 11 12 13 14 15 16 14.设动点P在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，记 .当APC为锐角时，的取值范围是_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 因为APC为锐角， 又因为动点

21、P在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上， 15.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段AA1上的一个动点，F为 线段B1C1上的一个动点，则平面EFB与底面ABCD所成的角的余弦值的取 值范围是 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设平面EFB与底面ABCD所成的角为，如图所示，建立空间直角 坐标系，设正方体的棱长为1，AEm，FC1n， 则D(0,0,0)，A(1，0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)， D1(0，0,1)，E(1,0，m)，F(n,1,1). 12345678910 11 12 13 14 15

22、 16 设平面EFB的一个法向量为n(x，y，z)， 取x1，则平面EFB的法向量为(1，m(n1)，n1)，而底面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)， 结合选项，当n1时，cos 0， 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.如图，已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD AA11，AB2，点E在棱AB上移动. (1)求证：D1EA1D； 12345678910 11 12 13 14 15 16 证明AE平面AA1D1D，A1D平面AA1D1D，AEA1D. 在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11， A1DAD1. AEAD1A， A1D平面AED1. D1E平面AED1， D1EA1D. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空 间直角坐标系，如图所示. 设棱AB上存在点E(1，t,0)(0t2)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 A(1,0,0)，D1(0,0,1)，C(0,2,0)， 设平面D1EC的法向量为n(x，y，z)， 取y1，得n(2t,1,2)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 整理，得t24t90， 本课结束 更多精彩内容请登录：