讲与练高中数学1·②·必修第一册·BS版第一章 §1.1 1.1.1 第1课时　空间向量及其线性运算.pptx

1、第1课时空间向量及其线性运算 第一章 1.1.1空间向量及其线性运算 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念. 2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程. 3.掌握空间向量的线性运算. 学 习 目 标 国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦 江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以 用什么数学概念来表示这个过程？如果游客还要登上东方明珠顶端(D) 俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那么他实际发生的位移是什么？又如何 表示呢？ 导 语 随堂演练课时对点练 一、空间向量的有关概念 二、空间向量的加减运算 三、空间向

2、量的数乘运算 内容索引 一、空间向量的有关概念 1.在空间，把具有 和 的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做 空间向量的 或 . 空间向量用有向线段表示，有向线段的 表示空间向量的模，a的起点 是A，终点是B，则a也可记作 ，其模记为 或 . 知识梳理 方向大小 长度模 长度 |a| 2.几类特殊的空间向量 名称定义及表示 零向量规定长度为0的向量叫做 ，记为0 单位向量 的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度 而方向 的向量，叫做a的相反向 量，记为_ 零向量 模为1 相等相反 a 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线_ ，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零 向量

3、与任意向量 ，即对于任意向量a，都有0 a 相等向量 方向 且模 的向量称为相等向量.在空间，_ 且 的有向线段表示同一向量或相等向量 互相平行或 重合 平行 相同相等同向 等长 注意点：注意点： (1)平面向量是一种特殊的空间向量. (2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同. (3)向量不能比较大小. (4)共线向量不一定具备传递性，比如0. 例1(1)下列关于空间向量的说法中正确的是 A.单位向量都相等 B.若|a|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 D.相等向量其方向必相同 解析A中，单位向量长度相等，方向不确定； B中，|a|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定； C

4、中，向量不能比较大小. (2)(多选)下列命题为真命题的是 A.若空间向量a，b满足|a|b|，则ab B.在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有 C.若空间向量m，n，p满足mn，np，则mp D.空间中，ab，bc，则ac 解析A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等， 而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同； C为真命题，向量的相等满足传递性； D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b0时，a与c不一定平行. 反思感悟空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其 他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向 量等都可以拓展为空间向量

5、的相关概念. 跟踪训练1如图所示，以长方体ABCDA1B1C1D1 的八个顶点的两点为起点和终点的向量中， 二、空间向量的加减运算 问题空间中的任意两个向量是否共面？为什么？ 提示共面，任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向 量的加减运算与平面中一致. 加法 运算 三角形 法则 语言叙述首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边 形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形， 共起点对角线为和 图形叙述 知识梳理 减法 运算 三角形 法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 加法 运算 交换律abba 结合律(ab)ca(bc) 注意点：注意点： (1)求

6、向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点. (2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用. 例2(1)(多选)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列各式运算结果 为 的是 0 解析方法一(转化为加法运算) 方法二(转化为减法运算) 反思感悟空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关 键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接. (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运 算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自 由平移获得运算结果. 跟踪训练2如图，已知空间四边形ABC

7、D，连接AC， BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以 下式子，并在图中标出化简结果. 三、空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向 量，称为空间向量的数乘 几何 意义 0a与向量a的方向_ a的长度是a的长度的 倍 0a与向量a的方向_ 0a0，其方向是任意的 运算 律 结合律(a)_ 分配律()a ，(ab)_ 知识梳理 相同 相反 | ()a aa ab 注意点：注意点： (1)当0或a0时，a0. (2)的正负影响着向量a的方向，的绝对值的大小影响着a的长度. (3)向量a与向量a一定是共线向量. 例3如图所示，在平行六面体ABCD

8、A1B1C1D1中，设 M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下 各向量： 解P是C1D1的中点， 解N是BC的中点， 解M是AA1的中点， 延伸探究 1.例3的条件不变，试用a，b，c表示向量 解因为P，N分别是D1C1，BC的中点， 反思感悟利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法 则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量. (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质. 跟踪训练3已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一 点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O

9、，Q是CD的中点，求 下列各题中x，y的值. x2，y2. 1.知识清单： (1)向量的相关概念. (2)向量的线性运算(加法、减法和数乘). (3)向量的线性运算的运算律. 2.方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想. 3.常见误区：应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是 一个“量”，而不是一个数. 课堂小结 随堂演练 1.(多选)下列命题中，真命题是 A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等 1234 解析容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相

10、反向量. 1234 A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形 1234 四边形ABCD为平行四边形. 4 1234 1234 解析根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断： 课时对点练 1.下列说法中正确的是 A.空间中共线的向量必在同一条直线上 B. 的充要条件是A与C重合，B与D重合 C.数乘运算中，既决定大小，又决定方向 D.在四边形ABCD中，一定有 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析对于A，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合， 所以A错误； 12345678910 11 12 13 14 15 16 对于C

11、，既决定大小又决定方向，所以C正确； 综上可知，正确的为B. 2.向量a，b互为相反向量，已知|b|3，则下列结论正确的是 A.ab B.ab为实数0 C.a与b方向相同 D.|a|3 解析向量a，b互为相反向量，则a，b模相等，方向相反，故选D. 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.如图，在四棱柱的上底面ABCD中， 则下列向量相等的是 12345678910 11 12 13 14 15 16 A.abcB.abc C.bacD.bac 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.(

12、多选)已知平行六面体ABCDABCD，则下列四式中正确的有 12345678910 11 12 13 14 15 16 C显然正确； 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 又M是AA1的中点， 12345678910 11 12 13 14 15 16 9.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是BB1的中点. 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解因为M是BB1的中点， 12345

13、678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 综合运用 12.如图，在平行六面体ABCDABCD中，AC与BD的交点为O， 点M在BC上，且BM2MC，则 等于 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析因为BM2MC， 12345678910 11 12 13 14 15 16 在平行六面体ABCDABCD中， 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析在四面体ABC

14、D中，E，G分别是CD，BE的中点， 12345678910 11 12 13 14 15 16 14.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中， O为AC的中点. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 6 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.如图，已知ABCDABCD是平行六面体. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解如图，取AA的中点E，在DC上取一点F， 使DF2FC，连接EF， 12345678910 11 12 13 14 15 16 本课结束 更多精彩内容请登录：