讲与练高中数学1·②·必修第一册·BS版第三章 §3.2 3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质.pptx
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1、第1课时双曲线的简单几何性质 第三章 3.2.2双曲线的简单几何性质 1.掌握双曲线的简单几何性质. 2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程. 学 习 目 标 在研究椭圆的几何性质时,我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、 焦点、对称性、离心率等多方面进行了研究,下面我们类比研究椭圆 性质的方法研究双曲线的性质. 导 语 随堂演练课时对点练 一、双曲线的几何性质 二、由双曲线的几何性质求标准方程 三、求双曲线的离心率 内容索引 一、双曲线的几何性质 提示1.范围 所以xa 或xa; yR. 2.对称性 x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心,又叫做双曲线的中心. 3.顶点 (1)双
2、曲线与对称轴的交点,叫做双曲线的顶点 . 顶点是A1(a,0),A2(a,0),只有两个. (2)如图,线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长为2a,a叫做实半轴长;线 段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长. (3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线. 方程为x2y2m(m0). 4.渐近线 (2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图. 5.离心率 (2)e的范围:e1. (3)e的含义:因为ca0,所以可以看出e1, 焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上 标准方程 _ 图形 知识梳理 性 质 范围_ 对称性对称轴: ;对称中心:_ 顶点坐标_ _ 渐近线 _ 离心率
3、e ,e ,其中c a,b,c间的关系c2 (ca0,cb0) xa或xa ya或ya 坐标轴原点 A1(a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,a) (1,) a2b2 注意点:注意点: (1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小,e越大,开口越大. (2)等轴双曲线的离心率为 渐近线方程为yx. (3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置. (4)焦点到渐近线的距离为b. 例1(教材P124例3改编)求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、 实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程. 因此顶点坐标为A1(3,0),A2(3,0), 实轴长2a6,虚轴长2b4, 延伸探究若
4、将双曲线的方程变为nx2my2mn(m0,n0),求双曲线 的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程. 反思感悟由双曲线的方程研究几何性质 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值. (3)由c2a2b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质. 跟踪训练1求双曲线25y216x2400的实半轴长和虚半轴长、焦点坐 标、离心率、渐近线方程. 由此可知,实半轴长a4,虚半轴长b5; 二、由双曲线的几何性质求标准方程 例2求满足下列条件的双曲线的方程: 联立,无解. 联立,解得a28,b232. 反思感悟由双曲线的性质求双曲线
5、的标准方程 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程,一般用待定系数法转化为 解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程的形式. (2)巧设双曲线方程的技巧 渐近线方程为axby0的双曲线方程可设为a2x2b2y2(0). 跟踪训练2求满足下列条件的双曲线的标准方程: 代入c2a2b2,得a29, 解当所求双曲线的焦点在x轴上时, 当所求双曲线的焦点在y轴上时, 三、求双曲线的离心率 又由圆C:x2y210y210,可得圆心为C(0,5),半径r2, 反思感悟求双曲线离心率的方法 (1)直接法:若可求得a,c,则直接利用e 得解. (2)解方程法:若得到的是关于a,c的齐次方程pc2
6、qacra20(p,q, r为常数,且p0),则转化为关于e的方程pe2qer0求解. 由|PF2|QF2|,PF2Q90, 知|PF1|F1F2|, 所以c22aca20, 即e22e10, 1.知识清单: (1)双曲线的几何性质. (2)等轴双曲线. (3)双曲线的离心率. 2.方法归纳:待定系数法、直接法、解方程法. 3.常见误区:求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错. 课堂小结 随堂演练 1. (多选)已知双曲线方程为x28y232,则 A.实轴长为B.虚轴长为4 C.焦距为6D.离心率为 1234 2.双曲线 的左焦点与右顶点之间的距离等于 A.6 B.8 C.9 D.10 1234
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