复数与新文化培优练习题.pdf

1、第 1 页 共 102 页 1已知复数 1 z和 2 z满足 11 8 14546zizi ， 12 3zz，则 2 z的取值范 围为（） A0,13B3,9C0,10D3,13 2设复数 1 2sincos 42 zi 在复平面上对应向量 1 OZ ，将向量 1 OZ 绕 原点 O 按顺时针方向旋转 3 4 后得到向量 2 OZ ， 2 OZ 对应复数 2 cosisinzr， 则tan（） A 2tan1 2tan1 B 2tan1 2tan1 C 1 2tan1 D 1 2tan1 3已知复数z满足1z ，且有 17 1zz ，求z （） A 13 22 i B 31 22 i C 22

2、 22 i D都不对 4已知复数 z 满足 zz 4 且 zz |z|=0，则 z2019的值为 A1B2 2019 C1D2 2019 5关于 x 的实系数方程 2 450 xx 和 2 20 xmxm 有四个不同的根，若这四 个根在复平面上对应的点共圆，则 m 的取值范围是（） A 5B1C0,1D0,11 6若集合|2 cos arcsincos arccos,1Nz ztittR t ， 1 |,1,0 1 tt Mz zi tR tt tt ，则MN中元素的个数为（） A0B1C2D4 7已知Cz，且1,zii为虚数单位，则3 5zi 的最大值是 （） A5B6 C7D8 第 2 页

3、 共 102 页 8在复数列 n z中， 1 8 16zi， 1 2 nn i zzn N，设 n z在复平面上对应的点 为 n Z，则（） A存在点M，对任意的正整数n，都满足10 n MZ B不存在点M，对任意的正整数n，都满足5 5 n MZ C存在无数个点M，对任意的正整数n，都满足6 5 n MZ D存在唯一的点M，对任意的正整数n，都满足8 5 n MZ 9在复平面内，复数,zabi aR bR对应向量OZ （O为坐标原点） ，设 OZr ， 以射线Ox为始边，OZ为终边逆时针旋转的角为， 则cossinzri， 法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理： 1111 cossinzri， 2

4、222 cossinzri， 则 1 21 21212 cossinz zrri ，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式： cossincossin n nn zrirnin ，则 10 13i （） A1024 1024 3i B 1024 1024 3i C512 512 3i D512 512 3i 10已知复数( ,)zxyi x yR，且|2|3z ，则 1y x 的最大值为（） A 3 B 6 C2 6 D2 6 11设复数z的共轭复数是z，且1z ，又复数z对应的点为Z，( 1,0)A 与(0,1)B 为定点，则函数( )(1)()f zzzi取最大值时在复平面上以Z，A，B三点为顶点

5、 的图形是 A等边三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形 12 （2018 广东珠海一中等六校高三第三次联考）已知 02 012 12222 nn n ibibibibi 2ni（，为虚数 单位） ，又数列 n a满足：当1n 时， 1 2a ；当2n， n a为 2 2 2bi 的虚部， 若数列 2 n a 的前n项和为 n S，则 2018 S A 2017 2018 B 2018 2017 C 4035 2018 D 4033 2017 第 3 页 共 102 页 13设,A B为锐角三角形的两个内角，则复数(cottan)(tancot)zBABA i对 应的点位于复平面的（）

6、 A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 14现定义cossin i ei ，其中i为虚数单位，e为自然对数的底数，R，且 实数指数幂的运算性质对 i e 都适用，若 0523244 555 coscossincossinaCCC， 1432355 555 cossincossinsinbCCC，那么复数abi等于 Acos5sin5i Bcos5sin5i Csin5cos5i Dsin5cos5i 15 已知izab(Ri)ab、， 是虚数单位，1 2 ,Cz z ， 定义：( )D zzab， 1212 ( ,)D z zzz给出下列命题： （1）对任意Cz，都有( )0D z ； （

7、2）若z是复数z的共轭复数，则( )( )D zD z恒成立； （3）若 12 (z )(z )DD 12 (C)zz 、，则 12 zz； （4）对任意，结论 131223 ( ,)( ,)(,)D z zD z zD zz恒成立，则其中真 命题是答 A （1） （2） （3） （4）B （2） （3） （4）C （2） （4）D （2） （3） 16复数 z 与点 Z 对应， 12 ,z z为两个给定的复数， 12 zz，则 12 ZZZZ决定 的 Z 的轨迹是（ ） A 过 12 ,Z Z的直线B线段 12 Z Z的中垂线 C双曲线的一支D以 12 ,Z Z为端点的圆 17复数zabi,

8、 a bR的虚部记作 Im zb，则 1 2 Im i A 1 3 B 2 5 C 1 3 D 1 5 18若cossinzi（i为虚数单位） ，则 2 1z 的值可能是 A、 6 B、 4 C、 3 D、 2 第 4 页 共 102 页 19设复数 13 22 i ，则化简复数 1+ 23 （ ） A1B2C 13 22 i D 13 22 i 20 设 12 ,x x是实系数一元二次方程 2 0axbxc 的两个根， 若 1 x是虚数， 2 1 2 x x 是实数， 则 2481632 111111 222222 1 xxxxxx A xxxxxx （） A0B 1C2D1 21设 S 为

9、复数集 C 的非空子集，若对任意, x yS，都有,xy xy xyS，则称 S 为封闭集下列命题：集合| ,Sabi a b为整数，i 为虚数单位）为封闭集； 若 S 为封闭集，则一定有0S；封闭集一定是无限集；若 S 为封闭集，则满足 STC的任意集合 T 也是封闭集.其中真命题的个数为（） A1B2C3D4 22若复数1,0 xyi xR y的模为1，则 1 y x 的取值范围是（） A0, 3 B 3 0, 3 C 3 0, 3 D 33 , 33 23 已知 1 z、 2 zC， 且 1 41zi-=， 22 2 32zzi-=-（i是虚数单位） ， 则 12 zz 的最小值为（）

10、A4B3C2D1 24已知复数z满足|43 | 2zi，则|z的最大值为（） A7B6C5D4 25若复数zabi（a，b 为实数）都可以表示为(cossin )ri的形式，其中 r 是复数 z 的模，是以 x 轴的非负半轴为始边，向量OZ 所在射线（射线 OZ）为终边 的角，叫做复数zabi的辐角，规定在 0,2 ) 范围内的辐角的值为辐角主值， 通常记作arg z例如1zi 的三角形式为2 cossin 44 i ，则arg 4 z ，已 知复数1 cossin 2 zi ，则 z 的辐角主值arg z为（） 第 5 页 共 102 页 A 42 B 22 C 5 42 D 3 22 26

11、ABC的三个顶点所对应的复数分别为中 123 ,4,5z zzABAC，点 O 为 ABC所在平面内一点，对应复数 z，满足 123 zzzzzz，则AO BC （） A3B 9 2 C6D10 27已知复数z满足(1)1 2i zi ，则 10 |() 2 zbibR的一个充分不必要条件 是（） A1,0b B1,0b C0,1bD1,2b 28瑞士数学家欧拉被认为是历史上最伟大的数学家之一，他发现了欧拉公式 cossin ix exix xR，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指 数函数的关系特别是当x 时，得到一个令人着迷的优美恒等式10 i e ，这个 恒等式将数学中五个

12、重要的数（自然对数的底e，圆周率，虚数单位i，自然数的单 位1和数字0） 联系到了一起， 若 i e 表示的复数对应的点在第二象限， 则可以为 （） A 3 B 2 3 C 3 2 D 11 6 29复数z满足1z ，且使得关于x的方程 2 0 xz xz 有实根，则这样的复数z 的个数为（） A1 个B2 个C3 个D4 个 30设 i 是虚数单位，则 232020 2342021iiii 的值为（） A1011 1010i B1010 1010i C1010 1012i D1011 1010i 第 6 页 共 102 页 31如图，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，交BC于

13、E，过 点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论： BD平分CBF； 2 FBFD FA ； AE CEBE DE； AF BDAB BF 所有正确结论的序号是 ABCD 32在O 中，直径 AB、CD 互相垂直，BE 切O 于 B，且 BE=BC，CE 交 AB 于 F， 交O 于 M，连结 MO 并延长，交O 于 N，则下列结论中，正确的是 ACF=FMBOF=FB C的度数是 225 DBCMN 33第 24 届冬季奥林匹克运动会，将在 2022 年 2 月 4 日在中华人民共和国北京市和张 家口市联合举行这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第

14、一个举 办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市 同时中国也成为第一个实现奥运 “全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家根据规划， 国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟 瞰图如图所示， 内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆， 若由外层椭圆长轴一端点A和 短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD（如图） ， 且两切线斜率之积等于 9 16 ， 则椭圆的离心率为（） 第 7 页 共 102 页 A 3 4 B 7 4 C 9 16 D 3 2 34 我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形来推算球的体积.

15、如图 1，在一个棱长为2a的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是 牟合方盖，如图 2，设平行于水平面且与水平面距离为h的平面为，记平面截牟合 方盖所得截面的面积为S，则函数( )Sf h的图象是（） AB CD 第 8 页 共 102 页 35 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具， 既经济又环保， 明代科学家徐光启在 农 政全书中用图 1 描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个 盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆） ，筒车的半径为 2m，筒车 的轴心 O 到水面的距离为 1m，筒车每分钟按逆时针转动 2 圈.规定：盛水筒 M 对应的 点

16、P 从水中浮现（即 0 P时的位置）时开始计算时间，设盛水筒 M 从 0 P运动到点 P 时所 用时间为 t（单位：s） ，且此时点 P 距离水面的高度为 h（单位：m）.若以筒车的轴心 O 为坐标原点，过点 O 的水平直线为 x 轴建立平面直角坐标系xOy（如图 2） ，则 h 与 t 的函数关系式为（） A2sin1 156 ht ，0,tB2sin1 156 ht ，0,t C2sin1 6 ht ，0,tD2sin1 6 ht ，0,t 36设, a b是实数，定义： 22 991()aba bmaabmR.若满足此不等式： 1(2(20182019)1 ，则m的取值范围是 Am1B

17、20 32 3 m C 913 329 m D 329432 3 1 361 m 第 9 页 共 102 页 37阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262190年）的著作圆锥曲线论是古 代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常数 0,1k kk的点的轨还是圆， 后人把这个国称为阿波罗尼斯圆， 已知定点2,0A 、 2,0B，动点C满足2ACBC，则动点C的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为 圆P，已知点D在圆P上（点D在第一象限） ，AD交圆P于点E，连接EB并延长交 圆P于点F，连接DF，当DFE30 时，直线 AD的斜率为（） A 39 13 B 26 13

18、C 3 4 D 13 4 38十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是 勾股定理，另一个是黄金分割如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割 比作钻石矿，”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为 是最美的三角形，它是一个顶角为36o的等腰三角形（另一种是顶角为108的等腰三角 形） ，如图所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在其中一个黄金 ABC中， 51 2 BC AC ，据这些信息，可得sin126 （） A 51 4 B 51 4 C 53 8 D 2 51 4 39我们把 2 21 n n F 0,1,2,n 叫

19、“费马数”（费马是十七世纪法国数学家） 设 2 log1 nn aF，1,2,3,n ，设数列 n a的前n项和为 n S，则使不等式 123 2021 2 n SSSSn成立的正整数n的最小值是（） A8B9 C10D116 第 10 页 共 102 页 40瑞典人科赫提出了著名的“雪花”曲线，这是一种分形曲线，它的分形过程是：从一 个正三角形(如图)开始，把每条边分成三等份，以各边的中间部分的长度为底边，分 别向外作正三角形后，抹掉“底边”线段，这样就得到一个六角形(如图)，所得六角形 共有 12 条边.再把每条边分成三等份，以各边的中间部分的长度为底边，分别向外作正 三角形后，抹掉“底边

20、”线段.反复进行这一分形，就会得到一个“雪花”样子的曲线，这样 的曲线叫作科赫曲线或“雪花”曲线.已知点 O 是六角形的对称中心，A，B 是六角形的两 个顶点，动点 P 在六角形上(内部以及边界).若OP xOAyOB uuu ruuruuu r ，则x y 的取值范围 是（） A 3,3B 4,4C 5,5D 6,6 41 十九世纪下半叶集合论的创立， 莫定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学 理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间0，1均分为 三段， 去掉中间的区间段 1 2 ( , ) 3 3 ， 记为第一次操作； 再将剩下的两个区间 1 0, 3 ，

21、2 ,1 3 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；，如此这样，每次在 上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段 操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”若使去掉的 各区间长度之和不小于 26 27 ，则需要操作的次数 n 的最小值为（）参考数据： lg20.3010，lg30.4771 A6B7C8D9 第 11 页 共 102 页 42意大利画家列奥纳多达芬奇的画作抱银鼠的女子 （如图所示）中，女士颈部的 黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达芬奇 提出：固定项链的两端，使其在

22、重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著 名的“悬链线问题”.后人研究得出， 悬链线并不是抛物线， 而是与解析式为 2 xx ee y 的 “双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是（） AB CD 43阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏 圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数0,1 的动点的轨迹已知在 ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin2sinAB， coscos3aBbA，则ABC面积的最大值为（） A3B3 3C6D6 3 第 12 页 共 102 页 44南宋数学家秦九韶在数书九章中提出“三斜求积术”，即

23、“以小斜幂并大斜幂减 中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开 平方得积”，可用公式 2 222 22 1 42 cab Sc a （其中 a，b，c，S 为三角形的三 边和面积）表示，在ABC中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，若2a ，且 2 coscosbCcBc ，则ABC面积的最大值为（） A1B 3 C 6 D2 6 45埃及著名的吉沙Giza大金字塔，它的形状是正四棱锥.大金字塔内有着奇妙的走 道设计， 以及神秘的密室， 已知它的高度的2倍的平方等于它的侧面积.则高的平方与底 面棱长的平方的比值为（） A1 5 8 B1 5 8 C

24、1 5 4 D1 5 4 46“中国天眼”是我国具有自主知识产权，世界最大单口径，最灵敏的球面射电望远镜 （如图） 其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为 底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积S2 Rh，其中 R 为球的半径， h 为球冠的高） 设球冠底的半径为 r， 周长为 C， 球冠的面积为 S， 则当216CS， 时， r R （） A 1 2 B 15 8 C 13 8 D 17 8 第 13 页 共 102 页 47陕西关中一带流行一种纸牌叫“花花牌”，俗称“花花”，牌面纸质和扑克牌差不多， 窄长条型的，宽3.5厘米，长14厘米牌面中间画上人物或

25、花草图案，两头则有一些黑 红两色的椭圆点，像盲文，这些点的多少代表了牌面的大小由于“花花牌”不含数字， 不识字的人也可以玩，故很受百姓欢迎相传“花花牌”与唐代流行的“骨牌”玩法颇为相 似，下图给出了四张“骨牌”，请按此规律（自左向右）推测下一张“骨牌”应该是（ ） ABCD 48数独是源自 18 世纪瑞士的一种运用纸、笔进行演算的逻辑游戏.玩家需要根据 99 盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线 宫 （33） 内的数字均含 1-9.2020 年中国数独锦标赛决赛作为 2020 数独大会重要赛事之 一于 10 月 18 日在国家体育总局举行.某选手在解决如

26、图所示的标准数独题目时，正确 完成后，记第i行的数字分别为 1 i a， 2i a， 3i a， 9i a，令 12345678 2345678 iiiiiiiii baaaaaaaa 9 9 i a，1,2,3,8,9i ，则 129 bbb（） A45B45 C225D225 第 14 页 共 102 页 49窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一每年新春 佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的， 并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸 窗花，已知图二中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心

27、为正六边形的中心，半 径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则PM PN 的取值范围 是（） A6,12B6,16C8,12D8,16 50高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名 字命名的“高斯函数”：设,xR用 x表示不超过x的最大整数，则 yx称为高斯函 数，也称取整函数，例如：3.74, 2.32 .已知 11 12 x x e fx e ，则函数 yfx 的值域为（ ） A 0B1,0C2, 1,0D1,0,1 51德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数 1 ( ) 0 x yD x x 为有理数 为无理数 ，该函数被称为

28、狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下 四个命题： ( )0D D x；对任意xR，恒有( )D xDx成立； 任取一个不为零的有理数T，( )D xTD x对任意实数x均成立； 存在三个点 11 ,A x D x、 22 ,B x D x、 33 ,C x D x，使得ABC为等边三 角形；其中真命题的序号为（） ABCD 第 15 页 共 102 页 52 九章算术中方田章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并 之，二而一其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积 1 2 （弦矢+矢矢） 弧田是 由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的 “弦”指的是弧

29、田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差，现 有一弧田，其弧田弦AB等于 6 米，其弧田弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公 式算得该弧田的面积为 7 2 平方米，则sin 2 AOB （） A 3 4 B 7 25 C 4 5 D 3 5 53 我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大 正方形（如图） 如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小 的锐角为，那么tan 4 的值等于（） A7B 1 7 C7D 24 25 54电影刘三姐中有一个“舟妹分狗”的片段.其中，罗秀才唱道:三百条狗交给你， 一少三多四下分，不要

30、双数要单数，看你怎样分得匀?舟妹唱道；九十九条圩上卖，九 十九条腊起来，九十九条赶羊走，剩下三条，财主请来当奴才（讽刺财主请来对歌的三 个奴才）.事实上，电影中罗秀才提出了一个数学问题：把300条狗分成4群，每群都是 单数，1群少，3群多，数量多的三群必须都是一样的，否则就不是一少三多，问你怎 样分?舟妹已唱出其中一种分法，即3,99,99,99，那么，所有分法的种数为（） A6 B9 C10 D12 第 16 页 共 102 页 55将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如 悬索桥等.建立适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为 cosh x fxa a

31、 ， 其中a为悬链线系数，coshx称为双曲余弦函数，其函数表达式为cosh 2 xx ee x ， 相应地双曲正弦函数的函数表达式为sinh 2 xx ee x .若直线x m 与双曲余弦函数 1 C和双曲正弦函数 2 C分别相交于点A，B，曲线 1 C在点A处的切线与曲线 2 C在点B 处的切线相交于点P，则（） Asinhcoshyxx是偶函数Bcoshcosh coshsinh sinhxyxyxy CBP随m的增大而减小D PAB 的面积随m的增大而减小 56天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲乙丙 丁戊己庚辛壬癸；十二地支即子丑寅卯辰已午未申酉戌亥天干地

32、支纪 年法是按顺序以一个天干和一个地支相配， 排列起来， 天干在前， 地支在后， 天干由“甲” 起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”， 以此类推，排列到“癸酉”后，天于回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回 到“子”重新开始， 即“丙子”， 以此类推已知 1949 年为“己丑”年， 那么 2021 年时为 （） A己亥年B戊申年C庚子年D辛丑年 57黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德黎曼发现提出，在高 等数学中有着广泛的应用.其定义黎曼函数( )R x为：当 q x p （ , p q为正整数， q p 是 既约真分数）

33、时 1 R x p ，当0 x 或1x 或x为0,1上的无理数时 0R x .已知 a、b、 a b都是区间0,1内的实数，则下列不等式一定正确的是 A()( )( )R abR aR bB()( )( )R a bR aR b C()( )( )R abR aR bD()( )( )R a bR aR b 第 17 页 共 102 页 58 孙子算经记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，一 共五级.现每个级别的诸侯分别有 1，2，3，4，5 人，按照如下规则给他们分发一批苹 果： 同一等级的诸侯所得苹果数依次为 1 a， 2 a， 3 a， ， 且满足 * 1kk aak

34、 kN ； 任一等级诸侯所得苹果数量最多的比高一级的诸侯所得苹果数最少的少一个 现已知等 级为男的诸侯所得苹果数为 1，则这批苹果共有（）个 A158B159C160D161 59蹴鞠，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外 包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的 足球.2006 年 5 月 20 日， 蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物 质文化遗产名录.3D打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础， 运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即 “积层造型法”

35、）.过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产 品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）.已 知某鞠的表面上有四个点A、B、C、D，满足任意两点间的直线距离为2 6cm， 现在利用3D打印技术制作模型，该模型是由鞠的内部挖去由ABCD组成的几何体后 剩余的部分，打印所用原料密度为 3 1g/cm，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的 质量约为（） （参考数据：取3.14， 21.41 ，31.73，精确到 0.1） A113.0gB267.9gC99.2gD13.8g 60高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，他

36、和阿 基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用 x 表示不超过 x 的最大整数， 则 yx称为高斯函数， 也称取整函数， 例如： 3.74 ， 2.32，已知 1 ( ) 21 x x e f x e ，则函数2 ( ) ()yf xfx的值域为（） A 2, 1,0B 1,0C 2,0D 2,1,0 61 我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述： 今有良马和驽马发长安至齐， 良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐， 复还迎驽马，九日后二马相逢.问：齐去长安多少里？（） A1125B1250 C2250D2500 第 1

37、8 页 共 102 页 623D打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状 金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型 法”） 过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接 制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等） 已知利用3D 打印技术制作如图所示的模型该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正 方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上） ，圆锥底面直径为10 2 cm，母 线与底面所成角的正切值为 2打印所用原料密度为 3 1 g/cm，不考虑打印损耗，制 作该模型所需

38、原料的质量约为（） （取3.14，精确到 0.1） A609.4gB447.3gC398.3gD357.3g 63我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加 增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相 邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（） A64盏B128盏 C192盏D256盏 64干支是天干（甲、乙、癸）和地支（子、丑、亥）的合称，“干支纪年法” 是我国传统的纪年法.如图是查找公历某年所对应干支的程序框图.例如公元2041年， 即 输入2041N ，执行该程序框图，运行相应的程序，输出58x ，从干支表中

39、查出对 应的干支为辛酉.我国古代杰出数学家秦九韶出生于公元1208年，则该年所对应的干支 为（） 六十干支表（部分） 56789 戊辰己巳庚午辛未壬申 5657585960 己未庚申辛酉壬戌癸亥 第 19 页 共 102 页 A戊辰B辛未C已巳D庚申 65蹴鞠（如图所示） ，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义， 鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动， 类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第 一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A、B、C、D，满足 5ABCD，6BDAC，7ADB

40、C，则该鞠的表面积为（） A55B60 C63D68 66对于函数 yf x与 yg x，若存在 0 x，使 00 f xgx，则称 00 ,M xf x， 00 ,Nx gx是函数 fx与 g x图象的一对“隐对称点”.已知函 数 2f xm x， ln1 1 x g x x ，函数 fx与 g x的图象恰好存在两对“隐 对称点”，则实数m的取值范围为（） A1,0B, 1 C0,11,D, 11,0 U 第 20 页 共 102 页 67 十九世纪下半叶集合论的创立， 莫定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学 理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间0,1均

41、分为 三段， 去掉中间的区间段 1 2 , 3 3 ， 记为第一次操作； 再将剩下的两个区间 1 0, 3 ， 2 ,1 3 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；，如此这样，每次在 上一次操作的基础上， 将剩下的各个区间分别均分为三段， 同样各自去掉中间的区间段. 操作过程不断地进行下去， 以至无穷， 剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各 区间长度之和不小于 4 5 ，则需要操作的次数n的最小值为（）参考数据： lg20.3010，lg30.4771 A3B4C5D6 68 周髀算经中给出了：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷 雨、立夏、小满、芒种

42、这十二节气的日影长依次成等差数列的结论已知某地立春与雨 水两个节气的日影长分别为10.5尺和9.5尺，现在从该地日影长小于9尺的节气中随机 抽取2个节气进行日影长情况统计，则所选取这2个节气中恰好有1个节气的日影长小 于5尺的概率为（） A 3 7 B 4 7 C 13 21 D 5 7 69已知数列 n a的前n项和为 n S，把 n S的前n项和称为“和谐和”，用 n H来表示， 对于3n n a ，其“和谐和” n H等于（） A 2 369 4 n n B 1 369 4 n n C 1 369 4 n n D 369 4 n n 70我国古代著名数学家刘徽的杰作九章算术注是中国最宝贵

43、的数学遗产之一，书 中记载了他计算圆周率所用的方法先作一个半径为 1 的单位圆，然后做其内接正六边 形，在此基础上做出内接正62 (1,2,) n n边形，这样正多边形的边逐渐逼近圆周， 从而得到圆周率，这种方法称为“刘徽割圆术”现设单位圆O的内接正n边形的一边为 AC，点B为劣弧 AC的中点，则BC是内接正2n边形的一边，现记n ACS， 2n ABS，则（） A 2 2 24 nn SS B 2 2 24 nn SS 第 21 页 共 102 页 C 2 2 2 24 nn SS D 2 2 43 4 nn SS 71我国古代数学著作九章算术中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日 一

44、尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚 8 尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后 每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打 通相逢？”两鼠相逢需要的天数最小为（） A2B3C4D5 72 数书九章是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问 题，分为九类，每类九个问题 数书九章中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中 在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，这与古希腊的海 伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小

45、 斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写 成公式，即 222 222 1 () 42 cab Sc a现有周长为10 2 7 的ABC满足 sin:sin:sin2:3:7ABC ，则用以上给出的公式求得ABC的面积为 A12B8 7C4 7D6 3 73设 b、c 均为实数，关于 x 的方程 2 |0 xb xc 在复数集 C 上给出下列结论， 正确的是（） A存在 b、c，使得该方程仅有 2 个共轭虚根 B存在 b、c，使得该方程有 4 个互不相等的实数根 C存在 b、c，使得该方程有 5 个互不相等的根 D存在 b、c，使得该方程最多有 6 个互不相等的

46、根 74一般地，若函数 fx的定义域为, a b，值域为,ka kb，则称为的“k倍跟随区 间”；若函数的定义域为, a b，值域也为, a b，则称, a b为 fx的“跟随区间”.下 列结论正确的是（） A若1,b为 2 22f xxx的跟随区间，则2b B函数 1 1f x x 存在跟随区间 C若函数 1f xmx存在跟随区间，则 1 ,0 4 m 第 22 页 共 102 页 D二次函数 2 1 2 f xxx 存在“3 倍跟随区间” 75斐波那契数列，又称黄金分割数列，它在很多方面与大自然神奇地契合，小到地球 上的动植物，如向日葵、松果、海螺的成长过程，大到海浪、飓风、宇宙星系演变，

47、都 遵循着这个规律，人们亲切地称斐波那契数列为自然界的“数学之美”，在数学上斐波那 契数列 n a一般以递推的方式被定义： 12 1aa， 21 nnn aaa，则（） A 10 55a B 2 21 1 nnn a aa C 1 51 2 nn aa 是等比数列 D设 1n n n a b a ，则 112nnnn bbbb 76已知定义域为 A 的函数 fx，若对任意的 12 ,x xA，都有 1212 f xxf xf x， 则称函数 fx为“定义域上的优美函数”以下函数是“定 义域上的优美函数”的有（） A 2 ( )1f xx， 1 1 , 2 2 x B( ) x f xe，xR

48、C( )sinf xx，0, xD 3 ( )logf xx，2,)x 77若非零复数 , x y满足 22 0 xxyy，则 20202020 xy xyxy 的值是 _. 78在复平面内，等腰直角三角形 12 OZ Z以 2 OZ为斜边（其中O为坐标原点） ，若 2 Z对 应的复数 2 13zi ，则直角顶点 1 Z对应的复数 1 z _. 79 2018 3i 1_. 第 23 页 共 102 页 80在下列命题中,正确的命题有_(填写正确的序号) 若1x ,则 4 1 1 x x 的最小值是 6; 如果不等式 2 20axbx 的解集是 1 1 , 2 3 ,那么10ab 恒成立; 设

49、 x,0,y,且1xy,则 22 xyxy的最小值是 3 4 ; 对于任意 1 ,3 2 m , 2 24tmtm 恒成立,则 t 的取值范围是 , 52, ; “2a ”是“复数 2 41zaai(aR)是纯虚数”的必要非充分条件; 若 33 cossinxya,sincos0yx,0 xya ,则必有 222 111 xya ; 81已知函数 1 3 1 log31 2 x f xabx 为偶函数， 2 2 x x ab g x 为奇函数， 其中a、b为常数，则 2233100100 abababab_ 82若复数z满足2z ，则33zz的取值范围是_ 83已知复数 1 cos2 ( )i

50、zxf x， 2 ( 3sincos )izxx（xR，i为虚数单位） ， 在复平面上，设复数 1 z、 2 z对应的点分别为 1 Z、 2 Z，若 12 90Z OZ ，其中O是坐 标原点，则函数 ( )f x的最小正周期为_. 84设复数 12 133zizi ，若 2sin2cos2ziR，则 12 zzzz的最小值为_. 85对于 n 个复数 z1，z2，zn，如果存在 n 个不全为零的实数 k1，k2，kn，使 得 k1z1k2z2knzn0，就称 z1，z2，zn线性相关若要说明复数 z112i， z21i，z32 线性相关，则可取k1，k2，k3_(只要写出满足条件的一 组值即可