§2.3　第1课时　一元二次函数与方程.docx

1、2.3二次函数与一元二次方程、不等式二次函数与一元二次方程、不等式 第第 1 课时课时一元二次函数与方程一元二次函数与方程 学习目标1.能熟练运用十字相乘法分解因式.2.掌握一元二次函数的表达式与图象.3.理解 一元二次函数与一元二次方程的关系 导语 同学们，我国历史上有很多杰出的数学家，比如祖冲之，秦九韶等大家都耳熟能详的名字， 我们古代的数学重点在于“算”， 可以说算学是异常的发达， 经常令西方数学家瞠目结舌 既 然要算，那么对于“二次方程”必然有所涉猎！比如我们所熟悉的九章算术 ，但是九章 算术的一贯作风是给个问题，配个答案，剩下的自己去想，至于如何解方程，这就需要大 家来解决了，实际上

2、，对于求解一元二次方程方法很多，比如我们所熟悉的求根公式、配方 法，而比较好用的还是十字相乘法，请同学们看下面的问题 1. 一、十字相乘法因式分解 例 1分解下列因式： (1)x24x3；(2)5x26x1； (3)m22mn3n2；(4)ax2(a1)x1(a0) 解(1)x24x3(x1)(x3) (2)5x26x1(x1)(5x1) (3)m22mn3n2(m3n)(mn) (4)ax2(a1)x1(ax1)(x1) 反思感悟(1)判定能否使用十字相乘法分解因式时，使用b24ac，当为完全平方数时， 可以在整数范围内对该多项式进行十字相乘 (2)有时需对二次项系数和常数项进行多次拆分，直

3、到符合要求为止 跟踪训练 1(1)因式分解：x23x10_. 答案(x5)(x2) 解析 x23x10(x5)(x2) (2)因式分解：x2(a2a1)xa2(a1) 解由题意，利用十字相乘法，可得 x2(a2a1)xa2(a1)(xa2)x(a1) 二、一元二次方程 问题 1请同学们写出一元二次方程 ax2bxc0(a0)的求根公式以及根与系数的关系？ 提示xb b 24ac 2a ，x1x2b a，x 1x2c a. 例 2求下列方程的根： (1)x23x20；(2)x2x10； (3)ax2(a1)x10(a0) 解(1)x23x2(x1)(x2)0， x1 或 x2. (2)对于 x2

4、x10，由1(4)50， 得方程有两个不相等的实数根，为 x1 5 2 ， 即 x 51 2 或 x1 5 2 . (3)ax2(a1)x1(ax1)(x1) a x1 a (x1)0， x1 或 x1 a. 反思感悟求一元二次方程的根需注意： (1)首先要把方程变成一般形式 (2)注意方程有实根的前提条件是b24ac0. (3)注意 a，b，c 应包含各自的符号 (4)注意一元二次方程如果有根，应有两个，需要注意方程的根与方程的解的区别 (5)对求出的根进行化简 跟踪训练 2已知一元二次方程 2x26x10 的两实数根为 x1，x2，不解方程，求代数式x1 x2 x2 x1的值 解由根与系数

5、的关系得， x1x23，x1x21 2. 故x1 x2 x2 x1 x21x22 x1x2 x1x2 22x1x2 x1x2 322 1 2 1 2 20. 三、一元二次函数与图象 问题 2一元二次函数 yax2bxc(a0)的图象与一元二次方程 ax2bxc0(a0)的判 别式有什么关系？ 提示当0 时，ax2bxc0(a0)有两个不相等的实数根 x1，x2，此时，二次函数与 x 轴有两个不同的交点，x1，x2即为两交点的横坐标 当0 时，ax2bxc0(a0)有两个相等的实数根 x1x2，此时，二次函数与 x 轴有 1 个交点，x1(x2)即为交点的横坐标 当0 时，ax2bxc0(a0)

6、无实数根，此时，二次函数与 x 轴没有交点 例 3已知二次函数 y(k3)x22x1 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是() Ak4Bk4 Ck0，故有 k4 且 k3. 3若函数与 x 轴无交点，求 k 的取值范围 解4. 反思感悟(1)会通过b24ac 的符号判断二次函数的图象与 x 轴交点的个数 (2)二次项含参时，要注意题目中是否强调是二次函数，如没有强调，需分类讨论 跟踪训练 3已知 y(xa)(xb)2(ab)，且，()是方程 y0 的两根，则，a，b 的大小关系是() AabBab CabDab 答案A 解析设 y1(xa)(xb)， 则 y1向上平移 2 个单位长度得

7、到 y 的图象， 由图易知 a1 4 Bk1 4且 k0 Ck1 4且 k0 Dk0，所以方程有两个不相等的实数根， D 项，2m2m10，所以142170，所以方程没有实数根 6(多选)在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记 忆方便，原理是：如对于多项式 x4y4，因式分解的结果是(xy)(xy)(x2y2)，若取 x9， y9 时，则各个因式的值是：xy0，xy18，x2y2162，于是就可以把“018 162” 作为一个六位数的密码，对于多项式 x3xy2，取 x20，y10 时，用上述方法产生的密码 可能是() A201 010B203 010 C30

8、1 020D201 030 答案BCD 解析由于 x3xy2x(xy)(xy)，所以取 x20，y10，则 xy30，xy10，所以用 上述方法产生的密码可以是 203 010, 301 020, 201 030. 7二次函数 yx212x27 的对称轴是_ 答案x6 解析二次函数的对称轴是 x b 2a，故抛物线的对称轴为 x 12 2 6. 8对于实数 x，y，定义一种运算：xyx2y，若关于 x 的方程 x(ax)2 有两个相等 的实数根，则实数 a_. 答案4 或4 9阅读材料题：在因式分解中，有一类形如 x2(mn)xmn 的多项式，其常数项是两个因 数的积，而它的一次项系数恰是这两

9、个因数的和，则我们可以把它分解成 x2(mn)xmn (xm)(xn)例如：x25x6x2(23)x23(x2)(x3)运用上述方法分解因 式： (1)x26x8； (2)x2x6； (3)x25xy6y2； (4)请你结合上述的方法，对多项式 x32x23x 进行分解因式 解(1)x26x8(x2)(x4)； (2)x2x6(x2)(x3)； (3)x25xy6y2(x2y)(x3y)； (4)x32x23xx(x3)(x1) 10某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元/件，试营销阶段发现：当销售单价是 25 元时，每天的销售量为 250 件；销售单价每上涨 1 元，每天的销售数量就

10、减少 10 件 (1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w(元)与销售单价 x(元)之间的函数关系式； (2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大 解(1)由题意得， 销售量25010(x25)10 x500， 则 w(x20)(10 x500) 10 x2700 x10 000. (2)w10 x2700 x10 000 10(x35)22 250. 100， 函数图象开口向下，w 有最大值， 当 x35 时，wmax2 250， 故当销售单价为 35 元时，该文具每天的销售利润最大 11定义新运算，a*ba(1b)，若 a，b 是方程 x2x1 4m0(m0)的两根，则

11、b*ba*a 的 值为() A0B1C2D与 m 有关 答案A 解析a，b 是方程 4x24xm0(m0 B3a2b Cm(amb)ab(m 为任意实数) D4a2bc0 答案ABC 解析抛物线开口向下，a0， 抛物线的对称轴为直线 x b 2a10， b2a，b0，abc0，A 正确； 抛物线的对称轴为直线 x1，抛物线与 x 轴的一个交点在点(0,0)和(1,0)之间， 抛物线与 x 轴的另一个交点在点(3,0)和(2,0)之间， 当 x2 时，y0， 4a2bc0，D 错误； b2a，2b3a4a3aa0， 即 2b3a，B 正确； 抛物线的对称轴为直线 x1， 当 x1 时，y 有最大

12、值， am2bmcabc(m 为任意实数)， m(amb)ab(m 为任意实数)，C 正确 16阅读理解： (1)特例运算：(x1)(x2)_.(x3)(x1)_； (2)归纳结论：(xa)(xb)x2(_)x_； (3)尝试运用：直接写出计算结果(m99)(m100)_； (4)解决问题：根据你的理解把下列多项式因式分解 x25x6_， x23x10_； (5)拓展延伸：若 x2px8 可分解为两个一次因式的积，则整数 p 的所有可能值是_ 答案(1)x23x2x22x3(2)abab (3)m2m9 900(4)(x2)(x3)(x5)(x2) (5)7，2,2,7 解析(1)特例运算：(x1)(x2)x23x2， (x3)(x1)x22x3. (2)归纳结论：(xa)(xb)x2(ab)xab. (3)尝试运用：直接写出计算结果(m99)(m100)m2m9 900. (4)解决问题：根据你的理解，把下列多项式因式分解： x25x6(x2)(x3)， x23x10(x5)(x2) (5)拓展延伸： 若 x2px8 可分解为两个一次因式的积， 则整数 p 的所有可能值是7， 2,2,7.