§2.1　第2课时　等式性质与不等式性质.docx

1、第第 2 课时课时等式性质与不等式性质等式性质与不等式性质 学习目标1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题 导语 同学们，2008 年你们也就刚出生不久，但是 08 年北京奥运会注定已成为举世瞩目的一届奥 运会，没有之一，其场面气势恢宏、美轮美奂、激动人心，世界都把目光聚焦到北京，反映 出中国经济发展的高水平和快速度，一个开放的中国正在向世界展露出新的姿态，使得中国 对世界更加开放，世界各国进一步认识和了解中国这个亚洲强国，有人说北京奥运会超过已 经举办的任何一届奥运会！在刚才这一段话中，大家能发现有哪些不等关系吗？(条件允许可 提前播放中国队夺冠视频或播放

2、北京奥运会主题曲我和你) 一、等式性质与不等式的性质 问题判断下列命题是否正确？ (1)如果 ab，那么 ba； (2)如果 ab，bc，那么 ac； (3)如果 ab，那么 acbc； (4)如果 ab，那么 acbc； (5)如果 ab，c0，那么a c b c. 提示以上均正确，这些都是等式的基本性质 知识梳理 不等式的性质 性质别名性质内容注意 1对称性abbb，bcac不可逆 3可加性abacbc可逆 4可乘性 ab，c0acbc ab，c0acb，cdacbd同向 6同向同正可乘性ab0，cd0acbd同向 7可乘方性ab0anbn(nN，n2)同正 例 1对于实数 a，b，c，下

3、列命题中的真命题是() A若 ab，则 ac2bc2 B若 ab0，则1 a 1 b C若 ab a b D若 ab，1 a 1 b，则 a0，bb0，有 ab0 a ab b ab 1 b 1 a，故 B 为假命题； abb01 b 1 a0 abb0 a b b a，故 C 为假命题； abba 1 b 1 a 1 b0 ba ab 0 abb，a0 且 b0，故 D 为真命题 方法二特殊值排除法 取 c0，则 ac2bc2，故 A 错 取 a2，b1，则1 a 1 2， 1 b1.有 1 a 1 b，故 B 错 取 a2，b1，则b a 1 2， a b2，有 b a a b，故 C 错

4、 反思感悟利用不等式的性质判断命题真假的注意点 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然 随意捏造性质 (2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则： 一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算 跟踪训练 1(多选)若1 a 1 b|b|Bab Cabb3 答案CD 解析由1 a 1 b0 可得 ba0，从而|a|b|，A，B 均不正确；ab0，则 abb3，D 正确 二、利用不等式的性质证明不等式 例 2已知 cab0，求证： a ca b cb. 证明 a ca b cb acbbca cacb acab

5、bcab cacb cab cacb， cab0， ab0，ca0，cb0， a ca b cb. 延伸探究作差法是比较判断两个代数式的基本方法，你能用我们刚学过的性质解决本例 吗？ 证明方法一因为 ab0，所以1 a0，所以c a c b， 所以c a1 c b1，即 ca a ab0，所以 ca0，cb0. 所以 a ca b cb. 方法二因为 cab0， 所以 0cacb， 所以 0 1 cb 1 cb0， 又因为 ab0，所以 a ca b cb. 反思感悟(1)利用不等式的性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变 形要等价，同时要注意性质适用的前提条件 (2)用作差

6、法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分 利用题目中的条件 跟踪训练 2已知 ab0，c c b. 证明方法一 c a c b cba ab ， ab0，c0，ba0， c a c b0， c a c b. 方法二ab0， 1 b 1 a0， c0，c b c b. 三、利用不等式的性质求代数式的取值范围 例 3已知6a8,2b3，求 2ab，ab 及a b的取值范围 解因为6a8,2b3， 所以122a16， 所以102ab19. 又因为3b2， 所以9ab6. 又1 3 1 b 1 2， 当 0a8 时，0a b4； 当6a0 时，0a6， 所以 0a b3

7、，所以3 a b0. 由得3a b4. 反思感悟利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求 得待求的范围 (2)同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转 化，就有可能扩大其取值范围 跟踪训练 3已知 1a6,3b4，则 ab 的取值范围是_，a b的取值范围是_ 答案3ab3 1 4 a b2 解析3b4，4b3. 14ab63，即3ab3. 又1 4 1 b 1 3， 1 4 a b 6 3，即 1 4 a bb 等价的不等式是() A|a|b|Ba2b2C.a b1 Da3b3

8、 答案D 解析可利用赋值法令 a1，b2， 满足 ab，但|a|b|，a2b2，a b 1 2bac2bc2B.a c b cab C. ab， ab 1 b D. ab0， ab 1 a 1 b 答案C 解析当 c0 时，A 不成立； 当 c0 时，B 不成立； abb a ab 1 b，C 成立 同理可证 D 不成立 3若 1a3，4b2，那么 a|b|的范围是() A3a|b|3B3a|b|5 C3a|b|3D1a|b|4 答案C 解析4b2，0|b|4，4|b|0. 又1a3，3a|b|”或“b，cb0，cdb0，那么 1 a2_ 1 b2； (4)如果 abc0，那么c a_ c b

9、. 答案(1)(2)(3)(4) 课时对点练课时对点练 1如果 a0，那么下列不等式中正确的是() A.1 a 1 b B. a b Ca2|b| 答案A 解析a0，1 a0， 1 a 1 b. 2设 a，bR，若 a|b|0Ba3b30 Ca2b20Dab0 答案D 解析本题可采用特殊值法，取 a2，b1， 则 ab0，a3b30，ab1b，cd，则 abcd B若 ab，则 cab，c b d D若 a2b2，则ab 答案B 解析选项 A，取 a1，b0，c2，d1，则 abb，所以ab，所以 cab0，c00，bbbaBabab CabbaDabab 答案C 5若 a，b 都是实数，则“

10、 a b0”是“a2b20”的() A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案A 6(多选)给出下列命题，其中正确的命题是() Aabac2bc2 Ba|b|a2b2 Caba3b3 D|a|ba2b2 答案BC 解析A 当 c20 时不成立；B 一定成立； C 当 ab 时，a3b3(ab)(a2abb2)(ab) ab 2 23 4b 2 0 成立； D 当 b3，但 22(3)2. 7已知 13，42，若 z1 2，则 z 的取值范围是_ 答案z| 3 2z 11 2 解析13，1 2 1 2 3 2， 又42，24. 3 2 1 2 11 2 ， 即3

11、 2z 11 2 . 8若 8x10,2y4，则x y的取值范围为_ 答案2x y5 解析2y4，1 4 1 y 1 2. 又8x10，2x y5. 9(1)ab0，求证：b ab，1 a0. 证明(1)由于b a a b b2a2 ab baba ab ， ab0，ba0，ab0， baba ab 0，故b a a b. (2)1 a 1 b， 1 a 1 b0，即 ba ab b，ba0. 10下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对吗？如果不对，请指出 错误的原因 甲：因为6a8，4b2， 所以2ab6. 乙：因为 2b3，所以1 3 1 b 1 2， 又因为6a8，所以

12、2a b4. 丙：因为 2ab4，所以4ba2. 又因为2ab2，所以 0a3，3b0， 所以3ab3. 解甲同学做的不对，因为同向不等式具有可加性，但不能相减，甲同学对同向不等式求差 是错误的 乙同学做的不对因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数， 不等号方向改变，在本题中只知道6a8，不明确 a 值的正负故不能将1 3 1 b 1 2与6a8 两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘 丙同学做的不对同向不等式两边可以相加，这种转化不是等价变形丙同学将 2ab4 与2ab2 两边相加得 0a3，又将4ba2 与2ab2 两边相加得出3b0， 又将该式与

13、 0a3 两边相加得出3ab2 且 b1”是“ab3 且 ab2”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案A 12已知 xyz，xyz0，则下列不等式中一定成立的是() AxyyzBxzyz CxyxzDx|y|z|y| 答案C 解析因为 xyz，xyz0， 所以 3xxyz0,3z0，z0， yz， 可得 xyxz. 13有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是 a，b，c，d，已知 abcd， adbc，acbacBbcda CdbcaDcadb 答案A 解析abcd，adbc， ad(ab)bc(cd)，即 ac.bd. 又 acb，aba

14、c. 14不等式 ab 和1 a 1 b同时成立的条件是_ 答案a0b 解析1 a 1 b ba ab ， ab 和1 a 1 b同时成立的条件是 a0b. 15设 a，b 为正实数，有下列命题： 若 a2b21，则 ab1； 若1 b 1 a1，则 ab1； 若| a b|1，则|ab|0ab0，故 a bab0.若 ab1，则 1 ab1ab1ab，这与 abab0 矛盾，故 ab1. 对于，取特殊值，a9，b4，|ab|1. 16已知二次函数 yax2bxc 满足以下条件： (1)该函数图象过原点； (2)当 x1 时，y 的取值范围为大于等于 1 且小于等于 2； (3)当 x1 时，y 的取值范围为大于等于 3 且小于等于 4， 求当 x2 时，y 的取值范围 解二次函数 yax2bxc 图象过原点， c0，yax2bx. 又当 x1 时，1ab2. 当 x1 时，3ab4， 当 x2 时，y4a2b. 设存在实数 m，n， 使得 4a2bm(ab)n(ab)， 而 4a2b(mn)a(mn)b， mn4， mn2， 解得 m1，n3， 4a2b(ab)3(ab) 由可知 3ab4,33(ab)6， 334a2b46. 即 64a2b10， 故当 x2 时，y 的取值范围是大于等于 6 且小于等于 10.