5.5.2　第1课时　简单的三角恒等变换(一).docx

1、5.5.2简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 第第 1 课时课时简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换(一一) 学习目标1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.2.了解半角公 式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题.3.掌握两角和、差的正、余弦公式， 通过积化和差、和差化积进行简单的化简、求值、证明 导语 同学们，前面我们学习了三角函数中的很多公式，有同角的三角函数的基本关系、诱导公式、 两角和、 差的正弦、 余弦、 正切公式以及二倍角的正弦、 余弦、 正切， 它们都属于三角变换 对 于三角变换，我们不仅要考虑三角函数式结构形式方面的差异，还要考虑三角函数式包含

2、的 角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换，在实际操作中， 我们要从函数式的结构、种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，从而选择一个合适 的公式进行化简、求值、证明等，这就是我们今天要讲的三角恒等变换 一、半角公式 问题 1余弦的二倍角展开有几种形式？请写出 提示三种形式：cos 2cos2sin22cos2112sin2. 除此以外，还能对上述式子进行变形，也就是我们所说的降幂运算：cos21cos 2 2 ，sin2 1cos 2 2 ；大家想一下我们函数中的换元思想，若用 2替换上式中的，我们能得到什么式 子呢？sin2 2 1cos 2 ，cos2 2 1

3、cos 2 ，然后由同角的商数关系，我们还可以得到 tan2 2 1cos 1cos ； 其实对于 2的正切， 你还想到哪些变形？因为 tan 2 sin 2 cos 2 2sin 2cos 2 2cos2 2 sin 1cos 或 者 tan 2 sin 2 cos 2 2sin2 2 2cos 2sin 2 1cos sin .有了这些公式，比如 sin 15 1cos 30 2 ，就比较 容易计算了，于是，我们得到如下结论： 知识梳理 半角公式 sin 2 1cos 2 ， cos 2 1cos 2 ， tan 2 1cos 1cos . 注意点：半角公式中的号不能去掉，若没有给出决定符

4、号的条件，则在根号前保留两个符 号；若给出的具体范围时，则先求 2的所在范围，然后根据 2所在的范围选用符号 例 1已知 sin 4 5， 3 2 ，求 sin 2，cos 2，tan 2的值 解3 2 ，sin 4 5， cos 3 5，且 2 2 3 4 ， sin 2 1cos 2 2 5 5 ， cos 2 1cos 2 5 5 ， tan 2 sin 2 cos 2 2. 反思感悟利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公 式求解 (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半 角

5、的范围 (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用 tan 2 sin 1cos 1cos sin ，其优点是计算时可 避免因开方带来的求角的范围问题； 涉及半角公式的正、 余弦值时， 常先利用 sin2 2 1cos 2 ， cos2 2 1cos 2 计算 跟踪训练 1已知 sin 4 5，则 tan 2_. 答案1 2或2 解析因为 sin 4 5，所以 cos 3 5. 若 cos 3 5，则 tan 2 1cos sin 13 5 4 5 1 2； 若 cos 3 5，则 tan 2 1cos sin 13 5 4 5 2. 二、和差化积、积化和差 问题 2请写出两角和、差的正弦、余

6、弦公式 提示sin()sin cos cos sin ， sin()sin cos cos sin ； cos()cos cos sin sin ， cos()cos cos sin sin . 将前两个公式、后两个公式的左右两边分别相加、相减，可以得到什么？ 2sin cos sin()sin()， 2cos sin sin()sin()； 2cos cos cos()cos()， 2sin sin cos()cos()我们把上述四个公式称为“积化和差公式” 在中， 如果我们令， ， 即 2 ， 2 ， 代入中得， 2sin 2 cos 2 sin sin ，2cos 2 sin 2 sin

7、 sin ， 2cos 2 cos 2 cos cos ，2sin 2 sin 2 cos cos ，我们把这四个公式称为 “和差化积公式” 知识梳理 1积化和差 sin cos 1 2sin()sin()； cos sin 1 2sin()sin()； cos cos 1 2cos()cos()； sin sin 1 2cos()cos() 2和差化积 sin sin 2sin 2 cos 2 ； sin sin 2cos 2 sin 2 ； cos cos 2cos 2 cos 2 ； cos cos 2sin 2 sin 2 . 例 2求 sin220cos250sin 20cos 50

8、的值 解方法一sin220cos250sin 20cos 50 1 2(1cos 40) 1 2(1cos 100) 1 2sin 70sin(30) 3 4 1 2(cos 100cos 40sin 70) 3 4 1 2(2sin 70sin 30sin 70) 3 4 1 2(sin 70sin 70) 3 4. 方法二sin220cos250sin 20cos 50 1 2(1cos 40)cos 50(cos 50sin 20) 1 2(1cos 40)cos 50(sin 40sin 20) 1 2(1cos 40)cos 502sin 30cos 10 1 2(1cos 40)c

9、os 50cos 10 1 2(1cos 40) 1 2(cos 60cos 40) 3 4. 方法三令 Asin220cos250sin 20cos 50， Bcos220sin250cos 20sin 50. 则 AB2sin 70， ABcos 40cos 100sin(30)sin 701 2， 两式相加得 2A3 2，即 A 3 4， 故 sin220cos250sin 20cos 503 4. 反思感悟积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法，如把看作，看作，从 而把包含，的三角函数式转化为，的三角函数式或者把 sin cos 看作 x，cos sin 看 作 y，把等式看作 x，

10、y 的方程，则原问题转化为解方程(组)求 x，它们都体现了化归思想 跟踪训练 2求下列各式的值： (1)cos 29cos 311 2cos 2； (2)cos 8cos 3 8 2sin 4cos 8. 解(1)cos 29cos 311 2cos 2 1 2cos(2931)cos(2931) 1 2cos 2 1 2cos 60 1 2cos(2) 1 2cos 2 1 4. (2)cos 8cos 3 8 2sin 4cos 8 2cos 8 3 8 2 cos 8 3 8 2 2cos 8 2cos 4cos 8 2cos 8 2cos 8 2cos 8 0. 三、三角函数式的化简、

11、证明 例 3求证： cos2 1 tan 2 tan 2 1 4sin 2. 证明因为左边 cos2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos2 cos2 2sin 2 2 sin 2cos 2 cos2sin 2cos 2 cos2 2sin 2 2 cos2sin 2cos 2 cos cos sin 2cos 2 1 2sin cos 1 4sin 2右边， 所以原式成立 反思感悟三角恒等式证明的常用方法 (1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简 (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子 (3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，

12、简言之， 即化异求同 (4)比较法：设法证明“左边右边0”或“左边/右边1” (5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事 实为止，就可以断定原等式成立 跟踪训练 3化简：2 sin 81 2cos 82. 解原式 2 sin24cos242sin 4cos 4 22cos2412 2 sin 4cos 42 4cos24 2|sin 4cos 4|2|cos 4|. 由于43 2 ， sin 40，cos 40，sin 4cos 40， 原式2(sin 4cos 4)2cos 42sin 44cos 4. 1知识清单： (1)半角公式 (2)积化和差、

13、和差化积 (3)三角函数式的化简、证明 2方法归纳：转化与化归 3常见误区：半角公式符号的判断 1已知 cos 1 5， 2，则 sin 2等于( ) A 10 5 B. 10 5 C 15 5 D. 15 5 答案D 解析由 2可知 4 2 2，故 sin 2 1cos 2 1 1 5 2 15 5 . 2已知 cos 1 4，18090，则 cos 2等于( ) A 6 4 B. 6 4 C3 8 D.3 8 答案B 解析由18090可知90 245，故 cos 2 1cos 2 6 4 . 3化简 2cos 2sin21的结果是() Acos 1Bcos 1 C. 3cos 1D 3co

14、s 1 答案C 解析原式 22cos2111cos21 3cos21，因为 010，cos 2 5 5 0， 所以的终边落在第一象限， 2的终边落在第一或第三象限， 所以 tan 20， 故 tan 2 1cos 1cos 12 5 5 12 5 5 52. 3设 a1 2cos 6 3 2 sin 6，b2sin 13cos 13，c 1cos 50 2 ，则有() AcbaBabc CacbDbca 答案C 解析asin 30cos 6cos 30sin 6sin(306)sin 24， b2sin 13cos 13sin 26， c sin 25，ysin x 在 0 x90时上单调递增

15、，acb. 4设35 2 ，化简 1sin的结果是() Asin 2cos 2 Bcos 2sin 2 Ccos 2sin 2 Dsin 2cos 2 答案D 解析35 2 ，3 2 20，cos 20， 1sin 1sin sin 2cos 2 2|sin 2cos 2|sin 2 cos 2. 5设直角三角形中两锐角为 A 和 B，则 cos Acos B 的取值范围是() A. 0，1 2B(0,1) C. 1 2，1D. 3 4 ，1 答案A 解析直角三角形中两锐角为 A 和 B，则 ABC 2，则 cos Acos B 1 2cos(AB)cos(A B)1 2cos(AB)，再结合

16、 AB 2， 2 ，可得 cos(AB)(0,1，1 2cos(AB) 0，1 2 . 6(多选)已知 2sin 1cos ，则 tan 2的可能取值为( ) A.1 2 B1C2D不存在 答案AD 解析由题意知 4sin 2cos 212cos 2 21， 故有 2sin 2cos 2cos 2 20， 若 2sin 2cos 20， 则 tan 2 1 2；若 cos 20，则 tan 2不存在 7tan 204sin 20_. 答案3 解析原式sin 20 cos 204sin 20 sin 204sin 20cos 20 cos 20 sin 202sin40 cos 20 sin 2

17、02sin6020 cos 20 sin 20 3cos 20sin 20 cos 20 3. 8sin 4Acos 4B化为和差的结果是_ 答案 1 2cos(AB)sin(AB) 解析sin 4Acos 4B 1 2 sin 2ABsinAB 1 2cos(AB)sin(AB) 9已知5 2 3，试化简： 1 2 1 2 1 2 1 2cos 2cos 2. 解因为5 2 3，所以5 4 2 3 2 ， 所以 cos 0，sin 20. 故原式 1 2 1 2 1cos 2 2 cos 2 1 2 1 2cos cos 2 1cos 2 cos 2 sin 2cos 2. 10求证： si

18、n A2sin 3Asin 5A sin 3A2sin 5Asin 7A sin 3A sin 5A. 证明左边 sin Asin 5A2sin 3A sin 3Asin 7A2sin 5A 2sin 3Acos 2A2sin 3A 2sin 5Acos 2A2sin 5A 2sin 3Acos 2A1 2sin 5Acos 2A1 sin 3A sin 5A右边， 所以原等式成立 11sin 20cos 70sin 10sin 50的值为() A1 4 B.1 4 C.1 2 D1 2 答案B 解析sin 20cos 70sin 10sin 50 1 2(sin 90sin 50) 1 2(

19、cos 60cos 40) 1 4 1 2sin 50 1 2cos 40 1 4 1 2sin 50 1 2sin 50 1 4. 12已知2 3 ，且 cos cos 1 3，则 cos()等于( ) A.2 9 B2 9 C.7 9 D7 9 答案D 解析cos cos 1 3， 2cos 2 cos 2 1 3. 2 3 ， 2 3， cos 2 1 2. cos 2 1 3， cos()2cos2 2 17 9. 13若 sin sin 3 3 (cos cos )，且(0，)，(0，)，则等于() A2 3 B 3 C. 3 D.2 3 答案D 解 析因 为 sin sin 3 3

20、 (cos cos ) ， 所 以 2sin 2 cos 2 3 3 ( 2)sin 2 sin 2 ，所以 tan 2 3.又(0，)，(0，)，所以 2 2 2，所以 2 3，即 2 3 . 14化简： sin 4x 1cos 4x cos 2x 1cos 2x cos x 1cos x_. 答案tan x 2 解析原式2sin 2xcos 2x 2cos22x cos 2x 1cos 2x cos x 1cos x sin 2x 1cos 2x cos x 1cos x 2sin xcos x 2cos2x cos x 1cos x sin x 1cos xtan x 2. 15.tan

21、 12 3 sin 6sin 8432cos 212的值为( ) A4B8C16D32 答案C 解析原式tan 12tan 60 sin 6cos 6 16(2cos2121)16 sin 12 cos 12 sin 60 cos 60 1 2sin 12 16cos 2416 sin 12cos 60cos 12sin 60 1 2sin 12cos 12cos 60 16cos 2416 sin1260 1 8sin 24 16cos 2416 2sin 24cos 24 1 8sin 24 16cos 241616. 16已知 sin Asin Bsin C0，cos Acos Bcos

22、 C0，求证：cos2Acos2Bcos2C3 2. 证明由已知，得 sin Asin Bsin C， cos Acos Bcos C 所以 2sin AB 2 cos AB 2 sin C， 2cos AB 2 cos AB 2 cos C 因为当 cos AB 2 0 时，sin Ccos C0 不成立， 所以 cos AB 2 0. ，得 tan AB 2 tan C. 所以 cos(AB) 1tan2AB 2 1tan2AB 2 1tan 2C 1tan2Ccos 2C. 22，得 22cos(AB)1，即 cos(AB)1 2， 所以 cos2Acos2Bcos2C 1 2(1cos 2A1cos 2B1cos 2C) 3 2 1 22cos(AB)cos(AB)cos 2C 3 2 1 2 2cos 2C 1 2 cos 2C 3 2.