5.5.1　第3课时　两角和与差的正切公式.docx

1、第第 3 课时课时两角和与差的正切公式两角和与差的正切公式 学习目标1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用 两角和与差的正切公式进行化简、求值.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活 应用 导语 同学们， 上节课我们实现了两角和与差的正弦、 余弦的展开与合并， 今天我们将继续“变脸”， 共同探究两角和与差的正切是否也能实现“变脸” 一、两角和与差的正切公式 问题 1请同学们写出两角和与差的正弦公式、余弦公式 提示cos()cos cos sin sin ，cos()cos cos sin sin ； sin()sin cos cos sin ，si

2、n()sin cos cos sin . 问题 2同角三角函数中的商数关系是什么？ 提示 sin cos tan 2k，kZ. 问题 3你能用两角和与差的正弦、余弦公式来表示两角和与差的正切公式吗？ 提示tan()sin cos sin cos cos sin cos cos sin sin 2k，kZ. 用来代替 tan()中的即可得到 tan() 知识梳理 1两角和的正切公式 tan() tan tan 1tan tan ，其中，k 2(kZ)，简记作 T () 2两角差的正切公式 tan() tan tan 1tan tan ，其中，k 2(kZ)，简记作 T () 注意点： (1)只有

3、当，k 2(kZ)时，上述公式才能成立；(2)公式的符号变化简记为：“分 子同，分母反” 例 1(1)tan 255等于() A2 3B2 3 C2 3D2 3 答案D 解析tan 255tan(18075)tan 75 tan(4530) tan 45tan 30 1tan 45tan 30 1 3 3 1 3 3 2 3. (2)化简1tan 15 1tan 15等于( ) A. 3B. 3 3 C3D1 答案B 解析 1tan 15 1tan 15 tan 45tan 15 1tan 45tan 15tan(4515)tan 30 3 3 . 反思感悟利用公式 T()化简求值的两点说明

4、(1)分析式子结构，正确选用公式形式： T()是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子 的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换 (2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用： 当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“ 3”时， 要考虑用这些特殊值所对应的特 殊角的正切值去代换，如“1tan 4”“ 3tan 3”，这样可以构造出利用公式的条件，从 而可以进行化简和求值 跟踪训练 1化简求值： (1) tan 74tan 76 1tan 74tan 76； (2) 1tan 15 3tan 60tan 15； (3)tan 23tan

5、 37 3tan 23tan 37. 解(1)原式tan(7476)tan 150 3 3 . (2)原式 tan 45tan 15 31tan 45tan 15 1 3tan(4515) 1 3tan 30 1 3. (3)tan 60 3 tan 23tan 37 1tan 23tan 37， tan 23tan 37 3 3tan 23tan 37， tan 23tan 37 3tan 23tan 37 3. 二、给值求值(角) 问题 4根据两角和与差的正切公式的特点以及上述练习，你能写出几种公式的变形形式 吗？ 提示T()的变形： tan tan tan()(1tan tan )； t

6、an tan tan tan tan()tan()； tan tan 1tan tan tan . T()的变形： tan tan tan()(1tan tan )； tan tan tan tan tan()tan()； tan tan tan tan tan 1. 例 2已知 sin 3 5， 2，tan()1 2，则 tan()的值为( ) A 2 11 B. 2 11 C.11 2 D11 2 答案A 解析因为 sin 3 5， 2，所以 cos 4 5，即 tan 3 4. 因为 tan()tan ，故 tan 1 2. 所以 tan() tan tan 1tan tan 3 4 1

7、 2 1 3 4 1 2 2 11. 延伸探究若本例条件不变，求 tan()的值 解因为 2，sin 3 5，所以 cos 4 5， tan 3 4，又 tan 1 2， 所以 tan() tan tan 1tan tan 3 4 1 2 1 3 4 1 2 2. 反思感悟(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式 求解 (2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小 跟踪训练 2如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角，它们的终 边分别与单位圆相交于 A，B 两点，已知 A，B 的横坐标分别为 2 10

8、， 2 5 5 . 求：(1)tan()的值； (2)2的大小 解(1)由条件得 cos 2 10，cos 2 5 5 . ，为锐角，sin 1cos27 2 10 ， sin 1cos2 5 5 . 因此 tan sin cos 7， tan sin cos 1 2. tan() tan tan 1tan tan 71 2 171 2 3. (2)tan 2tan() 2tan 1tan2 21 2 1 1 2 2 4 3， tan(2) tan tan 2 1tan tan 2 74 3 174 3 1. ，为锐角， 020， 0， 2 ， (0，)， 4. 15.第 24 届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的如图，会标 是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形， 如果小正方形的面积为a2， 大正方形的面积为 25a2，直角三角形中较小的锐角为，则 tan 3 4 等于() A1 2 B1 3 C1 5 D1 7 答案D 解析由题意可知小正方形的边长为 a，大正方形的边长为 5a，一个直角三角形的面积为 25a2a2 4 6a2， 设直角三角形的直角边分别为 x，y，且 x0，tan 1 70， ， 2 ，2()(，0) 又 tan(2)1，23 4 .