4.1.2　无理数指数幂及其运算性质.docx

1、4.1.2无理数指数幂及其运算性质无理数指数幂及其运算性质 学习目标1.能结合教材探究了解无理数指数幂.2.结合有理数指数幂的运算性质掌握实数 指数幂的运算性质 导语 伟大的数学家毕达哥拉斯认为：世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什么数 了 可是不久就出现了一个问题： 当一个正方形的边长是 1 的时候， 对角线的长 m 等于多少？ 是整数呢，还是分数？毕达哥拉斯和他的门徒费了九牛二虎之力，也不知道这个 m 究竟是什 么数 世界上除了整数和分数以外还有没有别的数？这个问题引起了学派成员希伯斯的兴趣， 他花费了很多的时间去钻研，最终希伯斯断言：m 既不是整数也不是分数，是当时人们还没 有认

2、识的新数 从希伯斯的发现中， 人们知道了除了整数和分数以外， 还存在着一种新数 给 新发现的数起个什么名字呢？当时人们觉得，整数和分数是容易理解的，就把整数和分数合 称为“有理数”，而希伯斯发现的这种新数不好理解，就取名为“无理数” 一、无理数指数幂的运算 问题阅读课本 108 页的探究，你发现了什么？ 提示可以发现，当指数 x 的取值范围从整数拓展到了无理数时，它是一个确定的实数，在 数轴上有唯一的一个点与它对应 知识梳理 1无理数指数幂：一般地，无理数指数幂 a(a0，为无理数)是一个确定的实数 2实数指数幂的运算法则 (1)arasar s(a0，r，sR) (2)(ar)sars(a0

3、，r，sR) (3)(ab)rarbr(a0，b0，rR) (4)拓展：a r asa rs(a0，r，sR) 注意点：特别强调底数 a0，如果 a0)； (3) 3 23 33 . 解(1)原式 2 3 33 3 32 23 29324 608. (2)原式 74 663 a a01. (3)原式 3 3 2 2 332 3 3 3 . 反思感悟关于无理数指数幂的运算 (1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同； (2)若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算 跟踪训练 1计算下列各式的值(式中字母均是正数)： (1) 2 3 33 2m；(

4、2) 2 33 a aa . 解(1)原式 2 3 3 3 2 2m 26m364m3. (2)原式 2 33 a a01. 二、实际问题中的指数运算 例 2从盛满 2 升纯酒精的容器里倒出 1 升，然后加满水，再倒出 1 升混合溶液后又用水填 满，以此继续下去，则至少应倒_次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于 10%. 答案4 解析由题意，得第 n 次操作后溶液的浓度为 11 2 n，令 1 2 n0，所以 m3，即 11 22 xx 3. 设 n 11 22 xx ，两边平方得 n2xx 12725， 因为 nR，所以 n 5， 即 11 22 xx 5. 所以 xx 1 1111

5、2222 xxxx 3 5， x2x 2(xx1)(xx1)21 5. 延伸探究本例(2)的条件不变，求 x3x 3的值 解由 xx 17 平方可得 x2x247， 所以 x3x 3(xx1)(x2x21)746322. 反思感悟利用整体代换法求分数指数幂 (1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运 用恒等式是关键 (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式 x2x 2(xx1)2 2，xx 1 2 11 22 2xx ， 2 1111 2244 2xxxx . 跟踪训练 3已知 am4，an3，则 am 2n的值为

6、( ) A.2 3 B6C.3 2 D2 答案A 1知识清单： (1)无理数指数幂的运算 (2)实际问题中的指数运算 (3)实数指数幂的综合运用 2方法归纳：整体代换法 3常见误区：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数， 也不能既含有分母又含有负指数 1计算 3 33 的结果是() AB. CD.1 答案D 2将 2 2 2化为分数指数幂为() A 3 2 2B 3 4 2 C 7 4 2D 7 8 2 答案D 3已知 22 33 xx 5(x0)，那么 11 33 xx 等于() A. 7B 7 C 7D7 答案A 解析 2 1122 3333 2xxxx 52

7、7. 又 x0，故 11 33 xx 7. 4若 10 x3,10y4，则 102x y_. 答案 9 4 解析10 x3，102x9，102x y102x 10y 9 4. 课时对点练课时对点练 1已知集合 A0,1,2,4，Bx|x2n，nA，则 AB 等于() A0,1,2B0,1,4 C2,4D1,2,4 答案D 解析由题意得 B1,2,4,16，又 A0,1,2,4， AB1,2,4 2对于 a0，b0，以下运算正确的是() AarasarsB(ar)sars C. a b rarbr Darbs(ab)r s 答案B 解析根据实数指数幂的运算性质进行判断 3下列运算中正确的是()

8、A 2 23 26 2 aaaB(a2)3(a3)2 C( a2)01D 5 2 210 2 aa 答案D 解析 2 23 25 2 aaa，故 A 错误；(a2)3a2 3 a6， (a3)2a6， 故 B 错误； 当 a4 时， ( a2)0无意义， 故 C 错误； 5 2 210 2 aa ， 故 D 正确 4一张报纸，其厚度为 0.1 毫米，现将报纸对折(即沿对边中点连线折叠)10 次，这时，报纸 的厚度为() A2.56 厘米B5.12 厘米C10.24 厘米D20.48 厘米 答案C 解析0.0121010.24(厘米) 5若 3a9b1 3，则下列等式正确的是( ) Aab1Ba

9、b1 Ca2b1Da2b1 答案C 解析3a9b3a32b3a 2b1 33 1， a2b1. 6(多选)已知 a2a 23，则 aa1等于( ) A. 5B 5C1D1 答案AB 解析(aa 1)2a2a225， aa 1 5. 7计算： 1 3 8 1 2 2 0 22 3 2716 _. 答案7 解析原式2417. 8化简 2 2 32 22 8 _. 答案1 解析原式 22 22 22 222 3 33 2222 1 2 28 . 9已知 xx 13(x0)，求 33 22 xx 的值 解因为 xx 13，所以 x2x27， 所以 2 33 22 xx x3x 32(xx1)(x2x2

10、1)236220，所以 33 22 xx 2 5. 10已知 a2x3，求a 3xa3x axa x 的值 解原式a xaxa2xaxaxa2x axa x a2x1a 2x311 3 7 3. 11在算式 2 中2国2精2神29 中，“中、国、精、神”分别代表四个不同的数字，且依 次从大到小，则“国”字所对应的数字为() A4B3C2D1 答案B 解析由 291684124232220，可得“国”字所对应的数字为 3. 12方程 21 3 x 1 9的解是( ) A 2B 2 2 C. 2D. 2 2 答案B 解析 21 3 x 1 9， 21 3 x 3 2， 2x12， x 2 2 .方

11、程 21 3 x 1 9的解是 x 2 2 . 13已知 2a5bm，且1 a 1 b2，则 m 等于( ) A. 10B10C20D100 答案A 解析由题意得 m0， 2am,5bm， 2 1 a m，5 1 b m， 25 1 a m 1 b m 11 ab m ， m210，m 10. 14已知 2x8y 1,9y3x9，则 xy_. 答案27 解析由 2x8y 1，得 2x23y3， 所以 x3y3. 由 9y3x 9，得 32y3x9， 所以 2yx9. 联立， 解得 x21，y6， 所以 xy27. 1522k 122k122k等于( ) A22kB22k 1 C22k 1 D22k 1 答案C 解析原式22k 12222k1222k1(142)22k122k1. 16已知方程 x28x40 的两根为 x1，x2(x1x2) (1)求 x 2 1x 2 2的值； (2)求 11 22 12 xx 的值 解由题意知 x1x28，x1x24. (1)x1x2，x 2 1x 2 2x 1x2x2x1 x1x22 x2x1 2 x1x224x1x2 2 6416 2 2 3. (2) 11 11 22 21 22 121 2 12 xx xx x x x1x22 x1x2 x1x2 82 4 2 1.