4.2.1 指数函数的概念.docx
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1、4.2指数函数指数函数 4.2.1指数函数的概念指数函数的概念 学习目标1.理解指数函数的概念,了解对底数的限制条件的合理性.2.了解指数增长型和指 数衰减型在实际问题中的应用 导语 话说一个毕业生去求职,当和老板讨论薪资的时候,他说:“老板,不如这样吧,我第一个 月只要 1 元,第二个月要 2 元,第三个月要 4 元,这样以后每个月的薪资都是前一个的 2 倍, 老板你看怎么样?”老板一听,这不多呀,当即拍板说:“好,就按你说的办,我们先签个 3 年的合同吧”,大家猜一下,第 12 个月,他能获得多少工资?(2112 048)第 24 个月,他 能获得多少工资?(2238 388 608)估计
2、这个老板肠子都悔青了,这就是我们今天要学习的指 数函数大家可以用这种方式向家长要个零花钱噢,但是周期千万不要太长,有个 10 天就可 以了 一、指数函数的概念 问题 1阅读课本 111 页113 页,你有什么样的收获? 提示由课本问题 1 中可知,B 地景区的游客人次的年增长率是一个常数,问题 2 中的衰减 率也是一个常数函数 y1.11x(x0,)与函数 y 1 5730 1 2 x (x0,)的函数解 析式都是指数形式,底数为定值,自变量在指数位置 知识梳理 指数函数的概念:一般地,函数 yax(a0,且 a1)叫做指数函数,其中指数 x 是自变量, 函数的定义域是 R. 注意点: (1)
3、函数的特征底数 a0,且 a1;(2)指数幂的系数为 1. 例 1(1)给出下列函数:y23x;y3x 1;y3x;yx3;y(2)x.其中,指数 函数的个数是() A0B1C2D4 答案B 解析中,3x的系数是 2,故不是指数函数;中,y3x 1的指数是 x1,不是自变量 x,故不是指数函数;中,3x的系数是 1,幂的指数是自变量 x,且只有 3x一项,故是 指数函数; 中, yx3的底数为自变量, 指数为常数, 故不是指数函数; 中, 底数20,且 2a11, 解得 a1 2,且 a1, 即 a 的取值范围是 1 2,1(1,) 反思感悟判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)底数的值是否
4、符合要求 (2)ax前的系数是否为 1. (3)指数是否符合要求 跟踪训练 1(1)下列是指数函数的是() Ay3xB 2 1 2xy CyaxDyx 答案D 解析根据指数函数的特征知,A,B,C 不是指数函数 (2)若函数 y(a23a3)ax是指数函数,则 a 的值为_ 答案2 解析由指数函数的定义知 a23a31, a0 且 a1, 由得 a1 或 2,结合得 a2. 二、求指数函数的解析式或求值 例 2若函数 f(x) 1 2a3ax是指数函数,则 f 1 2 的值为() A2B2C2 2D2 2 答案D 解析因为函数 f(x)是指数函数,所以 1 2a31, 所以 a8, 所以 f(
5、x)8x,f 1 2 1 2 82 2. 反思感悟(1)求指数函数的解析式时,一般采用待定系数法,即先设出函数的解析式,然后 利用已知条件,求出解析式中的参数,从而得到函数的解析式,其中掌握指数函数的概念是 解决这类问题的关键 (2)求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式 跟踪训练 2指数函数 yf(x)的图象经过点 2,1 4 ,那么 f(4)f(2)等于() A8B16C32D64 答案D 解析由指数函数 yf(x)ax(a0, 且 a1)的图象经过点 2,1 4 , 可得 a 21 4, 解得 a2, 函数的解析式为 y2x,f(4)f(2)242264. 三、指数增长型和指数衰
6、减型函数的实际应用 问题 2将一张报纸连续对折,折叠次数 x 与对应的层数 y 之间存在什么关系?对折后的面 积 S(设原面积为 1)与折叠的次数有怎样的关系? 提示 折叠次数对应层数对折后的面积 S x1y221S1 2 x2y422 S1 4 1 2 2 x3y823 S1 8 1 2 3 由上面的对应关系,我们可以归纳出第 x 次折叠后对应的层数为 y2x(xN*),对折后的面 积 S 1 2 x(xN*) 知识梳理 1ykax(k0,a0 且 a1),当 a1 时为指数增长型函数模型 2ykax(k0,a0 且 a1),当 0a0 时,若 a1,则刻画指数增长变化规律;若 0a0 且
7、a1. 1下列各函数中,是指数函数的是() Ay(4)xBy4x Cy3x 1 Dy 1 3 x 答案D 解析A 中函数的底数不满足大于零,故不是指数函数;B 中函数式中幂值的系数不是 1, 故不是指数函数;C 中的指数是 x1,不是指数函数 2若函数 y(m2m1)mx是指数函数,则 m 等于() A1 或 2B1C2D.1 2 答案C 解析依题意,有 m2m11, m0 且 m1, 解得 m2(m1 舍去) 3为响应国家退耕还林的号召,某地的耕地面积在最近 50 年内减少了 10%,如果按此规律, 设 2016 年的耕地面积为 m,则 2021 年的耕地面积为() A(10.1250)mB
8、 1 10 0.9 m C0.9250mD 1 10 1 0.9m 答案B 解析设每年减少的百分率为 a, 由题意得,(1a)50110%0.9, 1a 1 50 0.9, 由 2016 年的耕地面积为 m, 得 2021 年的耕地面积为(1a)5m 1 10 0.9 m. 4若函数 f(x)是指数函数,且 f(2)2,则 f(x)_. 答案( 2)x 解析由题意,设 f(x)ax(a0 且 a1), 则由 f(2)a22,得 a 2, 所以 f(x)( 2)x. 课时对点练课时对点练 1下列函数是指数函数的是() Ay 2 x By(8)x Cy2x 1 Dyx2 答案A 解析对于 A, 函
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