3.1.2　第2课时　函数的表示法(2).docx

1、第第 2 课时课时函数的表示法函数的表示法(2) 学习目标1.掌握利用图象的变换法作图.2.会求函数的解析式 导语 同学们，函数的图象在整个函数的学习中占据重要的地位，因为它能带给我们直观的感受变 量的发生、发展过程，就好象是有了“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天”，就能在我们的 脑海里呈现出一幅优美的图象一样直接 一、函数图象的画法 问题除了我们所熟悉“列表、描点、连线”作图，还有哪些作图的方法？ 提示平移变换、对称变换、翻折变换 知识梳理 1函数图象的平移变换 (1)左加右减：函数 yf(x)的图象沿 x 轴方向向左(a0)或向右(a0)或向下(b0)平移|b|个单位长度得到函 数 yf(x

2、)b 的图象 2函数图象的对称变换 (1)yf(x) 关于 x 轴对称 yf(x)； (2)yf(x) 关于 y 轴对称 yf(x)； (3)yf(x) 关于原点对称 yf(x) 3函数图象的翻折变换 (1)yf(x) 保留 x 轴上方的图象，把 x 轴 下方的图象翻折到 x 轴上方 y|f(x)|； (2)yf(x) 保留 y 轴右边的图象， 把 y 轴右边的图象翻折到 y 轴左边 yf(|x|) 注意点： (1)左右移动加减的是自变量，且不带系数与符号，上下移动加减的是函数值；(2)自变量的绝 对值是左右翻折，函数值的绝对值是上下翻折；(3)若 f(ax)f(ax)，则函数 f(x)的图象

3、关 于 xa 对称 例 1画出函数 y(x2)2的图象 解方法一列表： x10.500.511.522.533.544.55 y96.2542.2510.2500.2512.2546.259 描点、连线，图象如图所示 方法二用图象变换法：先作出函数 yx2的图象，然后把它向右平移 2 个单位长度，就得 到函数 y(x2)2的图象，如图所示 反思感悟画函数图象的两种常见方法 (1)描点法：列表、描点、连线 (2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、对称变换、翻折变换等 跟踪训练 1函数 y x 1x的大致图象是( ) 答案A 解析方法一y x 1x的定义域为x|x1，排除 C，D，当

4、 x0 时，y0，排除 B. 方法二y x 1x1 1 x1，由函数的平移性质可知 A 正确 二、求函数的解析式 例 2(1)已知 f( x1)x2 x，求 f(x)； (2)已知 f(x)为二次函数，且 f(x1)f(x1)2x24x，求 f(x)； (3)已知函数 f(x)对于任意的 x 都有 2f 1 x f(x)x(x0)，求 f(x) 解(1)方法一(换元法)：令 t x1， 则 x(t1)2，t1， 所以 f(t)(t1)22(t1)t21(t1)， 所以 f(x)的解析式为 f(x)x21(x1) 方法二(配凑法)：f( x1)x2 x x2 x11( x1)21. 因为 x11

5、， 所以 f(x)的解析式为 f(x)x21(x1) (2)设 f(x)ax2bxc(a0)， 则 f(x1)f(x1) a(x1)2b(x1)ca(x1)2b(x1)c 2ax22bx2a2c2x24x， 所以 2a2， 2b4， 2a2c0， 所以 a1， b2， c1， 所以 f(x)x22x1. (3)f(x)2f 1 x x， 令 x1 x， 得 f 1 x 2f(x)1 x， 于是得关于 f(x)与 f 1 x 的方程组 fx2f 1 x x， f 1 x 2fx1 x. 解得 f(x) 2 3x x 3(x0) 反思感悟求函数解析式的四种常用方法 (1)换元法：设 tg(x)，解

6、出 x，代入 f(g(x)，求 f(t)的解析式即可 (2)配凑法：对 f(g(x)的解析式进行配凑变形，使它能用 g(x)表示出来，再用 x 代替两边所有 的“g(x)”即可 (3)待定系数法：若已知 f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系 数即可 (4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时， 可构造方程组求解 提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性 跟踪训练 2(1)已知 f(x1)x23x2，求 f(x)； (2)已知函数 f(x)是一次函数，若 f(f(x)4x8，求 f(x) 解(1)方法一(

7、配凑法)：f(x1)x23x2 (x1)25x1(x1)25(x1)6， f(x)x25x6. 方法二(换元法)：令 tx1，则 xt1， f(t)(t1)23(t1)2t25t6， 即 f(x)x25x6. (2)设 f(x)axb(a0)， 则 f(f(x)f(axb)a(axb)ba2xabb. 又 f(f(x)4x8，a2xabb4x8， 即 a24， abb8， 解得 a2， b8 3 或 a2， b8. f(x)2x8 3或 f(x)2x8. 1知识清单： (1)函数的图象 (2)求函数解析式 2方法归纳：待定系数法、换元法、配凑法、数形结合法 3常见误区：求函数解析式时易忽视定义

8、域 1若二次函数的图象开口向上且关于直线 x1 对称，并过点(0,0)，则此二次函数的解析式 可能为() Af(x)x21 Bf(x)(x1)21 Cf(x)(x1)21 Df(x)(x1)21 答案D 解析设 f(x)(x1)2c，由于点(0,0)在二次函数图象上，f(0)(01)2c0.c1， f(x)(x1)21. 2已知函数 f(2x1)4x6，则 f(x)的解析式是() Af(x)2x8Bf(x)2x1 Cf(x)2x2Df(x)4x2 答案A 解析因为 f(2x1)4x62(2x1)8， 所以 f(x)2x8. 3已知 f(x)的图象恒过点(1，1)，则函数 f(x3)的图象恒过点

9、() A(2，1)B(4，1) C(1，4)D(1，2) 答案B 解析因为已知 f(x)的图象恒过点(1，1)，所以当 x31 时，f(x3)1，即函数 f(x3) 的图象恒过点(4，1) 4已知二次函数 f(x)的图象经过点(3,2)，顶点是(2,3)，则函数 f(x)的解析式为 _ 答案f(x)x24x1 解析设 f(x)a(x2)23(a0)， 由 yf(x)过点(3,2)，得 a1， f(x)(x2)23x24x1. 课时对点练课时对点练 1函数 f(x)|x1|的图象是() 答案B 解析画出 y|x|的图象，则 f(x)的图象由 y|x|的图象向右平移一个单位长度得到 2二次函数 y

10、2x2的图象向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度，所得图象对 应的函数表达式为() Ay2(x1)22By2(x1)22 Cy2(x1)22Dy2(x1)22 答案B 解析将二次函数 y2x2的图象向上平移 2 个单位长度得到函数 y2x22 的图象， 再向右平移 1 个单位长度得函数 y2(x1)22 的图象 3函数 y 1 x1的图象是( ) 答案C 解析方法一先画 y1 x的图象，然后再向右平移 1 个单位长度即可得到 y 1 x1的图 象 方法二根据函数 y 1 x1的定义域为(，1)(1，)可排除 B，D；再根据 x2 时， y10，二次函数 yax2bxa21 的图

11、象为下列图象之一，则 a 的值为_ 答案1 解析若 a0，即图象开口向上，故排除第 1 个和第 3 个图象，b0，对称轴 x b 2a0， 故排除第 2 个和第 4 个图象；若 a0，对称轴 x b 2a0，故函 数图象为第 3 个图由图象知函数过点(0,0)，a210，a1(舍去 a1) 8已知 f 1 x 1 x1，那么 f(x)的解析式为_ 答案f(x) x 1x(x1 且 x0) 解析由 f 1 x 1 x1可知，函数 f(x)的定义域为x|x0 且 x1 令 t1 x，则 f(t) 1 1 t 1 t t1， 故 f(x) x 1x(x1 且 x0) 9画出函数 y 2x x1的图象

12、 解因为 y 2x x12 2 x1，所以可先画出函数 y 2 x的大致图象(如图虚线所示)，把所得 图象向左平移 1 个单位长度，得到 y 2 x1的图象，再把所得图象向上平移 2 个单位长度 就得到函数 y 2x x1的图象，如图实线所示 10(1)已知 f x1 x x21 x2，求 f(x)； (2)已知函数 f(x)对于任意的 x 都有 f(x)2f(x)12x，求 f(x) (3)已知函数 f(x)x2bxc 且 f(1)0，f(2)3，求 f(x) 解(1)f x1 x x21 x2 x1 x 22， 令 tx1 x，f(t)t 22，f(x)x22. (2)由题意得，在 f(x

13、)2f(x)12x 中， 以x 代替 x 可得 f(x)2f(x)12x， 联立得 fx2fx12x， fx2fx12x， 消去 f(x)可得 f(x)2 3x1. (3)由 f11bc0， f242bc3， 解得 b6， c5， 故 f(x)x26x5. 11一等腰三角形的周长是 20，底边长 y 是关于腰长 x 的函数，则它的解析式为() Ay202xBy202x(0 x10) Cy202x(5x10)Dy202x(5xy，即 2x202x，即 x5， 由 y0 即 202x0 得 x10，所以 5x10. 12若 yf(x3)的图象经过点 P(1,4)，则函数 yf(x)的图象必经过点(

14、) A(2,4)B(1,1)C(4,4)D(1,7) 答案C 解析由于点 P(1,4)在 yf(x3)的图象上，且 yf(x)的图象是由 yf(x3)的图象向右平移 3 个单位长度得到的，因此点 P(1,4)也向右平移 3 个单位长度，变成(4,4) 13已知图甲是函数 f(x)的图象，图乙是由图甲变换所得，则图乙中的图象对应的函数可能 是() Ayf(|x|)By|f(x)| Cyf(|x|)Dyf(|x|) 答案C 解析设图乙对应的函数为 g(x)，由图象可知当 x0 时，g(x)f(x)；当 x0 时，g(x)g(x) f(x)，g(x)f(|x|) 14已知函数 F(x)f(x)g(x

15、)，其中 f(x)是 x 的正比例函数，g(x)是 x 的反比例函数，且 F 1 3 16，F(1)8，则 F(x)的解析式为_ 答案F(x)3x5 x(x0) 解析设 f(x)kx(k0)，g(x)m x (m0，且 x0)，则 F(x)kxm x . 由 F 1 3 16，F(1)8，得 1 3k3m16， km8， 解得 k3， m5， 所以 F(x)3x5 x(x0) 15若函数 f(x)(a22a3)x2(a3)x1 的定义域和值域都为 R，则 a 的值是_ 答案1 解析由题意知 f(x)为一次函数， 则满足 a22a30， a30， 所以 a1. 16已知函数 f(x)x2(a1)xb 满足 f(3)3，且 f(x)x 恒成立，求 f(x)的解析式 解由 f(3)3，得 b3a9. 由 f(x)x 恒成立可知，x2axb0 恒成立， 所以 a24b0，所以 a212a36(a6)20， 所以 a6，b9. 所以 f(x)x25x9.