2020年北大强基计划试题及解析.pdf

1、微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究 1 微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究 欢迎关注，交流数学！欢迎关注，交流数学！ 微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究 2 20202020 年北京大学强基计划数学试题年北京大学强基计划数学试题 一、共 20 道选择题，在每题的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对得 5 分，选 错或不选得 0 分 1 1. .已知wzyx,均为正实数，且满足wyx和wzyx2，则 y z x w 的最小 值等于（） A. 4 3 B. 8 7 C.1D.前三个答案都不对 2 2在 2021 2019 2020的全体正因数中选出若

2、干个，使得其中任意两个的乘积都 不是平方数，则最多可选因数的个数为（） A16B31C32D前三个答案都不对 3 3 已知整数列 n a（1n） 满足 1 1a ， 2 4a ， 且对任意2n有 21 11 2n nnn aaa ， 则 2020 a的个位数字是（） A8B4C2D前三个答案都不对 4.4.设a，b，c，d是方程 432 23450 xxxx的4个复根，则 1111 2222 abcd abcd 的值为（） A 4 3 B 2 3 C 2 3 D前三个答案都不对 微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究 3 5 5设等边ABC的边长为1，过点C作以AB为直径的圆的切线，

3、交AB的延长 线于点D，ADBD，则BCD的面积为（） A 6 23 3 16 B 4 23 3 16 C 3 22 3 16 D前三个答案都不对 6 6 设x，y，z均不为 1 2 k ， 其中k为整数， 已知sin yzx，sin xzy， sin xyz成等差数列，则依然成等差数列的是（） Asin x，sin y，sinzBcosx，cos y，cosz Ctan x，tan y，tan zD前三个答案都不对 7 7方程19934xyxy的整数解个数为（） A4B8C16D前三个答案都不对 8 8从圆 22 4xy上的点向椭圆C： 2 2 1 2 x y引切线，两个切点间的线段称 为切

4、点弦，则椭圆C内不与任何切点弦相交的区域面积为（） A 2 B 3 C 4 D前三个答案都不对 微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究 4 9 9使得512xxy a xy对所有正实数x，y都成立的实数a的最小值为 （） A8B9C10D前三个答案都不对 1010 设P为单位立方体 1111 ABCDABC D的面对角线 1 AB上的一点， 则 11 PAPC的 最小值为（） A22B22 2C 2 2 2 D前三个答案都不对 1111设数列 1 n n a 满足 1 1a ， 2 9a ，且对任意1n有 21 4320 nnn aaa ， 其前n项和为 n S，则 n S的最大值等

5、于（） A28B35C47D前三个答案都不对 1212 设直线3yxm与椭圆 22 1 2516 xy 交于A，B两点，O坐标原点， 则OAB 面积的最大值为（） A8B10C12D前三个答案都不对 微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究 5 1313正整数3n称为理想的，若存在正整数11k n 使得 1 Ck n ，Ck n， 1 Ck n 构成 等差数列， 其中 ! C ! k n n knk 为组合数， 则不超过2020的理想数个数为 （） A40B41C42D前三个答案都不对 1414在ABC中，150A， 1 D， 2 D， 2020 D依次为边BC上的点，且 11223

6、BDD DD D 201920202020 DDDC 设 11 BAD， 122 D AD， ， 201920202020 DAD， 20202021 DAC， 则 132021 242020 sinsinsin sinsinsin 的值为 （） A 1 1010 B 1 2020 C 1 2021 D前三个答案都不对 1515函数 22 32 3coscos52 3coscos4sinf的最大值 为（） A23B2 23C22 3D前三个答案都不对 1616方程5412211xxxx的实根个数为（） A1B2C3D前三个答案都不对 微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究 6 171

7、7凸五边形ABCDE的对角线CE分别与对角线BD和AD交于点F和G，已知 :5:4BF FD ，:1:1AG GD ，:2:2:3CF FG GE ， CFD S和 ABE S分别为 CFD和ABE的面积，则: CFDABE SS 等于（） A8：15B2：3C11：23D前三个答案都不对 1818 设p，q均为不超过100的正整数， 则有有理根的多项式 5 f xxpxq的 个数为（） A99B133C150D前三个答案都不对 1919满足对任意1n有 1 23 n nn aa 且严格递增的数列 1 n n a 的个数为（） A0B1C无穷个D前三个答案都不对 2020设函数, , xyz

8、f x y z xyyzzx ，其中x，y，z均为正实数，则有 （） Af既有最大值也有最小值Bf有最大值但无最小值 Cf有最小值但无最大值D前三个答案都不对 微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究 7 20202020 年北京大学强基计划数学试题解析年北京大学强基计划数学试题解析 一、共 20 道选择题，在每题的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对得 5 分，选 错或不选得 0 分 1 1. .已知wzyx,均为正实数，且满足wyx和wzyx2，则 y z x w 的最小 值等于（） A. 4 3 B. 8 7 C.1D.前三个答案都不对 参考答案：参考答案：D 解解析：析：

9、由题知， 2 2wyx z ， 因而， 2 1 22 2 y w y x x w y wyx x w y z x w x xy y x xy xyw y x 2 1 22 1 22 1 2 2 1 2 x y y x ， 等号成立当且仅当zwyxwyyx2,2. 2 2在 2021 2019 2020的全体正因数中选出若干个，使得其中任意两个的乘积都 不是平方数，则最多可选因数的个数为（） A16B31C32D前三个答案都不对 参考答案：参考答案：C 解解析析：由于任意两个因数的乘积都不是平方数，可得任意两个因数的素因数分解 式中至少有一个素因数的指数的奇偶性是不同的 因为 2021 2021

10、 2 2019 202023 5 101 673 ，所以可以选取的素因数为 231016735， ，共计 5 个.5 个素因数的不同的奇偶组合共有 5 2种 3 3 已知整数列 n a（1n） 满足 1 1a ， 2 4a ， 且对任意2n有 21 11 2n nnn aaa ， 则 2020 a的个位数字是（） A8B4C2D前三个答案都不对 参考答案：参考答案：A 解解 析 ：析 ： 由 于 21 11 2n nnn aaa ， 因 而 对 任 意3n有 22 12 2n nnn aa a . 则 22 1112 2 nnnnnn aaaaa a ，整理得 21 2 nnnn aaaa 1

11、1 +2 nn aa . 微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究 8 反证法证明每一个0 n a .设s为最小的正整数使得=0 s a.根据上述递推关系可 得 31 02=aa，但由于 31=14 a，因而矛盾. 则 11231 12 222142 4 4 nnnn nn aaaaaa aaa ， 因此有 11 42 nnn aaa 由 1 a， 2 a Z，得 n a Z 列举 n a前27项的个位数为：1，4，4，8，4，0，2，8，8，6，8，0，4，6，6， 2，6，0，8，2，2，4，2，0，6，4，4发现其个位数字具有周期性，周期为24. 由于 1n a 的个位数由 n

12、a， 1n a 所确定，因而 20204 8 mod10aa 4.4.设a，b，c，d是方程 432 23450 xxxx的4个复根，则 1111 2222 abcd abcd 的值为（） B 4 3 B 2 3 C 2 3 D前三个答案都不对 参考答案：参考答案：A 解解析：析： 11111111 43 22222222 abcd abcdabcd ， 接下来构造以 1 2a ， 1 2b ， 1 2c ， 1 2d 为4个复根的方程，再利用韦达定理 求 解 因 为 2 不 是 原 方 程 的 根 ， 令 1 2 y x ， 则 1 2x y ， 代 入 432 23450 xxxx， 得

13、432 1111 222324250 yyyy 整理得 432 9160yymynyl （其中常数m，n，l与本题的计算无关） 由韦达定理，可得 111116 22229abcd 因而 11114 22223 abcd abcd 本题也可先使用韦达定理，再把所求表达式进行通分计算转化，但计算量较大. 微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究 9 5 5设等边ABC的边长为1，过点C作以AB为直径的圆的切线，交AB的延长 线于点D，ADBD，则BCD的面积为（） A 6 23 3 16 B 4 23 3 16 C 3 22 3 16 D前三个答案都不对 参考答案：参考答案：C 解解析析：

14、如图所示，设AB中点为O，CD切圆O于E， 则CEOCOD可得 CECO OEOD ，得 6 4 OD 可知 62 4 BD ，因而 13 22 3 = 216 BCD SBD BO 6 6 设x，y，z均不为 1 2 k ， 其中k为整数， 已知sin yzx，sin xzy， sin xyz成等差数列，则依然成等差数列的是（） Asin x，sin y，sin zBcosx，cos y，cosz Ctan x，tan y，tan zD前三个答案都不对 参考答案：参考答案：C 解析：解析：由题可知，2sinsinxzyyzxsin xyz 整理得sincoscossinsincosxzyxz

15、yyxz 因而sincoscoscossin2sincos cosxzyxzxzyyxz 整理得sin coscoscos cos sin2sincos cosxyzxyzyxz 因而tantan2tanxzy 7 7方程19934xyxy的整数解个数为（） A4B8C16D前三个答案都不对 参考答案：参考答案：B 解析：解析：由19934xyxy，因式分解可得4934193 1931xy 观察到4933 mod4x ，4191 mod4x ， 因而4933x ， 19， 31，3 1931， 1，3 19 ，331 ，3 1931 ，经验证都符合题意，共8组 微信公众号：乐思数学研究微信公众

16、号：乐思数学研究 10 8 8从圆 22 4xy上的点向椭圆C： 2 2 1 2 x y引切线，两个切点间的线段称 为切点弦，则椭圆C内不与任何切点弦相交的区域面积为（） A 2 B 3 C 4 D前三个答案都不对 参考答案：参考答案：A 解析：解析：如图，设2cos ,2sinP为圆上任意一点， 切点弦的直线方程是cos2sin1xy 该直线为椭圆 22 41xy的切线系方程， 因而其面积为 2 ab 9 9使得512xxy a xy对所有正实数x，y都成立的实数a的最小值为 （） A8B9C10D前三个答案都不对 参考答案：参考答案：B 解析：方法一：参变量分离法解析：方法一：参变量分离法

17、由于0, 0yx，因而 512xxy a xy . 进一步得， 512 1 x y x y a .换元，令512 x t y ， 显然，5t 因而， 22 512 144144144 9 169 101692 16910 5 110 1 12 tt x tt t t y x t y ， 等号成立当且仅当13t，即 9 4 y x .因而9a . 方法二：待定系数法方法二：待定系数法引入参数0A， 6 51251256 yy xxyxAxA x AA ， 令 6 56A A ，可得 3 2 A.因而5129xxyxy，得9a . 微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究 11 1010

18、设P为单位立方体 1111 ABCDABC D的面对角线 1 AB上的一点， 则 11 PAPC的 最小值为（） A22B22 2C 2 2 2 D前三个答案都不对 参考答案：参考答案：A 解析：解析： 图1图2 将图1中的 11 AA B和矩形 11 BC DA放置于同一个平面内，如图2所示，则 1111 1 12cos13522PAPCAC ，当且仅当P在线段线段 11 AC上时 等号成立. 1111设数列 1 n n a 满足 1 1a ， 2 9a ，且对任意1n有 21 4320 nnn aaa ， 其前n项和为 n S，则 n S的最大值等于（） A28B35C47D前三个答案都不

19、对 参考答案：参考答案：A 解析：解析：由题可得 211 03101 nnnn aaaa ，可得 1 +1 102 3n nn aa 因而当3n时， 1 0 nn aa 因为 1 1a ， 2 9a ， 3 13a ， 4 5a ，当5n时，0 n a ，故 4 28S 最大 1212 设直线3yxm与椭圆 22 1 2516 xy 交于A，B两点，O坐标原点， 则OAB 面积的最大值为（） A8B10C12D前三个答案都不对 参考答案：参考答案：B 微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究 12 解析解析：方法一、方法一、设5cos ,4sinA，5cos,4sinB，可得 001

20、cossin 1 5cos4sin11010 sin()10 cossin2 5cos4sin1 OAB S 当 2 ，及 4 sinsin 3 5 coscos k 时，可取到等号 方法二、方法二、联立方程可得 22 241150254000 xmxm. 可得 42 12 120241 1010 2241 10 m mm SAB dxx ， 等号成立时当且仅 当 2 241 = 2 m. 1313正整数3n称为理想的，若存在正整数11k n 使得 1 Ck n ，Ck n， 1 Ck n 构成 等差数列， 其中 ! C ! k n n knk 为组合数， 则不超过2020的理想数个数为 （）

21、 A40B41C42D前三个答案都不对 参考答案：参考答案：C C 解析：解析：根据 11 2CCC kkk nnn ，可得 22 4420knknn，解得 2 2 nn k 因而2n 是完全平方数计算得52022的完全平方数共42个 1414在ABC中，150A， 1 D， 2 D， 2020 D依次为边BC上的点，且 11223 BDD DD D 201920202020 DDDC 设 11 BAD， 122 D AD， ， 201920202020 DAD， 20202021 DAC， 则 132021 242020 sinsinsin sinsinsin 的值为 （） A 1 1010

22、 B 1 2020 C 1 2021 D前三个答案都不对 参考答案：参考答案：D 解析解析： 微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究 13 如图，可知 112232020 2021 BAC BADD ADD ADDAC S SSSS V L 则 1232020 123420192020 132021 242020 sinsinsin 2sinsinsin2021 BADD ADDAC BAC D ADD ADDAD SSS ABACS SSS L L LL 因而 132021 242020 sinsinsin1 sinsinsin4042 L L 1515函数 22 32 3cosc

23、os52 3coscos4sinf的最大值 为（） A23B2 23C22 3D前三个答案都不对 参考答案：参考答案：C 解析解析： 2 3cos23cos2 62 2cos4sinf 2 6 3cos23cos2 62 6cosarcsin 3 3cos23cos22 3， 等号成立当且仅当 6 arcsin 3 1616方程5412211xxxx的实根个数为（） A1B2C3D前三个答案都不对 参考答案：参考答案：D 解析解析：541221121 1 1xxxxxx ，等号成立 时当且仅当11 2x ，因而方程的实根有无数个 1717凸五边形ABCDE的对角线CE分别与对角线BD和AD交于

24、点F和G，已知 :5:4BF FD ，:1:1AG GD ，:2:2:3CF FG GE ， CFD S和 ABE S分别为 CFD和ABE的面积，则: CFDABE SS 等于（） A8：15B2：3C11：23D前三个答案都不对 参考答案：参考答案：A 微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究 14 解析：解析：如图，设BE交AD于H 对BEF及截线DGH用梅涅劳斯定理定理， 可得1 BHEG FD HE GFDB ，于是有 3 2 BH HE 对BDH及截线EFG用梅涅劳斯定理定理， 可得1 BFDG HE FD GHEB ，于是有2 DG GH 因而 8 15 CFDCFDGE

25、DAEH ABEGEDAEHABE SSSSCFGDEH SSSSGEAHBE 1818 设p，q均为不超过100的正整数， 则有有理根的多项式 5 f xxpxq的 个数为（） A99B133C150D前三个答案都不对 参考答案：参考答案：B 解析解析：由题知有理根为负整数.设 m t n 为 f x的有理根，且满足,1m n ，m 为负整数，n为正整数. 代入可得， 545 0mpmnqn.因而1n . 当1m 时，10pq，符合条件的, p q有99组 当2m 时，1322100qp，可得134p ，符合条件的, p q有34组 当3m时， 5 100qmpm ，没有符合条件的, p q

26、 因而答案为99 34133 1919满足对任意1n有 1 23 n nn aa 且严格递增的数列 1 n n a 的个数为（） A0B1C无穷个D前三个答案都不对 参考答案：参考答案：B 解析：解析：由题意可得， 1 1 13 22 1 525 nn nn aa ，因而 1 1 22 3 55 n n n aa 则 1 11 22 430 55 n n nn aaa ，即 1 1 3 12 52 2 n a 当 1 2 5 a 时， 1 1 3 12 520 2 n a 恒成立，因而数列严格递增 微信公众号：乐思数学研究微信公众号：乐思数学研究 15 当 1 2 5 a 时， (21) 1

27、1 3 lim 2 52 2 k k a ， 1 1 3 12 52 2 n a 不可能恒成 立，数列不严格递增 当 1 2 5 a 时， 21 1 3 lim 2 52 2 k k a ， 1 1 3 12 52 2 n a 不可能恒成立， 数列不严格递增 2020设函数, , xyz f x y z xyyzzx ，其中x，y，z均为正实数，则有 （） Af既有最大值也有最小值Bf有最大值但无最小值 Cf有最小值但无最大值D前三个答案都不对 参考答案：参考答案：D 解析：解析：若0 ba，0m，由糖水不等式可知， ma mb a b . 因而， zyx zy zyx yx zyx zx xz z zy y yx x zyxf , 2 2 zyx zyx . 又由于1, zyx z zyx y zyx x xz z zy y yx x zyxf， 因而2,1zyxf. 令 32, ,xxxzyx，则 2 2 11 2 , x x x zyxf . 可得2, lim 0 zyxf x ，1, lim zyxf x . 因而，f无最大值也无最小值.