§5.6　第1课时　函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图象(一).docx

1、5.6函数函数 yAsin(x) 第第 1 课时课时函数函数 yAsin(x)的图象的图象(一一) 学习目标1.理解 yAsin(x)中，A 对图象的影响.2.会利用图象的变换解决简单的 问题 导语 如图是观缆车的示意图，设缆车转轮半径长为 A，角速度为 rad/s.点 P0表示座椅的初始位 置此时xOP0.当转轮转动 t s 后，点 P0到达点 P 的位置，于是，以 Ox 为始边，OP 为 终边的角为t，由正弦函数的定义，得点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系为 yAsin(t ) 这种函数我们称为正弦型函数，那么正弦型函数的图象与正弦曲线有何关系呢？ 一、对 ysin(x)，xR

2、图象的影响 问题 1你能在同一坐标系下画出 ysin x 和 ysin x 3 的函数图象吗？ 提示 我们分别在这两条曲线上选取纵坐标相同的点 A，B，沿两条曲线同时移动这两点，并保持它 们的纵坐标相等，在上述移动的过程中，线段 AB 的长度保持不变可以发现，ysin x 3 的图象上的点的横坐标总是等于 ysin x 的图象上的点的横坐标加 3，这说明 ysin x 3 的 图象可以看作是把正弦函数 ysin x 的图象上所有的点向右平移 3个单位长度而得到的 知识梳理 对函数 ysin(x)，xR 图象的影响 例 1函数 ysin x 6 的图象可以看作是由 ysin x 的图象经过怎样的

3、变换而得到的？ 解函数 ysin x 6 的图象，可以看作是把曲线 ysin x 上所有的点向右平移 6个单位长度 而得到的 延伸探究 1函数 ysin x 的图象可以看作是由 ysin x 6 的图象经过怎样的变换而得到的？ 解函数 ysin x 的图象，可以看作是由 ysin x 6 上所有的点向左平移 6个单位长度而得 到的 2函数 ysin 6x的图象可以看作是由 ysin(x)的图象经过怎样的变换而得到的？ 解因为 ysin 6xsin x 6，故是由 ysin(x)的图象向右平移 6个单位长度得到 的 3求函数 ysin 2x 向左平移 6个单位长度后的函数解析式 解函数 ysin

4、 2x 向左平移 6个单位长度可得 ysin 2 x 6 ，即 ysin 2x 3 . 4由函数 ysin x 6 的图象经过怎么样的变换，可以得到 ycos x 的图象？ 解因为 ysin x 6 cos 2 x 6 cos 3xcos x 3 ，故只需将函数 ysin x 6 的图象向左平移 3个单位长度即可得到 ycos x 的图象 反思感悟对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同，则先化为同名函数，再观 察 x 的系数，当 x 的系数不为 1 时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减， 且从xx的平移量为| |个单位长度 跟踪训练 1(1)要得到函数 ysin 2x

5、3 的图象，只要将函数 ysin 2x 的图象() A向左平移 3个单位长度 B向右平移 3个单位长度 C向左平移 6个单位长度 D向右平移 6个单位长度 答案C 解析因为 ysin 2x 3 sin 2 x 6 ， 所以将函数 ysin 2x 的图象向左平移 6个单位长度， 就可得到函数 ysin 2 x 6 sin 2x 3 的图象 (2)为了得到 ysin x 3 的图象只需将函数 ycos x 的图象_而得到 答案向右平移 6个单位长度 解析ysin x 3 cos 2 x 3 cos 6xcos x 6 ， 只需把 ycos x 的图象向右平移 6个单位长度即得到 ysin x 3

6、的图象 二、(0)对 ysin(x)图象的影响 问题 2观察下图，你能发现什么？ 提示由图象我们可以看到，函数周期从 2变成了 4，即函数的图象拉长了，对于同一个 y 值，ysin 1 2x 的图象上的点的横坐标总是等于 ysin x 的图象上对应点的横坐标的 2 倍，这 说明ysin 1 2x的图象可以看作是把正弦曲线ysin x上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵 坐标不变)而得到的 问题 3借助多媒体，在同一坐标系下画出 ysin x 3 和 ysin 2x 3 的函数图象如图所 示，结合问题 2，你能得到什么？ 提示可以发现，对于同一个 y 值，ysin 2x 3 的图象上的点的横坐标

7、总是等于 y sin x 3 的图象上的点的横坐标的1 2，这说明 ysin 2x 3 的图象可以看作是把正弦曲线 y sin x 3 上所有点的横坐标缩短到原来的1 2(纵坐标不变)而得到的 知识梳理 (0)对函数 ysin(x)图象的影响 例 2为了得到 ysin 4x，xR 的图象，只需把正弦曲线 ysin x 上所有点的() A横坐标伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变 B横坐标缩短到原来的1 4，纵坐标不变 C纵坐标伸长到原来的 4 倍，横坐标不变 D纵坐标缩短到原来的1 4，横坐标不变 答案B 解析41，因此只需把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的1 4，纵坐标不变 反思感悟在研究

8、(0)对 ysin(x)图象的影响时， 由 ysin(x)图象上所有点的横 坐标变为原来的1 倍(纵坐标不变)，即可得到 ysin(x) 跟踪训练 2函数 ycos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的 2 倍，得到图象 的解析式为 ycos x，则的值为_ 答案 1 2 解析函数 ycos x 纵坐标不变，横坐标变为 原来的 2 倍 ycos 1 2x，所以 1 2. 三、A(A0)对函数 yAsin(x)图象的影响 问题 4借助多媒体，在同一坐标系下画出 ysin 2x 3 和 y3sin 2x 3 的图象，如图所 示，你能发现什么？ 提示可以发现对于同一x值， y3sin 2x

9、 3 的图象上的点的纵坐标总是等于ysin 2x 3 的图象上对应点纵坐标的 3 倍 知识梳理 A(A0)对函数 yAsin(x)图象的影响 例 3函数 ysin 2x 4 图象上所有点的横坐标保持不变， 将纵坐标_(填“伸长”或 “缩短”)为原来的_倍，将会得到函数 y3sin 2x 4 的图象 答案伸长3 解析A31，故函数 ysin 2x 4 图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐标伸长为原 来的 3 倍即可得到函数 y3sin 2x 4 的图象 反思感悟在研究 A(A0)对 yAsin(x)图象的影响时，由 ysin(x)纵坐标(横坐标 不变)变成原来的 A 倍即可得到 yAsin(x)

10、 跟踪训练 3为了得到函数 y1 4cos x 的图象，只需把余弦曲线 ycos x 上所有点的( ) A横坐标伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变 B横坐标缩短到原来的1 4，纵坐标不变 C纵坐标伸长到原来的 4 倍，横坐标不变 D纵坐标缩短到原来的1 4，横坐标不变 答案D 解析将 ycos x 图象上所有点的纵坐标缩短到原来的1 4，横坐标不变，得到 y 1 4cos x. 1知识清单： (1)平移变换 (2)伸缩变换 2方法归纳：数形结合法 3常见误区：探究平移变换时，需要保证 x 的系数为 1. 1函数 ycos 2x 4 的图象经过怎样的平移可得到函数 ycos 2x 的图象() A向

11、左平移 4个单位长度 B向右平移 4个单位长度 C向左平移 8个单位长度 D向右平移 8个单位长度 答案D 解析因为 ycos 2x 4 cos 2 x 8 ， 所以 ycos 2x 4 的图象向右平移 8个单位长度可得到函数 ycos 2x. 2为了得到函数 y4sin 1 2x 6 ，xR 的图象，只需将函数 y4sin x 6 ，xR 的图象上 所有点的() A横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 B横坐标缩短到原来的1 2，纵坐标不变 C纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标不变 D纵坐标缩短到原来的1 2，横坐标不变 答案A 3将函数 ysin 2x 10 的图象上所有的点向右平移 1

12、0个单位长度，再把所得各点的横坐标 伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是() Aysin x 10Bysin x 20 Cysin xDysin 4x 答案A 解析将函数 ysin 2x 10 的图象上所有的点向右平行移动 10个单位长度，得 y sin 2 x 10 10sin 2x 10 ，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，可 得 ysin 1 22x 10 sin x 10 . 4函数 ysin 2x 3 的图象可由 ycos 2x 4 的图象_得到 答案向右平移5 24个单位长度 课时对点练课时对点练 1为了得到函数 ysin 2x 6 的图

13、象，可以将函数 ysin 2x 3 的图象() A向左平移 12个单位长度 B向右平移 12个单位长度 C向左平移 6个单位长度 D向右平移 6个单位长度 答案B 解析函数ysin 2x 3 sin 2 x 6 ， 所以将ysin 2x 3 sin 2 x 6 的图象向右平移 12 个单位长度，可得函数 ysin 2 x 6 12 sin 2x 6 的图象 2将函数 y2sin 2x 6 的图象向右平移1 4个周期后，所得图象对应的函数为( ) Ay2sin 2x 4By2sin 2x 3 Cy2sin 2x 4Dy2sin 2x 3 答案D 解析函数 y2sin 2x 6 的最小正周期为，

14、所以将函数y2sin 2x 6 的图象向右平移 4个 单位长度后，得到函数 y2sin 2 x 4 62sin 2x 3 的图象 3将函数 ysin 4x 3 图象上的横坐标进行怎样的变换，得到 ysin 2x 3 的图象() A伸长了 2 倍B伸长了1 2倍 C缩短了1 2倍 D缩短了 2 倍 答案A 4将函数 ysin 2x 的图象向右平移 2个单位长度，所得图象对应的函数是( ) A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数 答案A 解析ysin 2x 向右平移 2 个单位长度 ysin 2 x 2sin(2x)sin(2x) sin 2x. 因为sin(2x)sin 2x

15、，所以所得图象对应的函数是奇函数 5为了得到函数 ysin 3x 6 的图象，需将函数 ysin x 6 的图象上所有点的() A纵坐标变为原来的 3 倍，横坐标不变 B横坐标变为原来的 3 倍，纵坐标不变 C横坐标变为原来的1 3，纵坐标不变 D纵坐标变为原来的1 3，横坐标不变 答案C 解析只需将函数 ysin x 6 的图象上所有点的横坐标变为原来的1 3，纵坐标不变，便得到 函数 ysin 3x 6 的图象 6(多选)下列四种变换方式，其中能将 ysin x 的图象变为 ysin 2x 4 的图象的是() A向左平移 4个单位长度，再将横坐标缩短为原来的 1 2 B横坐标缩短为原来的1

16、 2，再向左平移 8个单位长度 C横坐标缩短为原来的1 2，再向左平移 4个单位长度 D向左平移 8个单位长度，再将横坐标缩短为原来的 1 2 答案AB 解析对于 A，将 ysin x 的图象向左平移 4个单位长度，可得函数 ysin x 4 的图象，再 将横坐标缩短为原来的1 2，可得 ysin 2x 4 的图象，故 A 正确； 对于 B，将 ysin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的1 2，可得 ysin 2x 的图象，再向左 平移 8个单位长度，可得 ysin 2x 4 的图象，故 B 正确； 对于 C，将 ysin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的1 2，可得 ysin 2x

17、的图象，再向左 平移 4个单位长度，可得 ysin 2 x 4 cos 2x 的图象，故 C 错误； 对于 D，将 ysin x 的图象向左平移 8个单位长度，可得 ysin x 8 的图象，再将横坐标缩 短为原来的1 2，可得 ysin 2x 8 的图象，故 D 错误 7将函数 ysin 4x 的图象向左平移 12个单位长度，得到函数 ysin(4x)(00)的图象向左平移 3个单位长度，所得图象经过点 2 3 ，0 ，则的最 小值是() A.3 2 B2C1D.1 2 答案C 解析依题意得，函数 f x 3 sin x 3 (0)的图象过点 2 3 ，0 ， 则 f 2 3 3 sin 2

18、 3 3 sin 0(0)， 所以k，kN*，即k，kN*， 因此正数的最小值是 1. 14将函数 y1 2sin 2x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍，然后纵坐标缩短为原来 的1 2，则所得图象的函数解析式为_ 答案y1 4sin x 解析y1 2sin 2x 的图象 横坐标伸长为 原来的 2 倍 y1 2sin 2 1 2x1 2sin x 的图象 纵坐标缩短为 原来的1 2 y1 4sin x 的图象， 即所得图象的函数解析式为 y1 4sin x. 15已知函数 f(x)Asin x(A0，0)的最小正周期为，将 yf(x)的图象上所有点的横坐 标伸长到原来的 2 倍(纵坐

19、标不变)， 所得图象对应的函数为 yg(x) 若 g 4 2， 则 f 3 8 的 值为_ 答案2 解析f(x)的最小正周期为， 2 ，2， f(x)Asin 2x， 将 yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)， 所得图象对应的函数为 g(x)Asin x， g 4 2， g 4 Asin 4 2 2 A 2， A2，f(x)2sin 2x， f 3 8 2sin 3 4 2 2 2 2. 16将函数 ysin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2(纵坐标不变)，再将所得的图象 向左平移 6个单位长度后得到函数 f(x)的图象 (1)写出函数 f(x)的解析

20、式； (2)求实数 a 和正整数 n，使得 F(x)f(x)a 在0，n上恰有 2 020 个零点 解(1)把函数 ysin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2(纵坐标不变)，得到函数 y sin 2x 的图象， 再向左平移 6个单位长度后得到函数 f(x)sin 2 x 6 sin 2x 3 的图象， 故函数 f(x)的解析式为 f(x)sin 2x 3 . (2)因为 F(x)f(x)a 在0，n上恰有 2 020 个零点， 故函数 f(x)与 ya 在0，n上有 2 020 个交点， 当 x0，时，2x 3 3， 7 3 ， 当 a1 或 a1 时，函数 f(x)与 ya 在0

21、，n上无交点； 当 a1 或 a1 时，函数 f(x)与 ya 在0，上仅有一个交点，此时要使得函数 f(x)与 y a 在0，n上有 2 020 个交点，则 n2 020； 当1a 3 2 或 3 2 a1 时，函数 f(x)与 ya 在0，上有 2 个交点，此时要使得函数 f(x) 与 ya 在0，n上有 2 020 个交点，则 n1 010； 当 a 3 2 时，函数 f(x)与 ya 在0，上有 3 个交点，此时要使得函数 f(x)的图象与 ya 在0，n上有 2 020 个交点，则 n 值不存在， 综上，可得当 a1 或 a1 时，n2 020；当1a 3 2 或 3 2 a1 时，n1 010.