§2.3 第3课时 一元二次不等式的应用.docx
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1、第第 3 课时课时一元二次不等式的应用一元二次不等式的应用 学习目标1.熟练掌握分式不等式的解法.2.理解一元二次方程、二次函数、二次不等式之间 的关系.3.构建一元二次函数模型,解决实际问题 一、解简单的分式不等式 问题 x3 x20 与(x3)(x2)0 等价吗? x3 x20 与(x3)(x2)0 等价吗? 提示 x3 x20 与(x3)(x2)0 等价; x3 x20 与(x3)(x2)0 不等价, 前者的解集中没有 2,后者的解集中有2. 例 1解下列不等式: (1) x1 2x11. 解(1)原不等式可化为(x1)(2x1)0, 1x1 2, 故原不等式的解集为 x|1x 1 2.
2、 (2)原不等式可化为 x1 3x50, x13x50, 3x50, 5 3x1, x5 3, 即5 3x1. 故原不等式的解集为 x| 5 30, x1x2 x2 0, 3 x20, 则 x2. 故原不等式的解集为x|x2 反思感悟分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解,但 要注意等价变形,保证分母不为零 (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为 不等号右边为零,然后再用上述方法求解 跟踪训练 1解下列不等式: (1)x1 x30;(2) 5x1 x1 3.即知原不等式的解集为x|x1
3、或 x3 (2)不等式5x1 x1 3 可改写为5x1 x1 30, 即2x1 x1 0. 可将这个不等式转化成 2(x1)(x1)0, 解得1x1. 所以,原不等式的解集为x|1x0的解集为x|2x3, 求关于x的不等式cx2bxa0 的解集为x|2x3可知 a0,且 2 和 3 是方程 ax2bxc0 的 两根, 由根与系数的关系可知b a5, c a6. 故b c 5 6, 又由 a0 知 c0,故不等式 cx2bxa0,即 x 25 6x 1 60, 解得 x 1 2, 所以不等式 cx2bxa0 的解集为 x|x 1 2. 延伸探究 1若本例中条件不变,求关于 x 的不等式 cx2b
4、xa0 的解集 解由根与系数的关系知b a5, c a6 且 a0. c0, 即 x2b cx a c0,即 x 25 6x 1 60. 解得1 2x 1 3, 故原不等式的解集为 x| 1 2x0 的解集为x|2x3”变为“关于 x 的 不等式 ax2bxc0 的解集是 x| 1 3x2”求不等式 cx2bxa0 的解集 解方法一由 ax2bxc0 的解集为 x| 1 3x2知 a0. 又 1 3 2c a0. 又1 3,2 为方程 ax 2bxc0 的两个根, b a 5 3, b a 5 3. 又c a 2 3,b 5 3a,c 2 3a, 不等式 cx2bxa0 变为 2 3ax2 5
5、 3axa0. 又a0,2x25x30, 故所求不等式的解集为 x|3x 1 2. 方法二由已知得 a0, 设方程 cx2bxa0 的两根分别为 x1,x2, 则 x1x2b c,x 1x2a c, 其中a c 1 1 3 2 3 2, b c b a c a 1 3 2 1 3 2 5 2, x13,x21 2. 不等式 cx2bxa0)的解集为 x|3x0)的解集,求解其他不等式的解 集时,一般遵循 (1)根据解集来判断二次项系数的符号 (2)根据根与系数的关系把 b,c 用 a 表示出来并代入所要解的不等式 (3)约去 a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解 跟踪训练 2已知关于 x
6、的不等式 x2axb0 的解集为x|1x0 的解集 解x2axb0 的解集为x|1x0. 解得 x1. bx2ax10 的解集为 x|x1. 三、一元二次不等式的实际应用 例 3(教材 P54 页例 5 改编)某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹 车后由于惯性往前滑行的距离)s m 和汽车刹车前的车速 x km/h 有如下关系:s2x 1 18x 2. 在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离不小于 22.5 m,那么这辆汽车刹车前的车速至少 为多少? 解由题意可得 s2x 1 18x 222.5, 化简得 x236x4050,解得 x45 或 x9, 又x0,x45. 这辆
7、汽车刹车前的速度至少为 45 km/h. 反思感悟解不等式应用题的步骤 跟踪训练 3某施工单位在对一个长 800 m,宽 600 m 的草坪进行绿化时,是这样想的:中 间为矩形绿草坪,四周是等宽的花坛,如图所示,若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二 分之一,试确定花坛宽度的取值范围 解设花坛的宽度为 x m,则草坪的长为(8002x) m,宽为(6002x) m. 根据题意得(8002x)(6002x)1 2800600, 整理得 x2700 x60 0000, 解得 x600(舍去)或 x100, 由题意知 x0,所以 0 x100, 所以当 x 在 0 x100 之间取值时,绿草坪的面积不
8、小于总面积的二分之一 1知识清单: (1)简单的分式不等式的解法 (2)二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 (3)一元二次不等式的实际应用 2方法归纳:转化、恒等变形 3常见误区: (1)解分式不等式要等价变形 (2)利用一元二次不等式解决实际问题时,应注意实际意义 1不等式x1 x21Bx|x2 Cx|2x1Dx|x1 答案C 2不等式1x 1x0 的解集为( ) Ax|1x1Bx|1x1 Cx|1x1Dx|1x1 答案B 解析原不等式 x1x10, x10, 1x0 的解集为x|2x0 的解集为() A. x| 1 2x1B. x|x1 C. x|1x 1 2D. x|x 1 2
9、 答案D 解析因为不等式 ax2bxc0 的解集为x|2x1, 所以 a0 可化为2ax2axa0, 因为 a0,分解因式得(2x1)(x1)0, 解得 x1 2或 x1. 4某商品在最近 30 天内的价格 y1与时间 t(单位:天)的关系式是 y1t10(0t30,tN); 销售量 y2与时间 t 的关系式是 y2t35(0t30,tN),则使这种商品日销售金额 z 不小 于 500 元的 t 的取值范围为_ 答案t|10t15,tN 解析z(t10)(t35), 依题意有(t10)(t35)500, 解得 10t15,tN,所以解集为t|10t15,tN 课时对点练课时对点练 1若 p:x
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