§2.2　第2课时　基本不等式在实际问题中的应用.docx

1、第第 2 课时课时基本不等式在实际问题中的应用基本不等式在实际问题中的应用 学习目标1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决生活中简单的最大 (小)值问题.3.能够运用基本不等式解决几何中的应用问题 导语 同学们，我们说数学是和生活联系非常紧密的学科，我们学习数学，也是为了解决生活中的 问题，比如：“水立方”是 2008 年北京奥运会标志性建筑之一，如图为水立方平面设计图， 已知水立方地下部分为钢筋混凝土结构，该结构是大小相同的左右两个矩形框架，两框架面 积之和为 18 000 m2，现地上部分要建在矩形 ABCD 上，已知两框架与矩形 ABCD 空白的宽 度为 10 m，

2、两框架之间的中缝空白宽度为 5 m， 请问作为设计师的你， 应怎样设计矩形 ABCD， 才能使水立方占地面积最小？要解决这个问题，还得需要我们刚学习过的基本不等式哦，让 我们开始今天的探究之旅吧！ 一、基本不等式在生活中的应用 问题利用基本不等式求最大(小)值时，应注意哪些问题？ 提示一正：x，y 都得是正数；二定：积定和最小，和定积最大；三相等：检验等号成立的 条件是否满足实际需要 例 1(教材 46 页例 3 改编)小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为 16m2的矩形游乐园， 当这 个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度 解设矩形围栏相邻两条边长分别为 x m，y m，围栏的

3、长度为 2(xy)m. 方法一由已知 xy16， 由xy 2 xy，可知 xy2 xy8， 所以 2(xy)16， 当且仅当 xy4 时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为 4 m 的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为 16 m. 方法二由已知 xy16，可知 y16 x ， 所以 2(xy)2 x16 x 22x16 x 16. 当且仅当 xy4 时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为 4 m 的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为 16 m. 延伸探究如果小明的爸爸只有 12 m 长的围栏，如何设计，才能使游乐园的面积最大？ 解由已知得 2(xy)12，故 xy6

4、，面积为 xy， 由 xyxy 2 6 23，或 xy x6x x6x 2 3， 可得 xy9， 当且仅当 xy3 时，等号成立 因此，当游乐园为边长为 3 的正方形时，面积最大，最大面积为 9 m2. 反思感悟利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意，设变量，并理解变量的实际意义； (2)构造定值，利用基本不等式求最值； (3)检验，检验等号成立的条件是否满足题意； (4)结论 跟踪训练 1要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价 是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，求该容器的最低总造价 解设该长方体容器底面的长和宽分别为 a

5、m，b m，成本为 y 元， 由于长方体容器的容积为 4 m3，高为 1 m， 所以底面面积 Sab4，y20S102(ab)20(ab)80， 由基本不等式可得 y20(ab)80202 ab80160(元)， 当且仅当 ab2 时，等号成立， 因此，该容器的最低总造价为 160 元 二、基本不等式在几何中的应用 例 2如图所示，设矩形 ABCD(ABBC)的周长为 24，把它沿 AC 翻折，翻折后 AB交 DC 于点 P，设 ABx. (1)用 x 表示 DP，并求出 x 的取值范围； (2)求ADP 面积的最大值及此时 x 的值 解(1)矩形 ABCD(ABBC)的周长为 24， ABx

6、，AD24 2 x12x， 在APC 中，PACPCA，所以 APPC，从而得 DPPB， APABPBABDPxDP，在 RtADP 中，由勾股定理得(12x)2DP2(x DP)2， ABBCAD，得 x12x， 6x12， DP1272 x (6x12) (2)在 RtADP 中， SADP1 2ADDP 1 2(12x) 1272 x 108 6x432 x(6x12) 6x0)，则由 DCAM 得 ND ND3 4 4x，解得 ND 12 x ， 矩形 AMPN 的面积为 S(4x) 312 x 243x48 x 2423x48 x 48，当且仅当 3x 48 x ，即 x4 时等号

7、成立 1知识清单： (1)基本不等式在生活中的应用 (2)基本不等式在几何中的应用 2方法归纳：配凑法 3常见误区：生活中的变量有它自身的意义，容易忽略变量的取值范围 1用一段长为 8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为() A9 cm2B16 cm2 C4 cm2D5 cm2 答案C 解析设矩形模型的长和宽分别为 x，y，则 x0，y0， 由题意可得 2(xy)8， 所以 xy4， 所以矩形菜园的面积 Sxyxy 2 4 4 2 4 4，当且仅当 xy2 时取等号， 所以当矩形菜园的长和宽都为 2 cm 时，面积最大，为 4 cm2. 2港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三

8、地的刘先生采用自驾出行由于燃油的价格有升 也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加 30 升的燃油；第二种方案：每次 加 200 元的燃油，则下列说法正确的是() A采用第一种方案划算B采用第二种方案划算 C两种方案一样D无法确定 答案B 解析任取其中两次加油，假设第一次的油价为 m 元/升，第二次的油价为 n 元/升 第一种方案的均价为30m30n 60 mn 2 mn； 第二种方案的均价为 400 200 m 200 n 2mn mn mn. 所以无论油价如何变化，第二种都更划算 3某工厂生产某种产品，第一年产量为 A，第二年的增长率为 a，第三年的增长率为 b，这 两年的平均

9、增长率为 x(a，b，x 均大于零)，则() Axab 2 Bxab 2 Cxab 2 Dxab 2 答案B 解析由题意得，A(1a)(1b)A(1x)2， 则(1a)(1b)(1x)2， 因为(1a)(1b) 1a1b 2 2， 所以 1x2ab 2 1ab 2 ， 所以 xab 2 ，当且仅当 ab 时取等号 4.在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个内接矩形花园(阴影部分)， 矩形花园面积的最大 值为_ 答案400 解析由题意设矩形花园的长为 x0，宽为 y0，矩形花园的面积为 xy，根据题意作图如下， 因为花园是矩形，则ADE 与ABC 相似，所以AF AG DE BC，又因为 AG

10、BC40， 所以 AFDEx，FGy，所以 xy40， 由基本不等式 xy2 xy，得 xy400， 当且仅当 xy20 时，矩形花园面积最大，最大值为 400. 课时对点练课时对点练 1.三国时期赵爽在勾股方圆图注中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我 们教材中利用该图作为“()”的几何解释() A如果 ab0，那么 a b B如果 ab0，那么 a2b2 C对任意正实数 a 和 b，有 a2b22ab，当且仅当 ab 时等号成立 D对任意正实数 a 和 b，有 ab2 ab，当且仅当 ab 时等号成立 答案C 解析可将直角三角形的两直角边长度取作 a，b，斜边为 c(c2a2b2

11、)， 则外围的正方形的面积为 c2，也就是 a2b2， 四个阴影面积之和刚好为 2ab，对任意正实数 a 和 b，有 a2b22ab， 当且仅当 ab 时等号成立，故选 C. 2 汽车上坡时的速度为 a， 原路返回时的速度为 b， 且 0ab， 则汽车全程的平均速度比 a， b 的平均值() A大B小 C相等D不能确定 答案B 解析令单程为 s，则上坡时间为 t1s a，下坡时间为 t 2s b， 平均速度为 2s t1t2 2s s a s b 2 1 a 1 b ab0)， 则 y720 x1 600 x240 0007202x1 600 x 240 000720240240 000297

12、 600， 当且仅当 x1 600 x ，即 x40 时，y 有最小值 297 600， 此时另一边的长度为4 800 3x 40(m)， 因此，要使水池总造价最低，则水池的底面周长为 160 m. 9经观测，某公路段在某时段内的车流量 y(千辆/小时)与汽车的平均速度 v(千米/小时)之间 有函数关系：y 900v v25v1 000(v0)在该时段内，当汽车的平均速度 v 为多少时车流量 y 最大？ 解y 900v v25v1 000 900 v1 000 v 5 ， v1 000 v 2v1 000 v 20 10， y 900 v1 000 v 5 900 20 105 180 4 1

13、01， 当且仅当 v1 000 v ，即 v1010时等号成立 当汽车的平均速度 v1010千米/小时时车流量 y 最大 10根据交通法规，某路段限制车辆最高时速不得超过 100 千米/小时，现有一辆运货卡车在 该路段上以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每 小时耗油 2 x2 360 升，司机的工资是每小时 14 元 (1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式； (2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值 解(1)由题意，y2 2 x2 360 130 x 14130 x 2 340 x 13x 18 (0 x100)

14、(2)因为 y2 340 x 13x 18 2 2 340 x 13x 18 26 10，当且仅当 x1810时，等号成立， 又 018 10100， 所以当 x1810千米/小时时，这次行车的总费用最低，为 2610元 11.无字证明是指只用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于其不证自明的特 性， 这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与条理， 请写出该图验证的不等式() Aa2b2abB4aba2b2 Cab2 abDa2b22ab 答案D 解析从图形可以看出正方形的面积比 8 个直角三角形的面积和要大，当中心小正方形缩为 一个点时，两个面积相等；因此(ab)281 2ab4

15、ab，所以 a 2b22ab. 12中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的 公式 ：设 三角形 的三 条边长 分别 为 a ，b ，c ，则 三角 形的面 积 S 可由 公式 S ppapbpc求得，其中 p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公 式现有一个三角形的边长满足 a6，bc8，则此三角形面积的最大值为() A3 7B8C4 7D9 3 答案A 解析由题意 p7，S 77a7b7c 77b7c 77b7c 2 3 7， 当且仅当 7b7c，即 bc4 时，等号成立， 此三角形面积的最大值为 3 7. 13某商场对商品进行两次提价，现

16、提出四种提价方案，提价幅度较大的一种是() A先提价 p%，后提价 q% B先提价 q%，后提价 p% C分两次提价pq 2 % D分两次提价 p2q2 2 %(以上 pq) 答案D 解析由题意可知，A，B 选项的两次提价均为 (1p%)(1q%)； C 选项的提价为 1pq 2 % 2，D 选项的提价为 1 p2q2 2 % 2， 又pq 2 p2q2 2 ，(1p%)(1q%) 1pq 2 % 20)，右臂长为 b(b0)，则 ab， 再设先称得黄金为 x g，后称得黄金为 y g，则 bx5a，ay5b， x5a b ，y5b a ， xy5a b 5b a 5 a b b a 52 a

17、 b b a10， 当且仅当a b b a，即 ab 时等号成立，但 ab，等号不成立，即 xy10， 因此，顾客购得的黄金大于 10 g. 16某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会，据市场调查，当每套丛书售价 定为 x 元时，销售量可达到(100.1x)万套现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改 革，每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为 20 元，浮动价格 (单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为 10.假设不计其他成本，即销售每套丛 书的利润售价供货价格 (1)求每套丛书利润 y 与售价 x 的函数关系，并求出每套丛书售价定为 80 元时，书商能获得 的总利润是多少万元？ (2)每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润 解(1) x0 100.1x0， 0 x100， yx 20 10 100.1x x 100 100 x20(0 x100)， 当 x80 时，y80 100 100802055(元)， 此时销量为 100.1802(万套)， 总利润为 255110(万元) (2)yx 100 100 x20， 0 x0， y 100 100 x100 x80 2 100 100 x100 x8060， 当且仅当 100 100 x100 x，即 x90 元时，每套利润最大为 60 元