§1.1 第2课时 集合的表示.docx
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1、第第 2 课时课时集合的表示集合的表示 学习目标1.掌握集合的两种表示方法:列举法和描述法.2.会用集合的两种表示方法表示一 些简单的集合 导语 同学们,上节课我们学习了集合的概念,还有一些特殊的集合,比如非负整数集、正整数集 等,我们发现可以用自然语言描述一个集合,而语言正是我们之间相互联系的一种方式,同 样的祝福又有着不同的表示方式,例如,我们中文说“祝你生日快乐”,英文为“Happy Birthday to you”等等,那么对于一个集合,会有哪些不同的表示方法呢?让我们一同进入今 天的探究之旅 一、用列举法表示集合 问题 1用 A 表示“本班所有的男生”组成的集合,这是利用的哪种方法表
2、示的集合?你能 把集合 A 中的所有元素逐一列举出来吗? 提示这是用自然语言法表示的集合;我们可以把所有男生的名字写出来,或者把所有 男生的学号一一写出 知识梳理 列举法像这样把集合的所有元素一一列举出来, 并用花括号“”括起来表示集合的 方法叫做列举法 注意点:(1)元素间用“,”隔开;(2)集合中的元素是确定的,元素不重复,元素无顺序;(3) 对于元素个数较少时,把元素一一列举出来并用“”括起来即可;(4)对于元素个数较 多时,如果构成该集合的元素有明显规律,可用列举法,但必须把元素间的规律显示清楚, 然后加省略号,比如正整数集可表示为1,2,3,4,5;(5)这里集合的“”已包含所有的
3、意思,比如整数,即代表整数集 Z,而不能用全体整数,即不能出现“全体”“所有” 等字眼 例 1(教材第 3 页例 1 改编)用列举法表示下列集合: (1)小于 10 的所有正整数组成的集合; (2)方程 x2x0 的所有实数根组成的集合; (3)直线 y2x1 与 y 轴的交点所组成的集合 解(1)设小于 10 的所有正整数组成的集合为 A,那么 A1,2,3,4,5,6,7,8,9 (2)设方程 x2x0 的所有实数根组成的集合为 B,那么 B1,0 (3)将 x0 代入 y2x1,得 y1,即交点是(0,1),故交点组成的集合是(0,1) 反思感悟用列举法表示集合的 3 个步骤 (1)求出
4、集合的元素; (2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次; (3)用花括号括起来 提醒:二元方程组的解集,函数图象上的点构成的集合都是点的集合,一定要写成实数对的 形式,元素与元素之间用“,”隔开如(2,3),(5,1) 跟踪训练 1用列举法表示下列给定的集合: (1)不大于 10 的非负偶数组成的集合 A; (2)小于 8 的质数组成的集合 B; (3)方程 2x2x30 的实数根组成的集合 C; (4)一次函数 yx3 与 y2x6 的图象的交点组成的集合 D. 解(1)不大于 10 的非负偶数有 0,2,4,6,8,10,所以 A0,2,4,6,8,10 (2)小于 8 的质数有
5、2,3,5,7, 所以 B2,3,5,7 (3)方程 2x2x30 的实数根为1, 3 2,所以 C 1,3 2 . (4)由 yx3, y2x6, 得 x1, y4. 所以一次函数 yx3 与 y2x6 的交点为(1,4), 所以 D(1,4) 二、用描述法表示集合 问题 2你能用列举法表示不等式 x73 的解集吗? 提示不等式 x73 的解是 x10,因为满足 x10 的实数有无数个,所以 x73 的解集无 法用列举法表示但是,我们可以利用解集中元素的共同特征,即 x 是实数,且 x10,把解 集表示为xR|x1不能写成x1; (2)用简明、准确的语言进行描述,如方程、不等式、几何图形等;
6、 (3)不能出现未被说明的字母, 如xZ|x2m中 m 未被说明, 故此集合中的元素是不确定的; (4)所有描述的内容都要写在花括号内, 如“xZ|x2m, mN”不符合要求, 应将“mN ”写进“ ”中,即xZ|x2m,mN; (5)元素的取值(或变化)范围, 从上下文的关系来看, 若 xR 是明确的, 则 xR 可省略不写, 如集合 DxR|x20也可表示为 Dx|x20; (6)多层描述时, 应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语, 如x|x1; (7)“”有“所有”“全体”的含义,如所有实数组成的集合可以用描述法表示为x|x 是 实数,但如果写成x|x 是所有实数、x|x 是
7、全体实数、x|x 是实数集都是错误的,因为 “”本身既表示集合的意思,也表示了“所有”“全体”的意思,此处是初学者容易犯 的错误,要注意领会 例 2用描述法表示下列集合: (1)不等式 2x31 的解组成的集合 A; (2)被 3 除余 2 的正整数的集合 B; (3)C2,4,6,8,10; (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合 D. 解(1)不等式 2x31 的解组成的集合为 A,则集合 A 中的元素是数,设代表元素为 x,则 x 满足 2x31,则 Ax|2x31,即 Ax|x2 (2)设被 3 除余 2 的数为 x,则 x3n2,nZ.但元素为正整数,故 x3n2,nN.所以
8、被 3 除余 2 的正整数的集合 Bx|x3n2,nN (3)设偶数为 x,则 x2n,nZ.但元素是 2,4,6,8,10, 所以 x2n,n5,nN*. 所以 Cx|x2n,n5,nN* (4)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负,纵坐标为正,即 x0,故第二象限 内的点的集合为 D(x,y)|x0 反思感悟(1)用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性, 即它是数集、 点集还是其他的类型, 一般地,数集用一个字母代表其元素,点集用一个有序实数对代表其元素 (2)若描述部分出现代表元素以外的字母,则要对新字母说明其含义或指出其取值范围 跟踪训练 2(教材第 4 页例 2 改编)试分别用描
9、述法和列举法表示下列集合: (1)方程 x250 的所有实数根组成的集合 A; (2)由小于 8 的所有自然数组成的集合 B. 解(1)描述法表示为 AxR|x250,列举法表示为 A 5, 5; (2)描述法表示为xN|0 x8(形式不唯一),列举法表示为0,1,2,3,4,5,6,7 三、方程与集合 例 3已知集合 Ax|ax22x10,aR,若 A 中只有一个元素,求 a 的值 解当 a0 时,原方程变为 2x10,此时 x1 2,符合题意; 当 a0 时,方程 ax22x10 为一元二次方程, 当44a0,即 a1 时,原方程的解为 x1,符合题意 故当 a0 或 a1 时,原方程只有
10、一个解,此时 A 中只有一个元素 延伸探究 1在本例条件下,若 A 中至多有一个元素,求 a 的取值范围 解A 中至多有一个元素,即 A 中有一个元素或没有元素 当 A 中只有一个元素时,由例题可知,a0 或 a1. 当 A 中没有元素时,44a1. 故当 A 中至多有一个元素时,a 的取值范围为a|a0 或 a1 2在本例条件下,是否存在实数 a,使集合 A 与集合1相等?若存在,求出 a 的值;若不 存在,说明理由 解A1,1A,a210,即 a3. 又当 a3 时,由3x22x10, 得 x1 3或 x1, 即方程 ax22x10 有两个根1 3和 1, 此时 A 1 3,1,与 A1矛
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