聚焦核心素养考查关键能力--2021年高考数学全国卷试题评析.pdf

1、中国考试 收稿日期： 2021-06-15 摘要：2021年高考数学全国卷命题贯彻高考内容改革要求， 创新试题设计， 展现我国的社会 主义建设成就， 发挥了育人功能。试卷加大开放题的创新力度， 突出理性思维， 考查关键能力， 发 挥了选拔功能。试题倡导理论联系实际， 利用真实问题情境， 体现数学思想方法在解决实际问题 中的价值和作用， 考查考生利用数学工具解决实际问题的能力。为适应新高考数学不分文理科的 要求， 加强研究， 积极推进高考内容改革， 发挥对中学数学教学的引导作用。 关键词： 高考； 新高考； 高考数学； 高考命题； 高考评价体系； 考试内容改革； 试题评价 【中图分类号】G405

2、【文献标识码】A【文章编号】 1005-8427 （2021） 07-0070-7 DOI: 10.19360/ki.11-3303/g4.2021.07.010 聚焦核心素养考查关键能力 教育部考试中心 2021年高考数学全国卷试题评析 2021年高考数学全国卷有6套， 包括全国甲 卷2套 （文、 理科） 、 全国乙卷2套 （文、 理科） 、 新高 考卷1套 （不分文理科） 、 新高考卷1套 （不分 文理科） ， 由教育部考试中心命制。 2021年高考数学全国卷命题落实高考改革 总体要求， 贯彻德智体美劳全面发展教育方针， 聚焦核心素养， 突出关键能力考查， 体现了高考 数学的科学选拔功能和

3、全面育人导向作用。试 题体现以下特点： 第一， 突出数学本质， 重视理性 思维， 坚持素养导向、 能力为重的命题原则； 第 二， 倡导理论联系实际、 学以致用， 体现数学的应 用价值； 第三， 关注我国社会主义建设和科学技 术发展的重要成果， 设计真实问题情境， 体现时 代特征和制度优势； 第四， 稳步推进改革， 科学把 握必备知识与关键能力的关系， 准确把握数学题 型的开放性与数学思维的开放性； 第五， 稳中求 新， 全面体现基础性、 综合性、 应用性和创新性的 考查要求。 1发挥学科特色， 彰显教育功能 2021年高考数学全国卷命题坚持思想性与 科学性的高度统一， 发挥数学应用广泛、 联系

4、实 际的学科特点， 命制具有教育意义的试题， 增强 学生社会责任感， 引导学生形成正确的人生观、 价值观、 世界观。试题用我国社会主义建设和科 技发展的重大成就作为情境， 深入挖掘我国社会 经济建设和科技发展等方面的学科素材， 引导学 生关注我国社会现实与经济、 科技进步与发展， 增强民族自豪感与自信心， 增强国家认同， 增强 理想信念与爱国情怀。 一是关注科技发展与进步。新高考卷第 4题以我国航天事业的重要成果北斗三号全球卫 星导航系统为试题情境设计立体几何问题， 要求 考生计算地球静止同步轨道卫星信号所覆盖的 地球表面面积与地球表面积的比例。该题文字 量约200字， 不但考查考生的数学建模

5、素养， 而且 Journal of China Examinations2021年第7期No. 7, 2021 万方数据 l 卜一2 叫 图 卜I _ 一2 _ 叫 图 I _ 一2 叫 图 i 1 主 卜I _ 一2 + I 图 l 一2 _ 叫 图 T 1 主 Tl 2 lll_-T12ll_-I 考查考生阅读理解能力。 二是关注社会与经济发展。全国乙卷理科 第6题以北京冬奥会志愿者的培训方案为试题背 景， 考查逻辑推理能力和运算求解能力。新高考 卷第18题以 “一带一路” 知识竞赛为背景， 考查 考生对概率统计基本知识的理解与应用。全国 甲卷文、 理科第2题以我国在扶贫脱贫工作取得 全面

6、胜利和农村振兴为背景， 通过图表给出某地 农户家庭收入情况的抽样调查结果， 考查考生分 析问题和数据处理能力。 三是关注优秀传统文化。将中国数学史中 的经典问题作为试题背景， 可以让学生感受数学 家探究问题解决的过程， 潜移默化地增强学生的 理想信念与爱国情怀。全国乙卷理科第9题以魏 晋时期我国数学家刘徽在其著作 海岛算经 中 的测量方法为背景， 要求考生根据测量过程中的 相关条件， 推断海岛高度的计算方法， 试题在考 查考生综合运用知识解决问题能力的同时， 也让 考生充分感悟到我国古代数学家的聪明才智。 新高考卷第16题以我国传统文化剪纸艺术为 背景， 要求考生根据不同剪纸方案， 发现若干不

7、 同规格的几何图形之间的关系， 正确获得数列 Sn的通项， 考查归纳推理能力， 试题的设计让考 生体验从特殊到一般的探索数学问题的过程。 2坚持开放创新， 考查关键能力 2020年 10月， 中共中央、 国务院印发的 深 化新时代教育评价改革总体方案 （以下简称 总 体方案 ） 提出， 构建引导学生德智体美劳全面发 展的考试内容体系， 改变相对固化的试题形式， 增强试题开放性， 减少死记硬背和 “机械刷题” 现 象1。2021年高考数学全国卷命题积极贯彻 总 体方案 要求， 加大开放题的创新力度， 发挥数学 科的选拔功能。 2.1 “举例问题” 灵活开放 数学科的 “举例问题” 要求考生根据题

8、目给 出的要求、 性质和定理等条件， 从题干中获取信 息， 整理信息， 写出符合题干要求的结论或是具 体实例。以往的数学试题是给出具体的数学对 象， 要求学生研究对象的性质， 而 “举例问题” 是 给出一些条件和性质， 要求列举出符合条件的对 象。通常情况下， 符合条件的对象有很多， 从而 增加了试题的开放度。“举例问题” 在2021年高考 数学中首次出现。 例1 （新高考卷第14题） 写出一个具有性质的函数f (x)= . f (x1x2) = f (x1) f (x2)； 当x (0, + )时， f(x) 0； f(x)是奇函数。 该题要求考生在理解条件的基础上， 构建出一个函数f (x

9、)。由于答案是开放的， 所以 在考查思维的灵活性方面起到了很好的作用， 同 时也给不同水平的考生提供了充分发挥自己数 学能力的空间。 例2 （全国乙卷文、 理科第16题） 以图为正视图， 在图中选两个分 别作为侧视图和俯视图， 组成某个三棱锥的三视 图， 则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可） 2021年高考数学全国卷试题评析71 万方数据 中国考试 2021年第7期 该题没有给出几何体的空间图形， 而是给出 这个几何体的正视图， 要求考生在所给的图 图中选出侧视图和俯视图， 与组成这个几 何体的三视图。本题的正确答案有2个： 或 。考生可以先从侧视图入手， 借助于线

10、面空 间关系， 确定相应的俯视图； 也可以先从俯视图 入手， 然后选定相应的侧视图。不同的答案对应 着不同的思考方案， 思维的灵活性体现在方案的 选择上， 具有较好的选拔性。 2.2 “结构不良问题” 适度开放 数学科的 “结构不良问题” 包括： 1） 问题条件 或数据部分缺失或冗余； 2） 问题目标界定不明 确； 3） 具有多种解决方法、 途径； 4） 具有多种评价 解决方法的标准； 5） 所涉及的概念、 规则和原理 等不确定。高考数学科中的结构不良试题不要 求考生自己补充缺失的条件， 而是在给出的几个 条件中要求考生先选择后补充， 体现了一定程度 上的适度开放。 例3 （全国甲卷理科第18

11、题） 已知数列 an的各项均为正数， 记Sn为 an 的前n项和， 从下面中选取两个作为条件， 证明另外一个成立 数列 an是等差数列； 数列Sn是等 差数列； a2= 3a1 注： 若选择不同的组合分别解答， 则按第一 个解答计分 本题设计了3个不同的组合方案， 组成3个 真命题， 给考生很充分的选择空间。考生选择不 同的条件和结论组成命题， 就体现了不同的数学 思维角度和方式。“结构不良问题” 的适度开放不 仅有益于考生在不同层面发挥自己的数学能力， 而且对中学数学教学有积极导向， 引导高中数学 在数学概念与数学方法上重视培养学生的数学 核心素养。 例4 （新高考卷第22题） 已知函数f

12、(x) = (x - 1)ex- ax2+ b （1） 讨论f (x)的单调性； （2） 从两组条件中选取一组作为已知条 件， 证明：f (x)恰有一个零点 1 2 2a； 0 a 1 2， b 2a 注： 如果选择两组条件分别解答， 按第一个 解答计分 本题第 （1） 问全面考查函数单调性的基本知 识和基本思想方法， 同时考查考生应用分类讨论 思想解决问题的能力。第 （2） 问要求考生在、 两组条件中选取一组作为已知条件， 证明f (x) 恰有一个零点。根据分类讨论的情况， 恰当选择 新的条件完成f (x)恰有一个零点的证明， 不仅体 现了针对 “结构不良问题” 适度开放命题的科学 性， 而

13、且体现了素养导向、 能力为重的命题原则。 本题重点考查理性思维， 同时对逻辑推理能力、 数学抽象能力、 直观想象能力也进行了深入的 考查。 2.3 “存在问题” 有序开放 数学科的 “存在问题” 要求学生根据题目所 给的条件， 判断符合题目条件的对象是否存在， 如果对象存在就进行证明， 如果对象不存在则说 明理由。通常情况下，“存在问题” 包括判断数 值、 点、 直线、 平面、 图形等是否存在。存在问题 不同于一般的证明题， 需要学生先判断符合条件 的对象是否存在， 然后再进行证明， 从而能够较 好体现解决问题的有序性和开放性。 例5 （新高考卷第18题） 记ABC的内角A，B，C的对边分别为

14、a，b， c. 已知b = a + 1，c = a + 2 （1） 若2sinC = 3sinA， 求ABC的面积； （2） 是否存在正整数a， 使得ABC为钝角三 角形？若存在， 求a； 若不存在， 说明理由 72 万方数据 本题的背景选取于教材， 内容贴近学生生 活。已知ABC的对边分别为a，a + 1，a + 2， 第 （2）问要求考生判断是否存在正整数a， 使得 ABC为钝角三角形， 并运用数学推理说明理 由。试题设计具有开放性， 直觉上会发现a = 3 时，ABC是直角三角形， 且C是直角； 进一步 发现ABC是钝角三角形时，cosC 0，i = 0, 1, 2, 3 （1） 若p0

15、= 0.4，p1= 0.3，p2= 0.2，p3= 0.1， 求E(X)； （2） 以p表示这种微生物最终消亡的概率. 已 知p是关于x的方程p0+ p1x + p2x2+ p3x3= x的最 小正根 . 证明： 当E(X) 1时，p = 1； 当E(X) 1 时，p 1； （3） 说明 （2） 的结论的意义 本题以生命科学中某种微生物为背景， 研究 该种微生物繁殖形成若干代后长期存在的条件 或最终消亡的原因。试题情境取材于生命科学 中的真实问题， 生动地体现了概率在生命科学中 的应用。试题要求考生理解第1代微生物个体总 数X的分布列和数学期望的意义， 理解微生物最 终消亡的概率P， 以及与P

16、相关的数学模型P0+ P1x + P2x2+ P3x3= x的意义。本题考查了数学 抽象、 直观想象、 逻辑推理等数学核心素养， 重点 考查综合应用概率、 数列、 方程、 函数等知识和方 法解决实际问题的能力。 例8 （全国甲卷理科第8题） 2020年12月8日， 中国和尼泊尔联合公布珠 穆朗玛峰最新高程为8 848.86（单位：m） ， 三角高 程测量法是珠峰高程测量方法之一. 下图是三角 高程测量法的一个示意图， 现有A，B，C三点， 且 A，B，C在同一水平面上的投影A，B，C满足 ACB = 45，ABC = 60. 由C点测得B点的 仰角为15，BB与CC的差为100； 由B点测得A

17、 点的仰角为45， 则A，C两点到水平面ABC的高 2021年高考数学全国卷试题评析73 万方数据 C C 2021年第7期 度差AA - CC约为 （3 1.732） A.346B.373C.446D.473 本题以测量珠穆朗玛峰高程的方法之一 三角高程测量法为背景， 要求考生根据示意图和 相关数量关系， 用该测量法计算A， C两点到水平 面ABC的高度差。问题背景真实， 题目设计突 出理论联系实际， 要求考生能正确应用线线关 系、 线面关系、 点面关系等几何知识， 构建计算模 型， 同时考查考生运用正弦定理等解三角形的知 识和方法解决实际问题的能力。 身心健康是素质教育的核心内容。在高考

18、评价体系的核心价值指标体系中， 包含有健康情 感的指标， 要求学生具有健康意识， 注重增强体 质， 健全人格， 锻炼意志2。2021年高考数学全国 卷试题对相关内容也有所体现。 例9 （全国甲卷理科第4题、 文科第6题） ： 青少年视力是社会普遍关注的问题， 视力情 况可借助视力表测量. 通常用五分记录法和小数 记录法记录视力数据， 五分记录法的数据L和小 数记录法的数据V满足L = 5 + lgV. 已知某同学 视力的五分记录法的数据为4.9， 则其视力的小 数记录法的数据约为 （10 10 1.259） A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6 本题以社会普遍关注的青少年视力问题为 背景，

19、 要求考生理解五分记录法测量视力所得数 据L与小数记录法测量视力所得数据V的关系， 即L = 5 + lgV， 重点考查数学理解能力和运算求 解能力。 例10 （全国乙卷文、 理科第17题） 某厂研制了一种生产高精产品的设备， 为检 验新设备生产产品的某项指标有无提高， 用一台 旧设备和一台新设备各生产了10件产品， 得到各 件产品该项指标数据如下： 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样 本平均数分别记为x 和y ， 样本方差分别记为 s2 1和s 2 2. （1） 求x ，y ，s2 1， s2 2； （2） 判断新设备生产产品的该项指标的均值 较旧设备是否有显著提高 （如果y - x 2

20、s2 1+ s 2 2 10 ， 则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧 设备有显著提高， 否则不认为有显著提高） . 本题以芯片生产中的刻蚀速率为原型， 设计 概率统计的应用问题， 要求考生根据新旧 2台设 备各生产 10件产品得到的某项指标数据， 判断 新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是 否有显著提高， 即研究 - y - - x 2 s1 2 + s1 2 10 是否 成立。本题考查考生对平均数、 方差等知识的理 解和应用， 同时引导考生关注科技发展， 认识到 科技创新的重要性。 例11 （新高考卷第6题） 某物理量的测量结果服从正态分布N()10,2， 则下列结论中不正确的是

21、A.越小， 该物理量一次测量结果落在 ()9.9,10.1内的概率越大 B. 该物理量一次测量结果大于10的概率是0.5 C. 该物理量一次测量结果大于10.01的概率 与小于9.99的概率相等 D. 该物理量一次测量结果落在()9.9,10.2内 的概率与落在(10,10.3)内的概率相等 旧设备 新设备 9.8 10.1 10.3 10.4 10.0 10.1 10.2 10.0 9.9 10.1 9.8 10.3 10.0 10.6 10.1 10.5 10.2 10.4 9.7 10.5 74 万方数据 本题以某物理量的测量为背景， 要求考生在 测量结果服从正态分布N(10,2)的条件

22、下， 在 4个选项中选出不正确的选项。在工业生产、 科 技研究等许多领域， 测量方法和测量数据分析与 应用十分重要， 本题以此为背景， 考查考生对正 态分布基本知识的理解与应用， 引导学生重视数 学实验， 重视数学的应用。 4加强考试科学设计， 稳步推进内容改革 新高考改革推行数学不分文理科， 为保证改 革顺利进行， 命制不分文理科的测试卷， 于 2021年1月在第三批新高考试点的8省份进行了 试测， 确保了考试的科学性。2021年新高考数学 命题坚持全面落实高考评价体系， 坚持改革创 新， 稳步推进新高考内容改革。 2021 年使用新高考全国卷的省份增加到 10个。为此， 根据考生群体的变化

23、， 科学调控试 卷的难度。在选择题、 填空题、 解答题部分重视 数学基础知识和基本应用， 重视考生数学思维水 平的层次性， 命制了适合考生群体水平、 合理科 学体现区分度的新高考卷和卷。 4.1新老高考过渡期的考试内容重点 依据 新高考过渡期数学科考试范围说明 ， 科学设计考试内容， 重点关注 高中实验版数学 课程标准 和 高中数学课程标准 （2017年版） 中 的公共内容， 并将这些内容确定为过渡时期的重 点内容。2021年新高考数学试题对正态分布、 棱 台、 双曲线等内容都进行了考查。新高考卷第 13题， 全国乙卷理科第13题、 文科第14题， 全国 甲卷文、 理科第5题， 均考查了双曲线

24、的基本概念 和基本方法的应用。新高考卷第21题以直线 与双曲线右支相交为背景， 重点考查考生综合应 用解析几何基本思想方法解决问题的能力。新 高考卷第5题考查考生对正四棱台的基本知识 和基本方法的掌握程度。新高考卷第6题考查 考生对正态分布基本概念的理解和在实际问题 中的应用能力。 4.2继续推进题型和试卷结构改革 2021年新高考数学命题继续推进题型和试 卷结构的创新。新高考卷、 卷第912题为多 选题， 全部选对得5分， 部分选对得2分， 有选错 的得0分。这样的设计能更准确地识别考生对数 学概念、 数学方法的掌握程度， 为考生提供了发 挥自己水平的空间。 例12 （新高考卷第10题） 已

25、知O为坐标原点， 点P1(cos,sin)，P2(cos, -sin)，P3(cos( + ),sin ( + )，A()1,0， 则 A.| OP1=| OP2 B.| AP1=| AP2 C. OA OP3= OP1 OP2 D. OA OP1= OP2 OP3 针对本题考生容易发现选项A正确， 判断C 是正确选项的难度高于选项A的判断难度。选 对A得2分， A、 C均选对得5分， 体现了难度的梯 度设计。 例13 （新高考卷第12题） 在正三棱柱ABC - A1B1C1中，AB = AA1= 1， 点P 满足 BP = BC + BB1， 其中 0,1， 0,1， 则 A. 当 = 1时

26、，AB1P的周长为定值 B. 当 = 1时， 三棱锥P - A1BC的体积为定值 C. 当 = 1 2 时 ， 有 且 仅 有 一 个 点P， 使 得 A1P BP D. 当 = 1 2 时， 有且仅有一个点P， 使得A1B 平面AB1P 本题考查三棱锥的基本概念和解答立体几 何问题的基本方法， 考查考生观察问题、 思考问 题和发现问题的能力， 对考生的空间想象能力和 逻辑推理能力要求较高。 2021年高考数学全国卷试题评析75 万方数据 中国考试 2021年第7期 Focusing on Core Competences and Assessing Key Abilities: Analys

27、is of the Mathematics Test of the 2021 Gaokao National Education Examinations Authority Abstract: The mathematics test of the 2021 Gaokao implements the requirement of the Gaokao content reform, innovates the design of test items, demonstrates the achievement of the socialist construction of China,

28、and plays the role of education on thought. The test also strengthens the innovation of open questions, emphasizes rational thinking, assesses key abilities, and plays the role of talent selection. In addition, the test advocates putting theory into practice, utilizes authentic scenarios of problems

29、, shows the value and function of mathematical thought in solving real-life problems, and assesses studentsability to solve real-life problems with mathematical tools. To adjust to the requirement of the mathematics test of new Gaokao which abandons the arbitrary division between humanities and scie

30、nces, it is necessary to enhance research, actively promote the Gaokao content reform, and achieve the function to guide the teaching of mathematics in middle school. Keywords: college entrance examination; mathematics test of Gaokao; item development of Gaokao; Gaokao Assessment Framework; test con

31、tent reform; test analysis （责任编辑： 周黎明） 新高考卷设置 “一题两空” 形式的填空题， 从 评价角度来看， 可以更准确地区分考生对数学概 念的理解， 对数学方法的应用。 例14 （新高考卷第16题） 某校学生在研究民间剪纸艺术时， 发现剪纸 时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折规格为 20dm 12dm的长方形纸， 对折1次共可以得到 10dm 12dm，20dm 6dm两种规格的图形， 它 们的面积之和S1= 240dm2， 对折2次共可以得到 5dm 12dm，10dm 6dm，20dm 3dm三种规 格的图形， 它们的面积之和S2= 180dm2， 以此类

32、推. 则对折4次共可以得到不同规格图形的种数 为_； 如果对折n次， 那么 k = 1 n Sk=_dm2 本题的第一个空要求考生通过分析归纳得 到 “对折4次共可以得到不同规格图形的种数” ， 第二个空要求考生进一步归纳出Sk的通项表达 式， 2个空考查要求科学合理， 思维水平的层次要 求得到准确体现。 5结束语 2021年高考数学全国卷命题很好地落实了 立德树人、 服务选才、 引导教学的指导思想， 坚持 高考的核心价值， 突出学科特色， 重视数学本质， 发挥了数学科的选拔功能， 为深化中学数学教学 改革起到积极的引领作用。 参考文献： 1 中共中央国务院印发 深化新时代教育评价改革总 体方案 EB/OL. （2020-10-13） 2021-06-09. http:/ 2 教育部考试中心. 中国高考评价体系M. 北京: 人民 教育出版社, 2019. 3 赵轩, 任子朝, 翟嘉祺. 新高考数学应用能力考查研 究J. 数学通报, 2021 （3） : 22-24. 76 万方数据