课时作业(十三)　变化率与导数、导数的计算.DOC

1、课时作业(十三)变化率与导数、导数的计算 基础过关组 一、单项选择题 1已知 f(x)ln x 2x，则 f 1 2 () A2ln 2B2ln 2 C2ln 2D2ln 2 解析依题意有 f(x) 1 x 2x2 1 22x 1 2 ln x 2x ，故 f 1 2 2ln 2 1 2ln 2。故选 D。 答案D 2函数 f(x)2xln x 的图象在 x1 处的切线方程为() Axy10Bxy10 C2xy10D2xy10 解析当 x1 时， f(1)202， 所以切点为(1， 2)， 由题意得 f(x)21 x， 所以 f(1) 21 11，所以切线方程为 y21(x1)，即 xy10。

2、故选 A。 答案A 3如果曲线 yx4x 在点 P 处的切线垂直于直线 y 1 3x，那么点 P 的坐标为() A(1,0)B(0，1) C(0,1)D(1,0) 解析设点 P(a，b)，则 ba4a，由题得 y4x31。因为曲线 yx4x 在点 P 处的切线垂 直于直线 y1 3x，所以 4a 313，所以 a1。所以 b1410，所以点 P 的坐标为(1,0)。 答案A 4已知函数 f(x)在 R 上可导，且 f(x)x22xf(1)，则函数 f(x)的解析式为() Af(x)x24xBf(x)x24x Cf(x)x22xDf(x)x22x 解析由题意，得 f(x)2x2f(1)，则 f(

3、1)22f(1)，解得 f(1)2，故 f(x)x2 4x。故选 A。 答案A 5已知 f(x)是奇函数，当 x0 时，f(x) x x2，则函数图象在 x1 处的切线方程是( ) A2xy10Bx2y20 C2xy10Dx2y20 解析当 x0，所以 f(x) x x2f(x)，所以 f(x) x x2(x0，解得 a0。故选 A。 答案A 二、多项选择题 7下列函数分别求导，其中正确的是() A 1 x 1 x2 B(cos 2x)2sin 2x C 3x ln 3 3xD(lg x) 1 xln 10 解析 1 x 1 x2，(cos 2x)2sin 2x， 3x ln 3 3x，(lg

4、 x) 1 xln 10。故选 BC。 答案BC 8(2021潍坊期末)给出定义：若函数 f(x)在 D 上可导，即 f(x)存在，且导函数 f(x)在 D 上 也可导，则称 f(x)在 D 上存在二阶导函数，记 f(x)(f(x)，若 f(x)0 在 D 上恒成立，则称 f(x)在 D 上为凸函数。以下四个函数在 0， 2 上是凸函数的是() Af(x)sin xcos xBf(x)ln x2x Cf(x)x32x1Df(x)xex 解析对于 A， f(x)cos xsin x， f(x)sin xcos x， 因为 x 0， 2 ， 所以 f(x)0， f(x) 在 0， 2 上是凸函数，

5、故 A 正确；对于 B，f(x)1 x2，f(x) 1 x20，故 f(x)在 0， 2 上是凸函 数，故 B 正确；对于 C，f(x)3x22，f(x)6x0，故 f(x)在 0， 2 上是凸函数，故 C 正确； 对于 D，f(x)(x1)ex，f(x)(x2)ex0，故 f(x)在 0， 2 上不是凸函数，故 D 错误。故选 ABC。 答案ABC 三、填空题 9(2020全国卷)设函数 f(x) ex xa。若 f(1) e 4，则 a_。 解析由于 f(x)e xxaex xa2 ，故 f(1) ea 1a2 e 4，解得 a1。 答案1 10曲线 y(ax1)ex(e 为自然对数的底数

6、)在点(0,1)处的切线与 x 轴交于点 1 2，0，则 a _。 解析yex(ax1a)， 所以 y|x01a， 则曲线 y(ax1)ex在(0,1)处的切线方程为 y(1 a)x1，又切线与 x 轴的交点为 1 2，0，所以 0(1a) 1 2 1，解得 a1。 答案1 11(2021开封市一模)设 P 为函数 f(x)ln xx3的图象上任意一点，Q 为直线 2xy20 上 任意一点，则 P，Q 两点距离的最小值为_。 解析由题意知，当函数 f(x)的图象在点 P(x0，y0)处的切线 l1与直线 l2：2xy20 平行，且 PQl2时，P，Q 两点之间的距离最小。因为 f(x)ln x

7、x3，所以 f(x)1 x3x 2，所以1 x03x 2 02， 解得 x01，所以 y01，故切线 l1的方程为 2xy10。由两平行直线之间的距离公式可得切线 l1与直线 l2之间的距离 d|12| 5 5 5 ，故 P，Q 两点距离的最小值为 5 5 。 答案 5 5 四、解答题 12已知函数 f(x)x34x2 及其图象上一点 M(1，1)。 (1)若直线 l1与函数 f(x)的图象相切于点 M(1，1)，求直线 l1的方程； (2)若函数 f(x)的图象的切线 l2经过点 M(1，1)，但 M 不是切点，求直线 l2的方程。 解(1)f(x)3x24，f(1)1， 所以直线 l1的斜

8、率 k11， 所以直线 l1的方程为 y1x1，即 xy0。 (2)设切点坐标为(x0，f(x0)，x01， 则切线 l2的方程为 yf(x0)f(x0)(xx0)。 因为直线 l2经过点 M(1，1)， 所以1f(x0)f(x0)(1x0)， 其中 f(x0)x304x02，f(x0)3x204， 于是1(x304x02)(3x204)(1x0)， 整理得 2x303x2010，即(x01)2(2x01)0， 又 x01，所以 x0 1 2。 所以切点为 1 2， 31 8 ，直线 l2的斜率 k2f 1 2 13 4 ， 所以直线 l2的方程为 y31 8 13 4 x1 2 ， 即 y1

9、3 4 x9 4。 13已知函数 f(x)ln x1 x。 (1)求曲线 yf(x)在点(1，1)处的切线方程； (2)若函数 g(x)xf(x)1，直线 l1：yax2e(e 是自然对数的底数)与函数 g(x)的图象在点 xe 处的切线 l2互相垂直，求直线 l1，l2与 x 轴围成的封闭图形的面积。 解(1)由题意，知 f(x)1 x 1 x2， 所以 f(1)2，所以切线方程为 y12(x1)， 即 2xy30。 (2)由已知，得 g(x)xln x，切点坐标为(e，e)， 由 g(x)ln x1，得 g(e)2， 所以 l2的方程为 ye2(xe)， 即 y2xe。 所以直线 l1的斜

10、率为1 2， 故 l1的方程为 y1 2x2e ， 联立，得直线 l1与 l2交点的坐标为 6 5e， 7 5e， 又 l2与 x 轴的交点为 e 2，0，l1与 x 轴的交点为(4e,0)， 此封闭图形为三角形，底边 m4ee 2 7e 2 ，高 h7 5e， 所以三角形面积 S1 2mh 1 2 7e 2 7 5e 49 20e 2。 素养提升组 14 (新情境题)通常用以下方法求函数 yf(x)g(x)的导数： 先两边同时取以 e 为底的对数(e2.718 28为自然对数的底数)得 ln yg(x)ln f(x)，再两边同时求导，得1 yyg(x)ln f(x)g(x)ln f(x)，

11、即 yf(x)g(x)g(x)ln f(x)g(x)ln f(x)。运用此方法求出的函数 yx 1 x (x0)的一个单调递增 区间是() A(e,4)B(3,6) C(0，e)D(2,3) 解析由已知得 yx 1 x 1 x2 ln x1 x 1 x x 1 x 1ln x x2 (x0)， 令 y0， 得 1ln x0， 解得 0 x0)。 (1)试判断 f(x)与 g(x)的大小关系； (2)试判断曲线 yf(x)和 yg(x)是否存在公切线？若存在，求出公切线的方程；若不存在，说明 理由。 解(1)设 F(x)f(x)g(x)，x0， 则 F(x)1 x 3 x2(x0)。 由 F(x

12、)0，得 x3，当 0 x3 时， F(x)3 时，F(x)0 ， 故 F(x)在区间(0,3)上单调递减，在区间(3，)上单调递增。 所以 F(x)的最小值 F(3)ln 310， 所以 F(x)0，即 f(x)g(x)。 (2)假设曲线 yf(x)与 yg(x)有公切线，切点分别为 P(x0，ln x0)和 Q x1，2 3 x1。 因为 f(x)1 x，g(x) 3 x2， 所以分别以 P(x0，ln x0)和 Q x1，2 3 x1为切点的切线方程为 y x x0ln x 01，y 3 x21x2 6 x1。 令 1 x0 3 x21， ln x012 6 x1， 得 2ln x1 6 x1(3ln 3)0。 令 h(x)2ln x6 x(3ln 3)， 所以 h(x)2 x 6 x2(x0)， 令 h(x)0，得 x3。 显然，当 0 x3 时，h(x)3 时，h(x)0， 所以 h(x)在区间(0,3)上单调递减，在区间(3，)上单调递增， 所以 h(x)的最小值 h(3)2ln 323ln 3ln 310，所以 h(x)0， 所以方程 2ln x1 6 x1(3ln 3)0 无解， 所以曲线 yf(x)与曲线 yg(x)不存在公切线。