课时作业(四十)　基本不等式及其应用.DOC

1、课时作业(四十)基本不等式及其应用 基础过关组 一、单项选择题 1下列函数中，最小值为 4 的是() Ayx4 x Bysin x 4 sin x(0 x) Cy4exe x Dylog3xlogx3(0 x1) 解析注意基本不等式等号成立的条件是“ab”，同时考虑函数的定义域，A 中函数的定义域为 x|x0，当 x0 时显然不成立；B 中当 sin x 4 sin x时，函数取得最小值 4，则 sin 2x4，显然不成立。D 中 没有最小值。故选 C。 答案C 2已知 a，b(0,1)且 ab，下列各式中最大的是() Aa2b2B2 ab C2abDab 解析只需比较 a2b2与 ab。由于

2、 a，b(0,1)，所以 a2a，b2b，所以 a2b20，y0，且 x4y40，则 lg xlg y 的最大值是() A40B10C4D2 解析因为 x4y40，且 x0，y0，所以 x4y2 x4y4 xy(当且仅当 x4y 时取“”)，所以 4 xy40。所以 xy100。所以 lg xlg ylg(xy)lg 1002。 答案D 4若 x，y 是正数，则 x 1 2y 2 y 1 2x 2的最小值是( ) A3B.7 2 C4D.9 2 解析原式x2x y 1 4y2y 2y x 1 4x24。当且仅当 xy 1 2时取“”。 答案C 5(2021湖北宜昌期末)某地为了加快推进垃圾分类

3、工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理 300 吨垃圾，最多要处理 600 吨垃圾，月处理成本 y(单位：元)与月处理量 x(单位：吨)之间的函数关系可近似表 示为 y1 2x 2300 x80 000，为使每吨的平均处理成本最低，该厂每月的垃圾处理量应为( ) A300 吨B400 吨C500 吨D600 吨 解析由题意得，每吨垃圾的平均处理成本为 y x 1 2x 2300 x80 000 x x 2 80 000 x 300，其中 300 x600，又x 2 80 000 x 3002 x 2 80 000 x 300400300100，所以当且仅当x 2 80 000 x ，即 x

4、400 吨时，每吨垃圾的平均处理成本最低。故选 B。 答案B 6若 log4(3a4b)log2ab，则 ab 的最小值是() A74 3B72 3 C64 3D62 3 解析由题意得 3a4b0， ab0， 所以 a0， b0。 因为 log4(3a4b)log2ab， 所以 log4(3a4b)log4(ab)。 所以 3a4bab，a4，a0，b0。所以 b 3a a40，所以 a4，则 aba 3a a4a 3a412 a4 (a 4) 12 a472 a4 12 a474 37，当且仅当 a42 3时取等号。故选 A。 答案A 二、多项选择题 7下列说法正确的是() Ax1 x(x0

5、)的最小值是 2 B. x22 x22的最小值是 2 C. x25 x24的最小值是 2 D23x4 x的最大值是 24 3 解析由基本不等式可知，当 x0 时，x1 x2，当且仅当 x 1 x，即 x1 时取等号，故 A 正确； x22 x22 x22 2，当 x0 时取得等号，故 B 正确； x25 x24 x 24 1 x24，令 t x 24，则 t2，因为 y t1 t 在2，)上单调递增，当 t2 时，y 取得最小值5 2，故 C 错误；2 3x4 x 在 x0，b0，所以2 a 1 b2 2 ab2 2，当且仅当 2 a 1 b， 即 a 2，b 2 2 时等号成立，所以2 a

6、1 b的最小值为 2 2。 答案2 2 10(2021汕头期末)若 x0，y0，且 log23xlog29ylog281，则此时 x2y_。2 x x2y 2y 的最 小值为_。 解析因为 log23xlog29ylog281， 所以 3x32y81， 即 x2y4， 又 x0， y0， 所以2 x x2y 2y 1 2 x2y x x 2y1 3 2 y x x 2y 3 22 y x x 2y 3 2 2，当且仅当 y x x 2y，且 x2y4，即 x4 24，y42 2时取 等号。 答案4 3 2 2 四、解答题 11已知 x0，y0，且 2x8yxy0，求： (1)xy 的最小值；

7、(2)xy 的最小值。 解(1)由 2x8yxy0，得8 x 2 y1。 又 x0，y0， 则 18 x 2 y2 8 x 2 y 8 xy，得 xy64， 当且仅当8 x 2 y，即 x16 且 y4 时，等号成立。 所以 xy 的最小值为 64。 (2)由 2x8yxy0，得8 x 2 y1， 则 xy 8 x 2 y (xy)102x y 8y x 102 2x y 8y x 18。 当且仅当2x y 8y x ，即 x12 且 y6 时等号成立， 所以 xy 的最小值为 18。 12已知 a0，b0，ab2。求证： (1)a2b22； (2) 2 a 1 b1 2 2 。 证明(1)根

8、据基本不等式得到 a2b21 2(ab) 22， 当且仅当 ab1 时等号成立。 (2)2 a 1 b ab 2 2 a 1 b 3 2 b a a 2b 3 2 2 2 22 4 ，当且仅当b a a 2b时等号成立， 故 2 a 1 b1 2 2 。 素养提升组 13(2021绵阳期末)现订制一个容积为 V 的圆柱形铁桶，桶底和桶身用铁皮制作，桶盖用铝合金板制作。 已知单位面积铝合金板的价格是铁皮的 3 倍，当总造价最少时(不计接头部分)，桶高应为() A.1 2 3 V 2 B.1 2 3 2V C2 3 V 2 D2 3 2V 解析设圆柱的底面半径 r，则高 h V r2，设单位面积铁

9、皮的价格为 a，则总造价为 ya 2r V r2r 2 3ar2a 2V r 4r2 ，ya 8r2V r2，当 0r 3 V 4时，y0，函数单调递减，当 r 3 V 4时，y 0，函数单调递增，故当 r 3 V 4时，函数取得最小值，此时桶高为 2 3 2V 。故选 D。 答案D 14(2020天津高考)已知 a0，b0，且 ab1，则 1 2a 1 2b 8 ab的最小值为_。 解析依题意得 1 2a 1 2b 8 ab ab 2ab 8 ab ab 2 8 ab 2 ab 2 8 ab 4，当且仅当 a0， b0， ab1， ab 2 8 ab， 即 ab1， ab4 时取等号。因此，

10、 1 2a 1 2b 8 ab的最小值为 4。 答案4 15某工厂有 100 名工人接受了生产 1 000 台某产品的总任务，每台产品由 9 个甲型装置和 3 个乙型装 置配套组成，每名工人每小时能加工完成 1 个甲型装置或 3 个乙型装置。现将工人分成两组，分别加工甲型 和乙型装置，设加工甲型装置的工人有 x 名，他们加工完甲型装置所需时间为 t1时，其余工人加工完乙型装 置所需时间为 t2时，设 f(x)t1t2。 (1)求 f(x)的解析式，并写出其定义域； (2)当 x 等于多少时，f(x)取得最小值？ 解(1)易知 t19 000 x ，t2 3 000 3100 x 1 000 100 x， 则 f(x)t1t29 000 x 1 000 100 x， 定义域为x|1x99，xN*。 (2)f(x)9 000 x 1 000 100 x1 000 9 x 1 100 x 10 x(100 x) 9 x 1 100 x 10 109100 x x x 100 x 。 因为 f(x)的定义域为x|1x99，xN*， 所以9100 x x 0， x 100 x0， 故9100 x x x 100 x2 96， 当且仅当9100 x x x 100 x，即 x75 时取等号， 故当 x75 时，f(x)取得最小值。