课时作业(六十七)　古典概型.DOC

1、课时作业(六十七)古典概型 基础过关组 一、选择题 1从甲、乙、丙、丁 4 名员工中随机抽取 2 人出席公司会议，则甲被抽中的概率为() A1 4 B1 3 C1 2 D1 6 解析依题意，4 名员工中随机抽取 2 人的基本事件有 C246(种)，而甲被抽中包含的事件有 C13 3(种)，所以甲被抽中的概率 P3 6 1 2。故选 C。 答案C 2从分别写有数字 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第 1 张卡片上的数字不大于第 2 张卡片上的数字的概率是() A 1 10 B 3 10 C3 5 D2 5 解析设第 1 张卡片上的数字为 x

2、，第 2 张卡片上的数字为 y，从分别写有数字 1,2,3,4,5 的 5 张 卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，共有 5525(种)情况，当 xy 时，可能的情况如 下表所示， xy个数 11,2,3,4,55 22,3,4,54 33,4,53 44,52 551 所以 P(xy)54321 25 3 5。故选 C。 答案C 3(2021八省联考)在 3 张卡片上分别写上 3 位同学的学号后，再把卡片随机分给这 3 位同学， 每人 1 张，则恰有 1 位学生分到写有自己学号卡片的概率为() A1 6 B1 3 C1 2 D2 3 解析设三位同学分别为 A，B，C，他们的学号

3、分别为 1,2,3，用有序实数对表示三人拿到的卡 片种类，如(1,3,2)表示 A 同学拿到 1 号，B 同学拿到 3 号，C 同学拿到 2 号。三人可能拿到的卡片结 果为： (1,2,3)， (1,3,2)， (2,1,3)， (2,3,1)， (3,1,2)， (3,2,1)， 共 6 种， 其中满足题意的结果有(1,3,2)， (2,1,3)， (3,2,1)，共 3 种，结合古典概型计算公式可得满足题意的概率为3 6 1 2。故选 C。 答案C 4某车间 20 名青年工人都有着不低的某游戏段位等级，其中白银段位 11 人，其余人都是黄金 或铂金段位。从该车间随机抽取一名工人，若抽得黄金

4、段位的概率是 0.2，则抽得铂金段位的概率是 () A0.20B0.22C0.25D0.42 解析解法一：依题意得，该车间的 20 名青年工人中，游戏等级是黄金段位的人数为 200.2 4，游戏等级是铂金段位的人数为 201145。因此，所求的概率等于 5 200.25。故选 C。 解法二：依题意得所求的概率等于 111 200.20.25。故选 C。 答案C 52019 年 5 月 22 日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行。长三角城市 群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”。现有 4 名高三学 生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四

5、个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中 任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为() A27 64 B 9 16 C 81 256 D 7 16 解析4 名高三学生从这四个地方中各任意选取一个去旅游，共有 44种可能结果。设事件 A 为 “恰有一个地方未被选中”，则事件 A 可能的结果有 C24A34144(种)，所以 P(A)144 44 9 16。故选 B。 答案B 6(2021广州市阶级训练)羽毛球混合双打比赛每队由一男一女 2 名运动员组成。某班级从 3 名 男生 A1，A2，A3和 3 名女生 B1，B2，B3中各随机选出 2 名，把选出的 4 人随机分成两队进行羽毛球

6、混合双打比赛，则 A1和 B1两人组成一队参加比赛的概率为() A1 9 B2 9 C1 3 D4 9 解析从 3 名男生和 3 名女生中各随机选出 2 名，选出的 4 人的组队方法有 C23C23A2218(种)， 其中 A1和 B12 人组成一队参加比赛的组队方法有 224(种)，所以所求概率 P 4 18 2 9。故选 B。 答案B 7意大利数学家斐波那契的算盘全书中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以 生一对兔子，而一对兔子出生后在第三个月就开始生小兔子。假如没有发生死亡现象，那么兔子对 数依次为 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，这就是著名的斐波那

7、契数列，它的递推公式是 anan1 an2(n3，nN*)，其中 a11，a21。若从该数列的前 100 项中随机地抽取一个数，则这个数是 偶数的概率为() A1 3 B 33 100 C1 2 D 67 100 解析由题意知，斐波那契数列从第 1 项起每 3 项有 1 个偶数，且偶数是 3 项中的最后一项， 所以前 100 项中有 33 个偶数，所以所求概率 P 33 100。故选 B。 答案B 8河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象密码。河图的排列 结构如图所示，一与六共宗居下，二与七同道居上，三与八为朋居左，四与九为友居右，五与十同 途居中，其中白圈为阳数，黑

8、点为阴数。若从这 10 个数中任取 3 个数，则这 3 个数中至少有 2 个阳 数且 3 个数能构成等差数列的概率为() A1 5 B 1 20 C 1 12 D 3 40 解析从这 10 个数中任取 3 个数， 共有 C310120(种)不同的结果， 3 个数中至少有 2 个阳数且 3 个数能构成等差数列的情况有(1,2,3)， (3,4,5)， (5,6,7)， (7,8,9)， (1,4,7)， (3,6,9)， (1,3,5)， (3,5,7)， (5,7,9)， (1,5,9)，共 10 种。所以这 3 个数中至少有 2 个阳数且 3 个数能构成等差数列的概率 P 10 120 1

9、12。 答案C 二、填空题 9(2021湖南、河南、江西联考)中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一， 周髀算经 中称直角三角形较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾 股数。现从 15 这 5 个整数中随机抽取 3 个不同的数，则这三个数为勾股数的概率为_。 解析从 15 这 5 个整数中随机抽取 3 个不同的数， 所有基本事件的个数为 10， 其中勾股数为 3,4,5，共 1 个，故概率 P 1 10。 答案 1 10 10从分别写有 1,2,3,4,5 的五张卡片中任取两张，这两张卡片上的数字之差的绝对值等于 1 的 概率为_。 解析从分别写有 1,2,

10、3,4,5 的五张卡片中任取两张的可能情况有 C2510 个，这两张卡片上的数 字之差的绝对值等于 1 包含的事件有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，共 4 种情况，所以这两张卡片上的数 字之差的绝对值等于 1 的概率 P 4 10 2 5。 答案 2 5 112013 年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式。孪生素数猜想是希尔伯特 在 1900 年提出的 23 个问题之一， 可以这样描述： 存在无穷多个素数 p， 使得 p2 是素数， 素数对(p， p2)称为孪生素数。在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概 率是_。 解析不超过 3

11、0 的素数有 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29， 共 10 个， 由素数对(p， p2)称为孪生素数， 得由不超过 30 的素数组成的孪生素数有(3,5)， (5,7)， (11,13)，(17,19)， 共 4 组，故所求概率 P 4 C210 4 45。 答案 4 45 三、解答题 12某市 A，B 两所中学的学生组队参加辩论赛。A 中学推荐了 3 名男生、2 名女生，B 中学推 荐了 3 名男生、4 名女生，两校所推荐的学生一起参加集训。由于集训后队员水平相当，从参加集训 的男生中随机抽取 3 人、女生中随机抽取 3 人组成代表队。 (1)求 A 中学至少有 1 名学生

12、入选代表队的概率； (2)某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，求参赛女生人数不少于 2 人的概率。 解(1)由题意，参加集训的男、女生各有 6 名。参赛学生全从 B 中学抽取(等价于 A 中学没有学 生入选代表队)的概率为C 3 3C34 C36C36 1 100， 因此， A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率为 1 1 100 99 100。 (2)设“参赛的 4 人中女生不少于 2 人”为事件 A，记“参赛女生有 2 人”为事件 B，“参赛女 生有 3 人”为事件 C。则 P(B)C 2 3C23 C46 3 5，P(C) C33C13 C46 1 5。 由互斥

13、事件的概率加法公式， 得PAP(B)P(C)3 5 1 5 4 5，故所求事件的概率为 4 5。 13. 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动。 参加活动的儿童需转动如图所示的转盘 两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数。设两次记录的数分别为 x，y。 奖励规则如下： 若 xy3，则奖励玩具一个； 若 xy8，则奖励水杯一个； 其余情况奖励饮料一瓶。 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀。小亮准备参加此项活动。 (1)求小亮获得玩具的概率； (2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由。 解用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间与点

14、集 S(x，y)|xN，yN,1x4,1y4一一对应。 因为 S 中元素的个数是 4416，所以基本事件总数 n16。 (1)记“xy3”为事件 A， 则事件 A 包含的基本事件共 5 个， 即1,1， 1,2， 1,3， 2,1， 3,1。 所以 P(A) 5 16，即小亮获得玩具的概率为 5 16。 (2)记“xy8”为事件 B，“3xy 5 16，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率。 素养提升组 14四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976 年被美国数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定 理，其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色。” 用数学语言

15、表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用 1,2,3,4 四个数字之 一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线 围成的各区域上分别标有数字 1,2,3,4 的四色地图符合四色定理，区域 A 和区域 B 标记的数字丢失， 若在该四色地图上随机取一点，则恰好取自标记为 1 的区域的概率所有可能值中，最大的是() A 1 15 B 1 10 C1 3 D11 30 解析恰好取自标记为 1 的区域的概率所有可能值中，当区域 A 标记的数字是 2，区域 B 标记 的数字是 1 时，概率最大，粗实线围成的区域内所有的小方格个数 n563

16、0，标记为 1 的区域中 小方格的个数 m10，所以恰好取自标记为 1 的区域的概率所有可能值中，最大的是10 30 1 3。故选 C。 答案C 15(2021西安五校联考)为加快经济转型升级，加大技术研发力度，某市建立高新科技研发园 区， 并力邀某高校入驻该园区。 为了解教职工意愿， 该高校在其所属的 8 个学院的教职工中作了“是 否愿意将学校整体搬迁至研发园区”的问卷调查，8 个学院的调查人数及统计数据如下： 调查人数 x1020304050607080 愿意整体搬迁人数 y817253139475566 (1)请根据上表提供的数据， 用最小二乘法求出变量 y 关于变量 x 的线性回归方程

17、y b xa (b 保留 小数点后两位有效数字)；若该校共有教职工 2 500 人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至研发园区 的人数。 (2)若该校的 8 位院长中有 5 位院长愿意将学校整体搬迁至研发园区，现该校拟在这 8 位院长中 随机选取 4 位院长组成考察团赴研发园区进行实地考察，记 X 为考察团中愿意将学校整体搬迁至研 发园区的院长人数，求 X 的分布列。 参考公式及数据：b 错误错误!，a y b x ，错误错误!iyi16 310，错误错误!2i20 400。 解(1)由已知得 x 45， y 36，b 错误错误!16 31084536 20 4008452 0.80，a 360.80450， 故变量 y 关于变量 x 的线性回归方程为y 0.80 x。 所以当 x2 500 时，y2 5000.802 000，所以该校愿意将学校整体搬迁至研发园区的人数 约为 2 000。 (2)由题意可知 X 的可能取值为 1,2,3,4。 P(X1)C 1 5C33 C48 1 14，P(X2) C25C23 C48 3 7， P(X3)C 3 5C13 C48 3 7，P(X4) C45 C48 1 14。 所以 X 的分布列为 X1234 P 1 14 3 7 3 7 1 14