（步步高 高中理科数学 教学资料）第3讲　数学归纳法及其应用.doc

1、第第 3 讲讲数学归纳法及其应用数学归纳法及其应用 一、选择题 1.用数学归纳法证明“2n2n1 对于 nn0的正整数 n 都成立”时，第一步证 明中的起始值 n0应取() A.2B.3C.5D.6 解析n1 时，212，2113，2n2n1 不成立； n2 时，224，2215，2n2n1 不成立； n3 时，238，2317，2n2n1 成立. n 的第一个取值 n03. 答案B 2.某个命题与正整数有关，如果当 nk(kN*)时该命题成立，那么可以推出 n k1 时该命题也成立.现已知 n5 时该命题成立，那么() A.n4 时该命题成立 B.n4 时该命题不成立 C.n5，nN*时该命

2、题都成立 D.可能 n 取某个大于 5 的整数时该命题不成立 解析显然 A，B 错误，由数学归纳法原理知 C 正确，D 错. 答案C 3.利用数学归纳法证明不等式“11 2 1 3 1 2n1 n 2(n2，nN *)”的过程 中，由“nk”变到“nk1”时，左边增加了() A.1 项B.k 项C.2k 1 项D.2k项 解析左边增加的项为 1 2k 1 2k1 1 2k 11共 2 k项，故选 D. 答案D 4.对于不等式 n2nn1(nN*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下： (1)当 n1 时， 12111，不等式成立. (2)假设当 nk(kN*)时，不等式k2kk1 成立，当 nk

3、1 时， （k1）2k1 k23k2 （k23k2）（k2） （k2）2 (k1)1. 当 nk1 时，不等式成立，则上述证法() A.过程全部正确 B.n1 验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从 nk 到 nk1 的推理不正确 解析在 nk1 时，没有应用 nk 时的假设，不是数学归纳法. 答案D 5.用数学归纳法证明 123n2n 4n2 2 ，则当 nk1 时左端应在 nk 的基础上加上() A.k21 B.(k1)2 C.（k1） 4（k1）2 2 D.(k21)(k22)(k1)2 解析当 nk 时，左端123k2. 当 nk1 时，左端123k2(k21)(k22)(k1)2，

4、故当 nk1 时，左端应在 nk 的基础上加上(k21)(k22)(k1)2. 故选 D. 答案D 二、填空题 6.设 Sn11 2 1 3 1 4 1 2n，则 S n1Sn_. 解析Sn111 2 1 2n 1 2n1 1 2n2n， Sn11 2 1 3 1 4 1 2n. Sn1Sn 1 2n1 1 2n2 1 2n3 1 2n2n. 答案 1 2n1 1 2n2 1 2n3 1 2n2n 7.数列an中，已知 a12，an1 an 3an1(nN *)，依次计算出 a2，a3，a4，猜 想 an_. 解析a12，a2 2 321 2 7，a 3 2 7 32 71 2 13，a 4

5、2 13 3 2 131 2 19.由此， 猜想 an是以分子为 2，分母是以首项为 1，公差为 6 的等差数列.an 2 6n5. 答案 2 6n5 8.凸 n 多边形有 f(n)条对角线.则凸(n1)边形的对角线的条数f(n1)与 f(n)的递 推关系式为_. 解析f(n1)f(n)(n2)1f(n)n1. 答案f(n1)f(n)n1 三、解答题 9.用数学归纳法证明：1 1 22 1 32 1 n22 1 n(nN *，n2). 证明(1)当 n2 时，1 1 22 5 42 1 2 3 2，命题成立. (2)假设 nk 时命题成立，即 1 1 22 1 32 1 k22 1 k. 当

6、nk1 时，1 1 22 1 32 1 k2 1 （k1）22 1 k 1 （k1）22 1 k 1 k（k1）2 1 k 1 k 1 k12 1 k1，命题成立. 由(1)(2)知原不等式在 nN*，n2 时均成立. 10.数列an满足 Sn2nan(nN*). (1)计算 a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式 an； (2)证明(1)中的猜想. (1)解当 n1 时，a1S12a1，a11； 当 n2 时，a1a2S222a2，a23 2； 当 n3 时，a1a2a3S323a3，a37 4； 当 n4 时，a1a2a3a4S424a4， a415 8 . 由此猜想 an2 n1 2

7、n 1 (nN*). (2)证明当 n1 时，a11，结论成立. 假设 nk(k1 且 kN*)时，结论成立， 即 ak2 k1 2k 1 ，那么 nk1 时， ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1， 2ak12ak. ak12ak 2 22 k1 2k 1 2 2 k11 2k . 所以当 nk1 时，结论成立. 由知猜想 an2 n1 2n 1 (nN*)成立. 11.(2017昆明诊断)设 n 为正整数，f(n)11 2 1 3 1 n，经计算得 f(2) 3 2， f(4)2， f(8)5 2， f(16)3， f(32) 7 2， 观察上述结果， 可推测出一般结论(

8、) A.f(2n)2n1 2 B.f(n2)n2 2 C.f(2n)n2 2 D.以上都不对 解析因为 f(22)4 2， f(2 3)5 2， f(2 4)6 2， f(2 5)7 2， 所以当 n1 时， 有 f(2 n)n2 2 . 答案C 12.设 f(x)是定义在正整数集上的函数，且 f(x)满足：“当 f(k)k2成立时，总可 推出 f(k1)(k1)2成立”.那么，下列命题总成立的是() A.若 f(1)1 成立，则 f(10)100 成立 B.若 f(2)4 成立，则 f(1)1 成立 C.若 f(3)9 成立，则当 k1 时，均有 f(k)k2成立 D.若 f(4)16 成立

9、，则当 k4 时，均有 f(k)k2成立 解析选项 A，B 的答案与题设中不等号方向不同，故 A，B 错；选项 C 中， 应该是 k3 时，均有 f(k)k2成立；对于选项 D，满足数学归纳法原理，该命 题成立. 答案D 13.设平面上 n 个圆周最多把平面分成 f(n)片(平面区域)， 则 f(2)_， f(n) _.(n1，nN*) 解析易知 2 个圆周最多把平面分成 4 片；n 个圆周最多把平面分成 f(n)片， 再放入第 n1 个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第 n1 个应与前面 n 个都相交且交点均不同，有 n 条公共弦，其端点把第 n1 个圆周分成 2n 段， 每段都把已知的某

10、一片划分成 2 片， 即 f(n1)f(n)2n(n1)， 所以 f(n)f(1) n(n1)，而 f(1)2，从而 f(n)n2n2. 答案4n2n2 14.数列xn满足 x10，xn1x2nxnc(nN*). (1)证明：xn是递减数列的充要条件是 c0； (2)若 0c1 4，证明数列x n是递增数列. 证明(1)充分性：若 c0，由于 xn1x2nxncxncxn，数列xn是 递减数列. 必要性：若xn是递减数列，则 x2x1，且 x10. 又 x2x21x1cc，c0. 故xn是递减数列的充要条件是 c0. (2)若 0c1 4，要证x n是递增数列. 即 xn1xnx2nc0， 即证 xn c对任意 n1 成立. 下面用数学归纳法证明： 当 0c1 4时，x n c对任意 n1 成立. 当 n1 时，x10 c1 2，结论成立. 假设当 nk(k1，kN*)时结论成立，即 xk c. 因为函数 f(x)x2xc 在区间 ，1 2 内单调递增， 所以 xk1f(xk)f( c) c， 当 nk1 时，xk1 c成立. 由，知，xn c对任意 n1，nN*成立. 因此，xn1xnx2ncxn，即xn是递增数列.