（步步高 高中理科数学 教学资料）第3讲　空间点、直线、平面之间的位置关系.doc

1、第第 3 讲讲空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 一、选择题 1.(2015湖北卷)l1，l2表示空间中的两条直线，若 p：l1，l2是异面直线；q：l1， l2不相交，则() A.p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件 B.p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 C.p 是 q 的充分必要条件 D.p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件 解析直线 l1，l2是异面直线，一定有 l1与 l2不相交，因此 p 是 q 的充分条件； 若 l1与 l2不相交，那么 l1与 l2可能平行，也可能是异面直线，所以 p 不是 q 的 必要条件.故选

2、 A. 答案A 2.(2017郑州联考)已知直线 a 和平面，l，a，a，且 a 在， 内的射影分别为直线 b 和 c，则直线 b 和 c 的位置关系是() A.相交或平行B.相交或异面 C.平行或异面D.相交、平行或异面 解析依题意，直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面，选 D. 答案D 3.给出下列说法：梯形的四个顶点共面；三条平行直线共面；有三个公 共点的两个平面重合；三条直线两两相交，可以确定 1 个或 3 个平面.其中 正确的序号是() A.B.C.D. 解析显然命题正确. 由于三棱柱的三条平行棱不共面，错. 命题中，两个平面重合或相交，错. 三条直线两两相交，可确定

3、1 个或 3 个平面，则命题正确. 答案B 4.(2017济南模拟)a，b，c 是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是 () A.若直线 a，b 异面，b，c 异面，则 a，c 异面 B.若直线 a，b 相交，b，c 相交，则 a，c 相交 C.若 ab，则 a，b 与 c 所成的角相等 D.若 ab，bc，则 ac 解析若直线 a，b 异面，b，c 异面，则 a，c 相交、平行或异面；若 a，b 相 交，b，c 相交，则 a，c 相交、平行或异面；若 ab，bc，则 a，c 相交、 平行或异面；由异面直线所成的角的定义知 C 正确.故选 C. 答案C 5.已知正方体 ABCDA1B1

4、C1D1中，E，F 分别为 BB1，CC1的中点，那么异面 直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为() A.4 5 B.3 5 C.2 3 D.5 7 解析连接 DF，则 AEDF， D1FD 为异面直线 AE 与 D1F 所成的角. 设正方体棱长为 a， 则 D1Da，DF 5 2 a，D1F 5 2 a， cosD1FD 5 2 a 2 5 2 a 2 a2 2 5 2 a 5 2 a 3 5. 答案B 二、填空题 6.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别为棱 C1D1， C1C 的中点，有以下四个结论： 直线 AM 与 CC1是相交直线； 直线 AM 与 BN 是平

5、行直线； 直线 BN 与 MB1是异面直线； 直线 MN 与 AC 所成的角为 60. 其中正确的结论为_(填序号). 解析A，M，C1三点共面，且在平面 AD1C1B 中，但 C平面 AD1C1B，C1AM， 因此直线 AM 与 CC1是异面直线，同理 AM 与 BN 也是异面直线，错；M， B，B1三点共面，且在平面 MBB1中，但 N平面 MBB1，BMB1，因此直线 BN 与 MB1是异面直线，正确；连接 D1C，因为 D1CMN，所以直线 MN 与 AC 所成的角就是 D1C 与 AC 所成的角，且角为 60. 答案 7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且 ABCD，

6、则直线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_. 解析取 CD 的中点 H，连接 EH，FH.在正四面体 CDEF 中，由于 CDEH， CDHF，且 EHFHH，所以 CD平面 EFH，所以 AB平面 EFH，则平 面 EFH 与正方体的左右两侧面平行， 则 EF 也与之平行， 与其余四个平面相交. 答案4 8.(2014全国卷改编)直三棱柱 ABCA1B1C1中，BCA90，M，N 分别 是A1B1， A1C1的中点， BCCACC1， 则BM与AN所成角的余弦值为_. 解析如图所示，取 BC 中点 D，连接 MN，ND，AD. M，N 分别是 A1B1，A1C1的中点， MN

7、 綉 1 2B 1C1.又 BD 綉 1 2B 1C1， MN 綉 BD，则四边形 BDNM 为平行四边形，因此 NDBM， AND 为异面直线 BM 与 AN 所成的角(或其补角). 设 BC2，则 BMND 6，AN 5，AD 5， 在ADN 中，由余弦定理得 cosANDND 2AN2AD2 2NDAN 30 10 . 故异面直线 BM 与 AN 所成角的余弦值为 30 10 . 答案 30 10 三、解答题 9.如图所示， 正方体 ABCDA1B1C1D1中， M， N 分别是 A1B1， B1C1的中点.问： (1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由； (2)D1B 和 CC1

8、是否是异面直线？说明理由. 解(1)AM，CN 不是异面直线.理由：连接 MN，A1C1，AC. 因为 M，N 分别是 A1B1，B1C1的中点，所以 MNA1C1. 又因为 A1A 綉 C1C，所以四边形 A1ACC1为平行四边形， 所以 A1C1AC，所以 MNAC， 所以 A，M，N，C 在同一平面内， 故 AM 和 CN 不是异面直线. (2)直线 D1B 和 CC1是异面直线. 理由：因为 ABCDA1B1C1D1是正方体，所以 B，C，C1，D1不共面.假设 D1B 与 CC1不是异面直线， 则存在平面，使 D1B平面，CC1平面， 所以 D1，B，C，C1， 这与 B，C，C1，

9、D1不共面矛盾.所以假设不成立， 即 D1B 和 CC1是异面直线. 10.(2017成都月考)如图所示， 在三棱锥 PABC 中， PA底 面 ABC，D 是 PC 的中点.已知BAC 2 ，AB2，AC 2 3，PA2.求： (1)三棱锥 PABC 的体积； (2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值. 解(1)SABC1 222 32 3， 三棱锥 PABC 的体积为 V1 3S ABCPA1 32 32 4 3 3. (2)如图，取 PB 的中点 E，连接 DE，AE，则 EDBC，所 以ADE 是异面直线 BC 与 AD 所成的角(或其补角). 在ADE 中，DE2，AE 2，A

10、D2， cosADE2 2222 222 3 4. 故异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为3 4. 11.以下四个命题中， 不共面的四点中，其中任意三点不共线； 若点 A，B，C，D 共面，点 A，B，C，E 共面，则点 A，B，C，D，E 共面； 若直线 a，b 共面，直线 a，c 共面，则直线 b，c 共面； 依次首尾相接的四条线段必共面. 正确命题的个数是() A.0B.1C.2D.3 解析假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这 与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以正确.从条件看出两平面 有三个公共点 A，B，C，但是若 A，B，C 共线，则结论不正确

11、；不正确； 不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边 形. 答案B 12.若空间中四条两两不同的直线 l1，l2，l3，l4，满足 l1l2，l2l3，l3l4，则 下列结论一定正确的是() A.l1l4B.l1l4 C.l1与 l4既不垂直也不平行D.l1与 l4的位置关系不确定 解析如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，记 l1DD1，l2 DC，l3DA.若 l4AA1，满足 l1l2，l2l3，l3l4，此时 l1l4，可以排除选项 A 和 C. 若取 C1D 为 l4，则 l1与 l4相交；若取 BA 为 l4，则 l1与 l4异 面；取 C1D1为

12、l4，则 l1与 l4相交且垂直. 因此 l1与 l4的位置关系不能确定. 答案D 13.如图， 正方形 ACDE 与等腰直角三角形 ACB 所在的平面互相 垂直，且 ACBC2，ACB90，F，G 分别是线段 AE， BC 的中点，则 AD 与 GF 所成的角的余弦值为_. 解析取 DE 的中点 H，连接 HF，GH.由题设，HF 綉 1 2AD. GFH 为异面直线 AD 与 GF 所成的角(或其补角). 在GHF 中，可求 HF 2， GFGH 6，cosHFG 266 2 2 6 3 6 . 答案 3 6 14.如图，在四棱锥 OABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正 方形，

13、OA底面 ABCD，OA2，M 为 OA 的中点. (1)求四棱锥 OABCD 的体积； (2)求异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值. 解(1)由已知可求得正方形 ABCD 的面积 S4， 所以四棱锥 OABCD 的体积 V1 342 8 3. (2)如图，连接 AC，设线段 AC 的中点为 E，连接 ME，DE. 又 M 为 OA 中点，MEOC， 则EMD(或其补角)为异面直线 OC 与 MD 所成的角，由已知 可得 DE 2，EM 3，MD 5， ( 2)2( 3)2( 5)2， DEM 为直角三角形，tanEMDDE EM 2 3 6 3 . 异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值为 6 3 .