（步步高 高中理科数学 教学资料）第3讲　等比数列及其前n项和.doc

1、第第 3 讲讲等比数列及其前等比数列及其前 n 项和项和 一、选择题 1.已知an，bn都是等比数列，那么() A.anbn，anbn都一定是等比数列 B.anbn一定是等比数列，但anbn不一定是等比数列 C.anbn不一定是等比数列，但anbn一定是等比数列 D.anbn，anbn都不一定是等比数列 解析两个等比数列的积仍是一个等比数列. 答案C 2.(2017华师附中调研)在等比数列an中，a2a3a48，a78，则 a1() A.1B.1C.2D.2 解析由 a2a3a4a338，得 a32，所以 a7a3q42q48，则 q22，因此 a1a3 q21. 答案A 3.(必修 5P67

2、A1(2)改编)一个蜂巢里有 1 只蜜蜂.第 1 天， 它飞出去找回了 5 个伙 伴；第 2 天，6 只蜜蜂飞出去，各自找回了 5 个伙伴如果这个找伙伴的过 程继续下去，第 6 天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有_只蜜蜂 () A.55 986B.46 656C.216D.36 解析设第 n 天蜂巢中的蜜蜂数量为 an，根据题意得数列an成等比数列，a1 6，q6，所以an的通项公式 an66n 1，到第 6 天，所有的蜜蜂都归巢 后，蜂巢中一共有 a66656646 656 只蜜蜂，故选 B. 答案B 4.(2015全国卷)已知等比数列an满足 a13，a1a3a521，则 a3a5a7 (

3、) A.21B.42C.63D.84 解析设等比数列an的公比为 q， 则由 a13， a1a3a521 得 3(1q2q4) 21，解得 q23(舍去)或 q22，于是 a3a5a7q2(a1a3a5)221 42，故选 B. 答案B 5.(2017石家庄质检)设各项都是正数的等比数列an，Sn为前 n 项和，且 S10 10，S3070，那么 S40等于() A.150B.200 C.150 或200D.400 或50 解析依题意，数列 S10，S20S10，S30S20，S40S30成等比数列，因此有(S20 S10)2S10(S30S20). 即(S2010)210(70S20)，故

4、S2020 或 S2030， 又 S200， 因此 S2030，S20S1020，S30S2040， 故 S40S3080. S40150.故选 A. 答案A 二、填空题 6.(2017肇庆模拟)在等比数列an中，Sn表示前 n 项和，若 a32S21，a42S3 1，则公比 q 等于_. 解析两式相减得 a4a32a3，从而求得a4 a33.即 q3. 答案3 7.在各项均为正数的等比数列an中，若 a21，a8a62a4，则 a6的值是 _. 解析因为 a8a2q6，a6a2q4，a4a2q2，所以由 a8a62a4得 a2q6a2q4 2a2q2，消去 a2q2，得到关于 q2的一元二次

5、方程(q2)2q220，解得 q22， q21 舍去，a6a2q41224. 答案4 8.已知各项均为正数的等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S43S2，a32，则 a7_. 解析设等比数列an的首项为 a1，公比为 q，显然 q1 且 q0，因为 S4 3S2，所以a1（1q 4） 1q 3a 1（1q2） 1q ，解得 q22，因为 a32，所以 a7a3q4 2228. 答案8 三、解答题 9.在等比数列an中，a23，a581. (1)求 an； (2)设 bnlog3an，求数列bn的前 n 项和 Sn. 解(1)设an的公比为 q，依题意得 a1q3， a1q481，解得 a

6、11， q3. 因此，an3n 1. (2)因为 bnlog3ann1， 所以数列bn的前 n 项和 Snn（b1bn） 2 n 2n 2 . 10.(2017合肥模拟)设an是公比为 q 的等比数列. (1)推导an的前 n 项和公式； (2)设 q1，证明数列an1不是等比数列. 解(1)设an的前 n 项和为 Sn， 当 q1 时，Sna1a1a1na1； 当 q1 时，Sna1a1qa1q2a1qn 1， qSna1qa1q2a1qn， 得，(1q)Sna1a1qn， Sna1（1q n） 1q ，Sn na1，q1， a1（1qn） 1q ，q1. (2)假设an1是等比数列，则对任

7、意的 kN*， (ak11)2(ak1)(ak21)， a2k12ak11akak2akak21， a21q2k2a1qka1qk 1a1qk1a1qk1a1qk1， a10，2qkqk 1qk1. q0，q22q10，q1，这与已知矛盾. 故数列an1不是等比数列. 11.在正项等比数列an中，已知 a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，则 n 等于() A.12B.13C.14D.15 解析设数列an的公比为 q， 由 a1a2a34a31q3与 a4a5a612a31q12， 可得 q93，an1anan1a31q3n 3324， 因此 q3n 68134q36， 所

8、以 n14，故选 C. 答案C 12.(2017临沂模拟)数列an中， 已知对任意 nN*， a1a2a3an3n1， 则 a21a22a23a 2 n等于() A.(3n1)2B.1 2(9 n1) C.9n1D.1 4(3 n1) 解析a1a2an3n1， nN*， n2 时， a1a2an13n 11， 当 n2 时，an3n3n 123n1， 又 n1 时，a12 适合上式，an23n 1， 故数列a2n是首项为 4，公比为 9 的等比数列. 因此 a21a22a2n4（19 n） 19 1 2(9 n1). 答案B 13.(2017沈阳模拟)在等比数列an中，a21，则其前 3 项的

9、和 S3的取值范围 是_. 解析当 q0 时，S3a1a2a31a1a312 a1a312 a223，当且 仅当 a1a31 时等号成立. 当 q0 时，S3a1a2a31a1a312 a1a312 a221，当且仅当 a1a31 时等号成立. 所以，S3的取值范围是(，13，). 答案(，13，) 14.(2015四川卷)设数列an(n1，2，3，)的前 n 项和 Sn满足 Sn2ana1， 且 a1，a21，a3成等差数列. (1)求数列an的通项公式； (2)记数列 1 an的前 n 项和为 Tn，求使得|Tn1| 1 1 000成立的 n 的最小值. 解(1)由已知 Sn2ana1，

10、有 anSnSn12an2an1(n2)， 即 an2an1(n2)，所以 q2. 从而 a22a1，a32a24a1， 又因为 a1，a21，a3成等差数列，即 a1a32(a21)， 所以 a14a12(2a11)，解得 a12， 所以，数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 故 an2n. (2)由(1)得 1 an 1 2n， 所以 Tn1 2 1 22 1 2n 1 2 1 1 2 n 11 2 1 1 2n. 由|Tn1| 1 1 000，得| 1 1 2n1| 1 1 000， 即 2n1 000， 因为 295121 0001 024210，所以 n10， 于是，使|Tn1| 1 1 000成立的 n 的最小值为 10.